2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)專題5.1 平面向量的概念及其線性運(yùn)算(解析版)

5.1平面向量的概念及其線性運(yùn)算思維導(dǎo)圖知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1.向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫作向量，用有向線段表示，此時(shí)有向線段的方向就是向量的方向.向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小就是向量的長(zhǎng)度(或稱模)，記作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記作0.(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量.(4)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，記作a∥b.規(guī)定：0與任一向量平行.(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.2.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：a＋b＝b＋a(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求兩個(gè)向量差的運(yùn)算a－b＝a＋(－b)數(shù)乘規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a相乘的運(yùn)算，叫作向量的數(shù)乘，記作λa(1)|λa|＝|λ||a|；(2)若a≠0，則當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；特別地，當(dāng)λ＝0時(shí)，0a＝0；當(dāng)a＝0時(shí)，λ0＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共線向量定理設(shè)a為非零向量，如果有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa，那么b與a是共線向量；反之，如果b與a是共線向量，那么有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.[常用結(jié)論]1.中點(diǎn)公式的向量形式：若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))).2.eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實(shí)數(shù))，若點(diǎn)A，B，C共線(O不在直線BC上)，則λ＋μ＝1.3.解決向量的概念問(wèn)題要注意兩點(diǎn)：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是考慮向量的方向；二是要特別注意零向量的特殊性，考慮零向量是否也滿足條件.

典型例題分析考向一平面向量的有關(guān)概念設(shè)a，b都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分條件是()A.a＝－b B.a∥bC.a＝2b D.a∥b且|a|＝|b|答案C解析因?yàn)橄蛄縠q\f(a,|a|)的方向與向量a方向相同，向量eq\f(b,|b|)的方向與向量b方向相同，且eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)，所以向量a與向量b方向相同，故可排除選項(xiàng)A，B，D.當(dāng)a＝2b時(shí)，eq\f(a,|a|)＝eq\f(2b,|2b|)＝eq\f(b,|b|)，故a＝2b是eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分條件.感悟提升平行向量有關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān).(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的平移混淆.考向二向量的線性運(yùn)算角度1平面向量加、減運(yùn)算的幾何意義例2(2023·蕪湖調(diào)研)如圖，等腰梯形ABCD中，AB＝BC＝CD＝3AD，點(diǎn)E為線段CD上靠近C的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F為線段BC的中點(diǎn)，則eq\o(FE,\s\up6(→))＝()

A.－eq\f(11,18)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,18)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.－eq\f(11,18)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(11,9)eq\o(AC,\s\up6(→))C.－eq\f(11,18)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,9)eq\o(AC,\s\up6(→)) D.－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,6)eq\o(AC,\s\up6(→))答案A解析由題圖，得eq\o(FE,\s\up6(→))＝eq\o(FC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(BA,\s\up6(→))＋\f(2,3)\o(CB,\s\up6(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(11,18)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,18)eq\o(AC,\s\up6(→)).故選A.角度2向量的線性運(yùn)算例3在△ABC中，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AD,\s\up6(→))等于()A.eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b B.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)bC.eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b D.eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b答案A解析如圖，過(guò)點(diǎn)D分別作AC，AB的平行線交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，則四邊形AEDF為平行四邊形，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→)).因?yàn)閑q\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.角度3利用向量的線性運(yùn)算求參數(shù)

例4在△ABC中，AB＝2，BC＝3eq\r(3)，∠ABC＝30°，AD為BC邊上的高.若eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則λ－μ＝________.答案eq\f(1,3)解析如圖.∵AD為BC邊上的高，∴AD⊥BC.∵AB＝2，∠ABC＝30°，∴BD＝eq\r(3)＝eq\f(1,3)BC，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).又∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(2,3)，μ＝eq\f(1,3)，故λ－μ＝eq\f(1,3).感悟提升平面向量線性運(yùn)算的常見(jiàn)類型及解題策略(1)向量求和用平行四邊形法則或三角形法則；求差用向量減法的幾何意義.(2)求參數(shù)問(wèn)題可以通過(guò)向量的運(yùn)算將向量表示出來(lái)，進(jìn)行比較，求參數(shù)的值.考向三共線向量定理的應(yīng)用例5(1)(2022·綿陽(yáng)二診)已知平面向量a，b不共線，eq\o(AB,\s\up6(→))＝4a＋6b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋3b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a＋3b，則()A.A，B，D三點(diǎn)共線 B.A，B，C三點(diǎn)共線C.B，C，D三點(diǎn)共線 D.A，C，D三點(diǎn)共線答案D

解析對(duì)于A，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－a＋3b＋(a＋3b)＝6b，與eq\o(AB,\s\up6(→))不共線，A不正確；對(duì)于B，eq\o(AB,\s\up6(→))＝4a＋6b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋3b，則eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))不共線，B不正確；對(duì)于C，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋3b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a＋3b，則eq\o(BC,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))不共線，C不正確；對(duì)于D，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝4a＋6b＋(－a＋3b)＝3a＋9b＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，即eq\o(AC,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，又線段AC與CD有公共點(diǎn)C，所以A，C，D三點(diǎn)共線，D正確.故選D.(2)(2023·山西大學(xué)附中診斷)如圖所示，已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過(guò)點(diǎn)G作直線分別與AB，AC兩邊交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)xeq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))，yeq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))，則eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的值為()A.3 B.4C.5 D.6答案A解析延長(zhǎng)AG交BC于點(diǎn)H(圖略)，則H為BC的中點(diǎn)，∵G為△ABC的重心，∴eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AH,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)\o(AM,\s\up6(→))＋\f(1,y)\o(AN,\s\up6(→))))＝eq\f(1,3x)eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\f(1,3y)eq\o(AN,\s\up6(→)).∵M(jìn)，G，N三點(diǎn)共線，∴eq\f(1,3x)＋eq\f(1,3y)＝1，即eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝3.故選A.感悟提升利用共線向量定理解題的策略(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個(gè)向量共線的主要依據(jù).注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用.(2)當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線，即A，B，C三點(diǎn)共線?eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))共線.(3)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.(4)eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實(shí)數(shù))，若A，B，C三點(diǎn)共線(O不在直線BC上)，則λ＋μ＝1.

考向四等和(高)線定理(1)由三點(diǎn)共線結(jié)論推導(dǎo)等和(高)線定理：如圖，由三點(diǎn)共線結(jié)論可知，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ＝1，由△OAB與△OA′B′相似，必存在一個(gè)常數(shù)k，k∈R，使得eq\o(OP′,\s\up6(→))＝keq\o(OP,\s\up6(→))，則eq\o(OP′,\s\up6(→))＝keq\o(OP,\s\up6(→))＝kλeq\o(OA,\s\up6(→))＋kμeq\o(OB,\s\up6(→))，又eq\o(OP′,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，∴x＋y＝k(λ＋μ)＝k；反之也成立.(2)平面內(nèi)一組基底eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))及任一向量eq\o(OP′,\s\up6(→))，eq\o(OP′,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，若點(diǎn)P′在直線AB上或在平行于AB的直線上，則λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和(高)線.例給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量eq\o(OA,\s\up6(→))和eq\o(OB,\s\up6(→))，它們的夾角為120°，如圖，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧eq\o(AB,\s\up8(︵))上運(yùn)動(dòng)，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，其中x，y∈R，則x＋y的最大值是________.答案2解析法一由已知可設(shè)OA為x軸的正半軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系(圖略).其中A(1，0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，C(cosθ，sinθ)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中∠AOC＝θ，0≤θ≤\f(2π,3))).則有eq\o(OC,\s\up6(→))＝(cosθ，sinθ)＝x(1，0)＋yeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－\f(y,2)＝cosθ，,\f(\r(3),2)y＝sinθ，))

得x＝eq\f(\r(3),3)sinθ＋cosθ，y＝eq\f(2\r(3),3)sinθ，x＋y＝eq\f(\r(3),3)sinθ＋cosθ＋eq\f(2\r(3),3)sinθ＝eq\r(3)sinθ＋cosθ＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))，其中0≤θ≤eq\f(2π,3)，所以(x＋y)max＝2，當(dāng)且僅當(dāng)θ＝eq\f(π,3)時(shí)取得.法二如圖，連接AB交OC于點(diǎn)D，設(shè)eq\o(OD,\s\up6(→))＝teq\o(OC,\s\up6(→))，由于eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，所以eq\o(OD,\s\up6(→))＝t(xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))).因?yàn)镈，A，B三點(diǎn)在同一直線上，所以tx＋ty＝1，x＋y＝eq\f(1,t)，由于|eq\o(OD,\s\up6(→))|＝t|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝t，當(dāng)OD⊥AB時(shí)t取到最小值eq\f(1,2)，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A或點(diǎn)B重合時(shí)t取到最大值1，故1≤x＋y≤2.故x＋y的最大值為2.法三(等和線法)連接AB，過(guò)C作直線l∥AB，則直線l為以eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))為基底的平面向量基本定理系數(shù)的等和線，顯然當(dāng)l與圓弧相切于C1時(shí)，定值最大，

因?yàn)椤螦OB＝120°，所以eq\o(OC1,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，所以x＋y的最大值為2.基礎(chǔ)題型訓(xùn)練一、單選題1．下面給出的關(guān)系式中正確的個(gè)數(shù)是（

）①；②；③；④；⑤A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】向量數(shù)乘仍是向量，故①錯(cuò)誤；由向量數(shù)量積的運(yùn)算律，有②③正確；應(yīng)用數(shù)量積的運(yùn)算可證明、不成立，故④⑤錯(cuò)誤【詳解】①錯(cuò)誤，正確的是，向量數(shù)乘結(jié)果還是向量.②③正確，根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算可判斷得出.④錯(cuò)誤，，故⑤錯(cuò)誤，綜上，正確的個(gè)數(shù)為2故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了向量的運(yùn)算性質(zhì)、數(shù)量積的運(yùn)算律，判斷正誤2．下列結(jié)論中，正確的是（

）A．2020cm長(zhǎng)的有向線段不可能表示單位向量B．若O是直線l上的一點(diǎn)，單位長(zhǎng)度已選定，則l上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)A，B，使得是單位向量C．方向?yàn)楸逼?0°的向量與南偏東50°的向量不可能是平行向量D．一人從A點(diǎn)向東走500米到達(dá)B點(diǎn)，則向量不能表示這個(gè)人從A點(diǎn)到B點(diǎn)的位移【答案】B

【分析】根據(jù)單位向量的定義，向量的概念及共線向量的概念，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由一個(gè)單位長(zhǎng)度取作2020cm時(shí)，2020cm長(zhǎng)的有向線段就表示單位向量，故A錯(cuò)誤；根據(jù)單位向量的定義，在直線上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)使得為單位長(zhǎng)度，所以B正確；方向?yàn)楸逼?0°的向量與南偏東50°的向量是平行的，所以兩向量為共線向量，故C錯(cuò)誤；根據(jù)位移的定義，向量表示點(diǎn)到點(diǎn)的位移，所以D不正確.故選：B.3．若＝(1，1)，＝2，且，則與的夾角是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，求得，再利用平面向量的夾角公式求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，即，解得，所以，因?yàn)?，所以，故選：B4．若是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，G是邊BC的中點(diǎn)，M為線段AG上任意一點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)幾何關(guān)系結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算可得，，設(shè)，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解.

【詳解】解：因?yàn)闉榈冗吶切危沁叺闹悬c(diǎn)，故,,又是線段上任意一點(diǎn)，故設(shè)，因?yàn)?，所?故,又,故.故選：C.5．已知向量，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，那么向量與的夾角為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的減法法則畫(huà)出，得到一個(gè)等腰直角三角形，求其結(jié)果即可.【詳解】如圖，，，則，設(shè)最小的小正方形網(wǎng)格長(zhǎng)度為1，則，，所以，所以三角形是等腰直角三角形，，

向量與的夾角為的補(bǔ)角.故選：D.6．已知空間任一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)、、，下列能得到、、、四點(diǎn)共面的是（

）A． B．C． D．以上都不對(duì)【答案】B【分析】先證明出若且，則、、、四點(diǎn)共面，進(jìn)而可得出合適的選項(xiàng).【詳解】設(shè)且，則，，則，所以，、、為共面向量，則、、、四點(diǎn)共面.對(duì)于A選項(xiàng)，，，、、、四點(diǎn)不共面；對(duì)于B選項(xiàng)，，，、、、四點(diǎn)共面；對(duì)于C選項(xiàng)，，，、、、四點(diǎn)不共面.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用空間向量判斷四點(diǎn)共面，考查推理能力，屬于中等題.二、多選題7．若是直線l上的一個(gè)單位向量，這條直線上的向量，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B． C．與的夾角為 D．【答案】BC

【分析】根據(jù)條件可得，進(jìn)而可判斷ABC，然后利用向量數(shù)量積的概念可判斷D.【詳解】因?yàn)?，，所以，故A錯(cuò)誤，B正確，C正確；所以，故D錯(cuò)誤.故選：BC.8．對(duì)于兩個(gè)向量和，下列命題中錯(cuò)誤的是（

）A．若，滿足，且與同向，則 B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，逐項(xiàng)運(yùn)算，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，向量是既有大小，又有方向的量，所以向量不能比較大小，所以A不正確；對(duì)于B中，由，又由，因?yàn)椋猿闪?，所以B正確；對(duì)于C中，，所以C不正確；對(duì)于D中，，所以，所以D不正確.故選：ACD.三、填空題9．若向量，滿足，，，則與的夾角為_(kāi)________.【答案】【分析】由向量夾角公式直接求解即可.

【詳解】，夾角為，故答案為：.10．在中，、、分別是角A、、的對(duì)邊，，，，，則___________.【答案】【分析】將已知向量等式兩邊平方，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則運(yùn)算化簡(jiǎn)，進(jìn)而再開(kāi)方求得答案.【詳解】，，故答案為：.11．在中，，且，則的最小值是___________.【答案】【分析】計(jì)算出，利用二次函數(shù)的最值問(wèn)題即可解出答案.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，所以.故答案為：.12．已知向量，，，滿足，，，，若，則的最小值為_(kāi)_____.【答案】/【分析】令，進(jìn)而根據(jù)向量模的不等式關(guān)系得，且

，再求向量的模，并結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可得答案.【詳解】設(shè)，則，所以，，由二次函數(shù)性質(zhì)可得，，即：所以，所以的最小值為故答案為：.四、解答題13．運(yùn)用數(shù)量積知識(shí)證明下列幾何命題：(1)在中，，則；(2)在矩形ABCD中，AC＝BD.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【解析】(1)證明：由題得,因?yàn)?，所?所以，所以.(2)證明；因?yàn)榫匦蜛BCD，所以，同理,

因?yàn)?所以,所以AC＝BD.14．如圖所示，中，，邊上的中線交于點(diǎn)，設(shè)，用向量表示.【答案】，；，.【解析】利用平行線以及三角形相似，先找出線段間的關(guān)系，再結(jié)合圖象得到向量間的關(guān)系．【詳解】解析因?yàn)?，所?由，得.又是的底邊的中點(diǎn)，，所以，.【點(diǎn)睛】本題考查向量的幾何表示，三角形相似的性質(zhì)，向量的加減法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．屬于基礎(chǔ)題.15．已知，且與的夾角為，又，，(1)求在方向上的投影；(2)求．【答案】(1)1(2)【分析】（1）根據(jù)在方向上的投影為計(jì)算即可得解；（2）根據(jù)向量的線性運(yùn)算求出，再根據(jù)向量的模的計(jì)算公式結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律即可得出答案.(1)

解：因?yàn)?，且與的夾角為，所以在方向上的投影為；(2)解：因?yàn)?，，所以，則，即.16．平面內(nèi)給定三個(gè)向量，且．(1)求實(shí)數(shù)k關(guān)于n的表達(dá)式；(2)如圖，在中，G為中線OM上一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)G的直線與邊OA，OB分別交于點(diǎn)P，Q（不與重合）.設(shè)向量，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可；（2）由向量的運(yùn)算得出，再由三點(diǎn)共線，得出，再由基本不等式求最值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，?（2）由（1）可知，，，由題意可知因?yàn)?，所?/p>

又，，所以.因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，即時(shí)，取最小值.提升題型訓(xùn)練一、單選題1．已知是互相垂直的單位向量，若，則（

）A． B． C．0 D．2【答案】A【分析】利用向量數(shù)量積運(yùn)算求得正確答案.【詳解】故選：A2．如圖，四邊形中，，則相等的向量是（

）A．與 B．與 C．與 D．與【答案】D【分析】判斷出四邊形為平行四邊形，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)以及相等向量的定義可得出合適的選項(xiàng)．【詳解】因?yàn)樵谒倪呅沃?，?/p>

則四邊形為平行四邊形，故，，，故選：D．3．下列命題正確的是A．B．C．D．【答案】C【詳解】試題分析：由題；A.，錯(cuò)誤；向量的模長(zhǎng)相等，但方向不同；B．，錯(cuò)誤；向量是有方向的，不能比大?。籇．，錯(cuò)誤；向量相等，則模長(zhǎng)相等，方向相同．而共線則方可相反．C．，正確；符合零向量的定義．考點(diǎn)：向量的概念．4．對(duì)于非零向量，，定義．若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)定理可得，然后利用向量模的計(jì)算求出，代入即可求解.【詳解】∵，∴．由可得，兩式相減得，∴．故選：B.5．設(shè)向量，滿足，，，則的取值范圍是（

）

A．[，＋∞) B．[，＋∞)C．[，6] D．[，6]【答案】B【分析】由復(fù)數(shù)的數(shù)量積與模的關(guān)系將轉(zhuǎn)化為數(shù)量積，再利用數(shù)量積的定義化簡(jiǎn)求最值.【詳解】＝＝＝＝≥，當(dāng)t＝－1時(shí)取等號(hào)．故選：B.6．已知，，則的最大值等于（

）A．4 B． C． D．5【答案】C【分析】利用基本不等式得到，然后利用平面向量數(shù)量積運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.二、多選題7．有如下命題，其中真命題為（

）A．若冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則B．函數(shù)（且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)C．函數(shù)在上單調(diào)遞減D．已知向量與的夾角為，且，，則在方向上的投影向量是．【答案】BD【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)冪函數(shù)經(jīng)過(guò)的點(diǎn)，求出解析式，即可判斷；B選項(xiàng)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)

即可得到；C選項(xiàng)，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可以判斷；D選項(xiàng)，由投影向量知識(shí)可算得.【詳解】對(duì)A選項(xiàng)，設(shè)冪函數(shù)的解析式為，因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即，解得，則，，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)B選項(xiàng)，函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，故B選項(xiàng)正確；對(duì)C選項(xiàng)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)D選項(xiàng)，在方向上的投影向量,故D選項(xiàng)正確.故選：BD.8．下列命題中假命題的是（

）A．向量與向量共線，則存在實(shí)數(shù)使B．，為單位向量，其夾角為θ，若，則C．若，則D．已知與是互相垂直的單位向量，若向量與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.【答案】ACD【分析】A.根據(jù)共線向量定理進(jìn)行分析判斷即可；B.將左右同時(shí)平方，由此求解出的取值范圍，則范圍可求；C.考慮零向量存在的情況；D.根據(jù)，同時(shí)注意排除兩向量同向時(shí)的情況.【詳解】A.根據(jù)共線向量定理可知，此時(shí)，故錯(cuò)誤；B.因?yàn)?，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以，故正確；C.當(dāng)中有零向量時(shí)，此時(shí)，因?yàn)榱阆蛄糠较蚴侨我獾?，所以不一定滿足，故錯(cuò)誤；D.因?yàn)橄蛄颗c的夾角為銳角，所以，所以，即，且與不同向，

當(dāng)向量與共線時(shí)，設(shè)，所以，所以，顯然時(shí)，與同向，綜上可知，的取值范圍是，故錯(cuò)誤；故選：ACD.三、填空題9．下列向量中，與一定共線的有_______．（填序號(hào)）①，；