2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）真題及答案

2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)甲卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在

本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.M=|x|0<x<41,=|x|^<%<5|,則

A.<x0<x<—>B.<x—<x<4>

I3/I3J

C.{x|44x<5}D.1x|0<x<5}

【答案】B

2.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（）

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%

C.估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入平均值不超過6.5萬元

D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間

【答案】C

【點(diǎn)睛】本題考查利用樣本頻率直方圖估計(jì)總體頻率和平均值，屬基礎(chǔ)題，樣本的頻率可作為總體的頻率

的估計(jì)值，樣本的平均值的估計(jì)值是各組的中間值乘以其相應(yīng)頻率然后求和所得值，可以作為總體的平均

值的估計(jì)值.注意各組的頻率等于給x組距.

組距

3.已知(l-i)2z=3+2i,則2=()

【答案】B

4.青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄

視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)丫的滿足L=5+lgV.已知某同學(xué)視力的五分記錄法

的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為()('V10?1.259)

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

【答案】C

5.已知耳，乃是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且/耳根=60。,歸國=3|尸局，則C的離心率為

()

A.—B.叵C.幣D.V13

22

【答案】A

6.在一個(gè)正方體中，過頂點(diǎn)A的三條棱的中點(diǎn)分別為E,F,G.該正方體截去三棱錐A-EFG后，所得多

面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是()

正視圖

【答案】D

7.等比數(shù)列｛4｝的公比為生前〃項(xiàng)和為S“，設(shè)甲：q>0,乙：｛SJ是遞增數(shù)列，則（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】B

8.2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m）,三角高程測量法

是珠峰高程測量方法之一.如圖是三角高程測量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有4B,C三點(diǎn)，且A,B,C在同一

水平面上的投影A,B；C滿足ZACB'=45°,NA'8'C=60°.由C點(diǎn)測得8點(diǎn)的仰角為15。,BB'與CC

的差為100；由B點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角為45°,則A,C兩點(diǎn)到水平面A'8'C'的高度差A(yù)4'—CC約為

（6,1.732）（）

A.346B.373C.446D.473

【答案】B

，八萬、ccosa

9.若二￡0,—,tan2a=--------,則tana=()

12)2-sina

A厲R石

A.-------D.-----rV5nV15

15533

【答案】A

10.將4個(gè)1和2個(gè)。隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（）

1224

A.-B.一C.-D.一

3535

【答案】C

11.已如4B,。是半徑為1的球。的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且AC，8C,AC=8C=1,則三棱錐O—ABC

的體積為（）

A726cV2G

121244

【答案】A

12.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽,/（x+1）為奇函數(shù)，〃x+2）為偶函數(shù)，當(dāng)xe［l,2］時(shí)，/（x）=o?+/,?若

/（0）+〃3）=6,貝瑤］=（

)

9375

A.---B.---C.一D.-

4242

【答案】D

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

?r-1

13.曲線y=---在點(diǎn)（-1，-3）處的切線方程為—

x+2

【答案】5x-y+2=0

14.已知向量a=(3,1),B=(1,0),C=Q+ZB.若￡_￡工，則左=.

▼10

【答案】一式.

3

22

15.已知為橢圓C：—2_1的兩個(gè)焦點(diǎn),P,Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，且|PQ|=衍局,

FVF2+=

則四邊形「耳。鳥的面積為

【答案】8

16.已知函數(shù)/(x)=2cos(&x+°)的部分圖像如圖所示，則滿足條件

(/(X)-/一?/(幻一/|子)>0的最小正整數(shù)x為________.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出交字說明、證明過程或演算步驟，第17?21題為必考題,

每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別

用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：

一級(jí)品二級(jí)品合計(jì)

甲機(jī)床15050200

乙機(jī)床12080200

合計(jì)270130400

(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少？

(2)能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】(1)75%；60%；

(2)能.

18.已知數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，記S,為｛4｝的前〃項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另

外一個(gè)成立.

①數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列：②數(shù)列｛￡｝是等差數(shù)列；③%=3q.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】答案見解析

【分析】選①②作條件證明③時(shí)，可設(shè)出底，結(jié)合的關(guān)系求出％,利用｛2｝是等差數(shù)列可證

4=34；

選①③作條件證明②時(shí)，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式表示出底，結(jié)合等差數(shù)列定義可證；

選②③作條件證明①時(shí)，設(shè)出￡=m+力，結(jié)合可⑸的關(guān)系求出an,根據(jù)々=3%可求b，然后可證｛4｝

是等差數(shù)列.

【點(diǎn)睛】這類題型在解答題中較為罕見，求解的關(guān)鍵是牢牢抓住已知條件，結(jié)合相關(guān)公式，逐步推演，等

差數(shù)列的證明通常采用定義法或者等差中項(xiàng)法.

19.已知直三棱柱ABC—中，側(cè)面44,瓦6為正方形，AB=BC=2,E,尸分別為AC和CG的中

點(diǎn)，。為棱A4上的點(diǎn).BF1

（1）證明：BF工DE；

（2）當(dāng)耳。為何值時(shí)，面54GC與面。EE所成的二面角的正弦值最?。?/p>

【答案】（1）見解析；（2）B,D=-

2

【分析】通過己知條件，確定三條互相垂直的直線，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量證明線線

垂直和求出二面角的平面角的余弦值最大，進(jìn)而可以確定出答案.

【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的相關(guān)計(jì)算，能夠根據(jù)題意設(shè)出。（。,（）,2）（0＜。＜2）,在第二問中通過余弦

值最大，找到正弦值最小是關(guān)鍵一步.

20.拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。焦點(diǎn)在x軸上，直線/：x=l交C于P,。兩點(diǎn)，且已知

點(diǎn)/（2,0）,且OM與/相切.

（1）求C,QM的方程；

（2）設(shè)是C上的三個(gè)點(diǎn)，直線44，均與OM相切.判斷直線44與OM的位置關(guān)系，

并說明理由.

【答案】（1）拋物線C:y2=x,0M方程為（x—2）2+y2=i；（2）相切，理由見解析

【分析】（1）根據(jù)己知拋物線與x=l相交，可得出拋物線開口向右，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用對稱性設(shè)出RQ

坐標(biāo)，由OP_LOQ,即可求出P；由圓M與直線x=l相切，求出半徑，即可得出結(jié)論；

（2）先考慮44斜率不存在，根據(jù)對稱性，即可得出結(jié)論；若斜率存在，由A，4,4三

點(diǎn)在拋物線上，將直線4A2,A4,斜率分別用縱坐標(biāo)表示，再由A,A?與圓〃相切，得出

%+力，%,%與y的關(guān)系，最后求出M點(diǎn)到直線44的距離，即可得出結(jié)論.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：(1)過拋物線上的兩點(diǎn)直線斜率只需用其縱坐標(biāo)(或橫坐標(biāo))表示，將問題轉(zhuǎn)化為

只與縱坐標(biāo)(或橫坐標(biāo))有關(guān)；(2)要充分利用的對稱性，抽象出M+%，%,已與x關(guān)系，把

%，%的關(guān)系轉(zhuǎn)化為用以表示.

21.已知。>0且函數(shù)/(x)=J(x>0).

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若曲線y=/(x)與直線y=l有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍.

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一

題計(jì)分.

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸