彈性與塑性力學(xué)第2,3章習(xí)題答案

本文格式為Word版，下載可任意編輯——彈性與塑性力學(xué)第2,3章習(xí)題答案其次章

?002.1（曾海斌）物體上某點(diǎn)的應(yīng)力張量ζij為ζij=????001001003??1003（應(yīng)力單位）?100??0求出：

（a）面積單位上應(yīng)力矢量的大小，該面元上的法線矢量為n=（1/2，1/2，1/2）；（b）應(yīng)力主軸的方位；

（c）主應(yīng)力的大小；

（d）八面體應(yīng)力的大??；（e）最大剪應(yīng)力的大小。

解答：

(a)利用式（2.26）計(jì)算應(yīng)力矢量的分量Ti，得

T1=ζ

nn1j

nj=ζ11n1+ζ12n2+ζ13n3=0;同樣T2=jnj=272.47T3=ζ3jnj

nnn=157.31

所以，應(yīng)力矢量T的大小為

nT?[(T1)+(T2)+(T3)2]1/2=314.62

n2

n2

n

(b)(c)特征方程：ζ3—I1ζ2+I2ζ—I3=0

其中I1=ζij的對角項(xiàng)之和、I2=ζij的對角項(xiàng)余子式之和、I3=ζij的行列式。從一個(gè)三次方程的根的特征性可證明：I1=ζ1+ζ2+ζ3I2=ζ1ζ2+ζ2ζ3+ζ3ζ1I3=ζ1ζ2ζ3

其中得，ζ1=400、ζ2=ζ3=0是特征方程的根。將ζ1、ζ2和ζ3分別代入（2.43），并使用恒等式n12+n22+n32=1可決定對應(yīng)于主應(yīng)力每個(gè)值的單位法線ni的分量（n1、n2、n3）：ni（1）=（0，±0.866，±0.5）ni（2）=（0，?0.5，±0.866）（3）

ni=（±1，0，0）

注意主方向2和3不是唯一的，可以選用與軸1正交的任何兩個(gè)相互垂直的軸。(d）由式（2.96），可算

ζotc=1/3（0+100+300）=133.3

ηotc=1/3(90000+40000+10000+6*30000)1/2=188.56

(e)已經(jīng)求得ζ1=400、ζ2=ζ3=0，則有（2.91）給出的最大剪應(yīng)力為ηmax=200

2.2（曾海斌）對于給定的應(yīng)力張量ζij，求出主應(yīng)力以及它們相應(yīng)的主方向。

?3/2?ζij=??1/(22)??1/(22)??1/(22)11/4?5/4?1/(22)???5/4?（應(yīng)力單位）11/4??（a）從給定的ζij和從主應(yīng)力值ζ1，ζ2和ζ3中確定應(yīng)力不變量I1，I2和I3；（b）求出偏應(yīng)力張量Sij；

（c）確定偏應(yīng)力不變量J1，J2和J3；（d）求出八面體正應(yīng)力與剪應(yīng)力。解答：同上題2.1（a）（b）（c）方法得到ζ1=4、ζ2=2、ζ3=1對應(yīng)于主應(yīng)力每個(gè)值的單位法線ni的分量（n1、n2、n3）：ni

（1）

=（0，?1212，±

12）

ni（2）=（±，?0.5，?0.5）

ni（3）=（±

12，±0.5，±0.5）

（a）特征方程：ζ3—I1ζ2+I2ζ—I3=0

中I1=ζij的對角項(xiàng)之和、I2=ζij的對角項(xiàng)余子式之和、I3=ζij的行列式。代入數(shù)據(jù)的：I1=7；I2=14；I3=8

（b）偏應(yīng)力張量由式子（2.119）得出Sij=ζ12-pδij，其中p=7/3

??5/6?Sij=??1/(22)??1/(22)??1/(22)5/12?5/4?1/(22)???5/4?-5/12??

(c)J1=Sii=0，J2=1/6[4+1+9]=2.333,J3=1/27(2*49+9*7*14+27*8)=0.741

(d)ζotc=1/3*7=2.333η

2.3（李云雷）（a）解釋：假使S1?S2?S3,能得出S3?0嗎？（b）解釋：J2可以為負(fù)值嗎？（c）解釋：J3可以為正值嗎？解：

（a）不能，由于S1?S2?S3?0,所以S3不能等于0.

otc

21/2

=2/3(I1-3I2)=1.247

（b）由于J2?16[(?1??2)?(?2??3)?(?3??1)]，所以J2不可能為負(fù)值。

222（c）可以，當(dāng)S1,S2,S3中有一個(gè)正數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)J3為正值。

2.7（金晶）證明以下關(guān)系

J2?（a）證明：

13I1?I2

2I1??1??2??3I2??1?2??1?3??3?2I1?(?1??2??3)?(?1??2)??3?2?3(?1??2)??1??2??3?2?1?2?2?1?3?2?3?213?I?I2?1221222222213(?1??2??3?2?1?2?2?1?3?2?3?2)??1?2??1?3??3?222222(?1??2??3)?(?1?2??1?3??3?2)331613[(?1??2)?(?1??3)?(?3??2)]?I1?I222221?J2??J2?

11222(?1??2??3)?(?1?2??1?3??3?2)33（b）

證明：

J3?I3?13I1I2?227I13

I1??1??2??3I2??1?2??1?3??3?2I3??1?2?3I1I2?(?1??2??3)?(?1?2??1?3??3?2)?3?1?2?3??1?2??1?2??3?2??3?2??1?3??1?3123122222223I3?I1I2?I1??1?2?3?(3?1?2?3??1?2??1?2??3?2??3?2??1?3??1?3)?(?1??2??3)327327??(?1?2??1?2??3?2??3?2??1?3??1?3)?(?1??2??3)??1?2?39279J3?sijsjkski3?sij??ij?p?ij同理sjk??jk?p?jk???p??ski??ki?p?ki代入得1122222222222223334?12?13??11?p?sij??21?22?p?23???32?33???31?p?(?1??2??3)31?s1??1?ps2??2?ps3??3?p代入下式J3?s1s2s3?(?1?p)?(?2?p)?(?3?p)124222222333??(?1?2??1?2??3?2??3?2??1?3??1?3)?(?1??2??3)??1?2?39279?J3?I3?I1I2?I1327

123222?oct=（I1?3I2）3（c）

證明：

1?I1?(?1??2??3)?(?1??2)??3?2?3(?1??2)?I?3I2??1??2??3??1?2??1?3??3?2?(212222222I2??1?2??1?3??3?2)?(2?1??22?3??22)?(2?1??32)2?2oct4?1??22?3??22?1??3242?[()?()?()]?(I1?3I2)922291222??oct=（I1?3I2）3(d)

J2??(s1s2?s3s2?s1s3)

證明：

J2??121221sijsji?221223(s11?s22?s33?s12s21?s21s12????)12(s?s?s?2?212211222233212222(s?s?s)??2?223?2?)231??s11s22?s33s22?s11s33????(s1s2?s3s2?s1s3)??223??231

2.9（梁健偉）證明：從一個(gè)給定的應(yīng)力狀