2021年上海市楊浦區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷（解析版）

2021年上海市楊浦區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷

一.填空題(滿分54分，共有12題，1-6每題4分，7-12每題5分).

1.已知復(fù)數(shù)z滿足z=2-i(i為虛數(shù)單位)，則z?W=.

2.已知函數(shù)f(x)=^TT的反函數(shù)為(x)，則fi(3)=.

137

3.在行列式。=25-2中，元素3的代數(shù)余子式的值為.

124

4.在(x-a”的二項(xiàng)展開式中，K項(xiàng)的系數(shù)是.

'x+l>0

5.已知x,y滿足，y-240，則z=x-2y的最大值為.

x-y-440

6.方程logs(2X-3)的解為x=.

7.已知一組數(shù)據(jù)m3,-2,6的中位數(shù)為4,則其總體方差為.

8.已知函數(shù)/(x)=g(x)+|2x-1|為奇函數(shù)，若g(-1)=7,則g(1)=.

9.直線/：(〃+2)1=0OeN*)被圓C：(x-1)2+y2=i6所截得的弦長為d“，

則八%”戶.

n—+8

10.非空集合A中所有元素乘積記為T(A).已知集合加={1,4,5,7,8},從集合M

的所有非空子集中任選一個(gè)子集A,則7XA)為偶數(shù)的概率是.(結(jié)

果用最簡分?jǐn)?shù)表示)

11.函數(shù)f(x)=sin(3x)+/§cos(Sx)(3>0),若有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)機(jī)滿足：①

JT

0<m<-y；②氏二根是函數(shù)圖象的對稱軸，則3的取值范圍是.

12.如圖，在棱長為2的正方體ABCC-ABiGA中，點(diǎn)P是平面ACG4上一動(dòng)點(diǎn)，且滿

足印?而=0,則滿足條件的所有點(diǎn)P所圍成的平面區(qū)域的面積

是.

二、選擇題(本大題滿分20分)本大題共有4題，每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在

答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，填上正確的答案，選對得5分，否則一律得零分.

13.若m,Z7GR,i是虛數(shù)單位，則，=〃"是"(m-〃)+(,〃+〃)i為純虛數(shù)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

14.已知數(shù)列｛?。菬o窮等比數(shù)列，若則數(shù)列｛m｝的前〃項(xiàng)和S,()

A.無最大值，有最小值B.有最大值，有最小值

C.有最大值，無最小值D.無最大值，無最小值

15.在四邊形A8CO中，AB=DC=(3,如)，且滿足7Ty，則|菽尸

|ABIIADIIACI

()

A.2B.6C.73D.2A/3

16.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镼,值域?yàn)锳,函數(shù)/(x)具有下列性質(zhì)：(1)若x,ye。,

f(x)

則EA；(2)若x,ye。，則f(x)4/3eA.下列結(jié)論正確的是()

f(y)

①函數(shù)/(x)可能是奇函數(shù);

②函數(shù)/(x)可能是周期函數(shù)；

③存在XED,使得f(x)；

2,2020

④對任意在。，都有/(%)64.

A.①③④B.②③④C.②④D.②③

三、解答題(本大題滿分76分)本大題共5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)

定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.

17.如圖，棱柱ABC-481cl中，AB=BC=AAt=2,底面ABC,AB1BCDAB

的中點(diǎn).

(1)求證：直線BC與直線0G為異面直線;

(2)求直線OG與平面AiBC所成角的大小.

2

18.已知f(x)=ax+~^—，(。為實(shí)常數(shù))

x2+l

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求不等式￡&)+儀工)<*的解集；

x

(2)若函數(shù)/(X)在(0,+8)中有零點(diǎn)，求a的取值范圍.

19.如圖，A,B,C三地在以O(shè)為圓心的圓形區(qū)域邊界上，42=30公里，AC=10公里，

NBAC=60°,。是圓形區(qū)域外一景點(diǎn)，ZDBC=90°,NDCB=60°.

(DO.A相距多少公里？(精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位)

(2)若一汽車從A處出發(fā)，以每小時(shí)50公里的速度沿公路行駛到。處，需要多少

小時(shí)？(精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位)

20.(16分)焦點(diǎn)為F的拋物線J：y2=4x與圓,2：(x-1)2+丫2口6交于A,B兩點(diǎn)，

2=

y4x,X《XA

其中A點(diǎn)橫坐標(biāo)為后，方程1&的曲線記為「，P是曲線「上一

(x-l)2+y2=16,x>.

xA

動(dòng)點(diǎn).

(1)若P在拋物線上且滿足|PQ=3,求直線PF的斜率；

(2)T(m,0)是x軸上一定點(diǎn).若動(dòng)點(diǎn)P在「上滿足XWXA的范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，|P7]W|A71

恒成立，求m的取值范圍；

(3)。是曲線「上另一動(dòng)點(diǎn)，且滿足若△PFQ的面積為4,求線段PQ的長.

21.（18分）已知無窮數(shù)列｛m｝與無窮數(shù)列｛仇｝滿足下列條件：①斯日0,1,2｝,neN*；②

如此=（-1）"?|《〃“-1%+小〃6N*.記數(shù)列｛兒｝的前”項(xiàng)積為北.

bn24

（1）若。|=6=1,。2=0,43=2,44=1,求及；

（2）是否存在0,。2,。3,。4,使得歷,b2f仇，仇成等差數(shù)列？若存在，請寫出一組

0,。2，。3，。4；若不存在，請說明理由；

（3）若。］=1,求“021的最大值.

參考答案

一.填空題(滿分54分，共有12題，1-6每題4分，7-12每題5分).

1.已知復(fù)數(shù)z滿足z=2-i(;為虛數(shù)單位)，則z*~=5.

解：因?yàn)閦=2-i,所以W=2+i，

所以z?z=(2-/)(2+0=4+1=5,

故答案為:5.

2.已知函數(shù)f(x)=收1I的反函數(shù)為fl(x)，則(3)=5.

解：令f(x)=V2x-l=3>解得x=5,

故廣⑶=5.

故答案為：5.

137

3.在行列式￡>=25-2中，元素3的代數(shù)余子式的值為-10.

124

137

解：在行列式。=25-2中，元素3的代數(shù)余子式的值為：

124

(-1)1+2[2X4-(-2)Xl]=-10,

故答案為：-10.

4.在(x-a”的二項(xiàng)展開式中，4項(xiàng)的系數(shù)是56.

解：由已知可得展開式中含3的項(xiàng)為：

Cgx6?(-我')2=2X283=56/,

所以展開式中/項(xiàng)的系數(shù)為56,

故答案為：56.

x+l)0

5.已知x,y滿足，y-240,則z=x-2y的最大值為9.

x-y-4=C0

解：由約束條件作出可行域如圖，

由z=x-2y,得尸卷長由圖可知，當(dāng)直線y=]|過A時(shí)，直線在y軸上的截距最

小，

z有最大值為9.

故答案為：9.

6.^logc（4x-ll）-l=log（2x-3^^x=2

OuR

解：vlog.（4x-ll）-l=lo-（2x-3）,

ougp

4x-ll>0

.I2x-3>o

解得x=2.

故答案為：2.

7.已知一組數(shù)據(jù)〃，3,-2,6的中位數(shù)為4,則其總體方差為學(xué).

解：因?yàn)閿?shù)據(jù)m3,-2,6的中位數(shù)為4,

所以乎=4,故。=5,

2

所以這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1X(-2+3+5+6X.

故方差為工X[(-2-3)2+(3-3)2+(5-3)2+(6-3)2]=—.

42

故答案為：

8.已知函數(shù)/(x)=g(x)+|2x-1|為奇函數(shù)，若g(-1)=7,則g(1)=-11

解：根據(jù)題意，函數(shù)/(x)=g(x)+|2x-1|,

則/⑴=g⑴+1,f(-1)=g(-1)+3,

又由函數(shù)/(x)=g(x)+\2x-1|為奇函數(shù)，則/(-1)V(1)=g(1)+g(-1)+4=

0,

貝1Jg(1)=-11,

故答案為：-11.

9.直線/：(/2)1=0(〃EN*)被圓C(工-1)2+y2=i6所截得的弦長為心,

則，修』_2放

解：圓C：(x-1)2+爐=16的圓心(1,0),半徑為4,

由點(diǎn)到直線的距離公式可得"1=2r=4v需

9“

2

nn

216—

-45

]1+~y

1n1n/

9y

limd—lim?n4

n—+8n+8'16—＞號(hào)-=2A/16-9=2V7.

1-+--^7

1n1n4

故答案為：2，，.

10.非空集合A中所有元素乘積記為7(A).已知集合用={1,4,5,7,8},從集合M

的所有非空子集中任選一個(gè)子集A,則T(A)為偶數(shù)的概率是空.(結(jié)果用最簡

—31―

分?jǐn)?shù)表示)

解：因?yàn)榧虾?{1,4,5,7,81,

所以集合M的所有非空子集共有25-1=31種，

若T(A)為奇數(shù)，則A中元素全部為奇數(shù)，

又{1,3,5}的非空子集個(gè)數(shù)，共有23-1=7種，

所以T(A)為偶數(shù)的共有31-7=24種，

故T(A)為偶數(shù)的概率是答.

故答案為：詈.

O1

11.函數(shù)f(x)=sin(3x)+7§cos(sx)(3〉0),若有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)機(jī)滿足：①

兀17

O《m《g；②x="是函數(shù)圖象的對稱軸，則3的取值范圍是」之一冬_.

/Oo

TT

解：?.?函數(shù)f(x)=sin(3x)^V§cos(3x)(W>0)=2sin(a)x+—),

o

TT

若有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)拼滿足：①04m41；②x=〃?是函數(shù)圖象的對稱軸，

JT

故函數(shù)的圖象的對稱軸只有一條在[0,-y]±,

JTTTTTI

=ku+——，ERx=(加+——)?---,keZt

3-------263

jr

令k=0,可得函數(shù)的圖象的對稱軸方程”=3，

63

.兀兀口?！?兀、兀

..而w5，

求得■1?Wa)Vq",

oO

故答案為：&1).

12.如圖，在棱長為2的正方體ABC￡>-48IGOI中，點(diǎn)P是平面ACG4上一動(dòng)點(diǎn)，且滿

足D[P，CP=O,則滿足條件的所有點(diǎn)尸所圍成的平面區(qū)域的面積是4K.

1-2.

解:因?yàn)镈[P?CP=O,

所以DyPVCP,

故P在以CDy為直徑的球面上，且P在平面ACCiA,上，

則尸在面ACG4截球所得的圓上，設(shè)該圓半徑r,且正方體棱長為2,

則CZ)=2&,球半徑R=)CD=&，

連接SA,則B￡)i_LAiG，B\D\LAA\,

所以BiA_L平面ACCA,

所以。i到平面ACG4的距離"="BID[=近,

因?yàn)?。為CQ中點(diǎn)，

所以。到平面ACC'的距離歸4必=返，

212

所以圓半徑「=五2_壯2=后,

圓面積5=113=耳二.

故答案為：之;.

二、選擇題(本大題滿分20分)本大題共有4題，每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在

答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，填上正確的答案，選對得5分，否則一律得零分.

13.若加，"CR,i是虛數(shù)單位，則，=”"是"(m-〃)+(m+n)i為純虛數(shù)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

Jm-n=0

解:復(fù)數(shù)z=m-n+(m+n)i為純虛數(shù),可得1m+n7^0解得〃?="W0.

二“機(jī)=〃”是“復(fù)數(shù)z=m-”+(m+n)，?為純虛數(shù)”的必要不充分條件.

故選：B.

14.己知數(shù)列｛〃”｝是無窮等比數(shù)列，若0<〃2<0,則數(shù)列｛〃“｝的前”項(xiàng)和S,()

A.無最大值，有最小值B.有最大值，有最小值

C.有最大值，無最小值D.無最大值，無最小值

解：根據(jù)題意，數(shù)列｛%｝是無窮等比數(shù)列，若0<42<0,

則其公比4=上a2>0,數(shù)列｛〃“｝所有項(xiàng)為負(fù)，

al

則有。2=S2-SV0,即有$>S2,

同理可得S|>S2>……>s?>……，

故數(shù)列｛如｝的前〃項(xiàng)和S"有最大值，無最小值，

故選：C.

15.在四邊形A8C。中，AB=DC=(3f我)，且滿足■^:+,吧，=則|菽尸

|ABI|ADIIACI

()

A.2B.6C.73D.2M

板..ABADAC

m-：.—=；—+—=；—=一=一，

IABIIADIIACI

.?.AC為NBA。的角平分線,

,/AB=DC-四邊形ABCD是平行四邊形，

，四邊形A8CD是菱形，

J.ZBAC^ZBCA,屈=V^§=2?，

故選：D.

16.已知函數(shù)，(x)的定義域?yàn)椤＃涤驗(yàn)锳,函數(shù)f(x)具有下列性質(zhì)：(1)若x,y&D,

則分生-EA；(2)若X,yED,pli]/(x)eA.下列結(jié)論正確的是()

fly)

①函數(shù)/(X)可能是奇函數(shù)；

②函數(shù)/(X)可能是周期函數(shù)；

③存在x&D,使得f(x)

④對任意聯(lián)￡>,都有f(x)GA.

A.①③④B.②③④C.②④D.②③

解：①中，若f(x)為奇函數(shù)，則由性質(zhì)(1)得，f(x)WO,所以當(dāng)y=-x時(shí)，f(x)

+f(y)=/(x)+/(-x)=OcA,性質(zhì)(1)(2)矛盾，①錯(cuò)誤；

若/CO為周期函數(shù)，則/(x)=f(x+T),T為周期，當(dāng)Ae(-8,0)U(0,+8)

時(shí)，性質(zhì)(1)(2)均成立，結(jié)論②正確；

由上述分析可知，當(dāng)AC(-8,0)U(0,+8)時(shí)/(x)的值域?yàn)镽,所以一定存在

xo使得/(xo)=然/，結(jié)論③正確；

由性質(zhì)(2)可得當(dāng)y=x時(shí)，y(x)4/(y)=2于3E,故A為無窮集合，故/(x)6A,

結(jié)論④正確.

故選：B.

三、解答題(本大題滿分76分)本大題共5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)

定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.

17.如圖，棱柱ABC-中，AB=BC=A4i=2,底面ABC,AB_LBC￡>是棱A8

的中點(diǎn).

(1)求證：直線BC與直線OG為異面直線;

(2)求直線。G與平面4BC所成角的大小.

B.

A1

5

BA

【解答】(1)證明：假設(shè)直線BC與直線。G共面,

:點(diǎn)B,C,OC平面4BC,

而過直線BC和直線BC外一點(diǎn)D有且只有一個(gè)平面,

；.Cie平面ABC,矛盾！(1分)

假設(shè)不成立故直線8C與直線。G為異面直線.(1分)

(2)解：如圖，以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，(1分)

則B(0,0,0),C(2,0,0),4(0,2,2),BC=(2,0,0)，甌=(0,2,2),

設(shè)平面43C的一個(gè)法向量n=(u,v,w)，

則z取左(。，1，

12v+2w=0

D(0,1,0),G(2,0,2),DC[=(2,-1,2),(1分)

設(shè)直線DC,與平面MBC所成角所成角為0,

|DC「n|3圾

則sin8(1分)

|DC^|-|n|'3V2~2

所以0=45°.(1分)

（1）當(dāng)。=1時(shí)，求不等式f（x）+f（上）＜x的解集；

X

（2）若函數(shù)f（x）在（0,+8）中有零點(diǎn)，求。的取值范圍.

解：（1）當(dāng)4=1時(shí)，不等式f（x）+f（工）=X+L+1〈X,化簡可得生上＜0,

XXX

所以%（x+1）V0,解得-1VxVO,

所以不等式的解集為（-1,0）；

（2）因?yàn)楹瘮?shù)/（x）在（0,+8）中有零點(diǎn)，

2

所以—二0，工€（。，+8）有解，

xJ+l

X__1

則軟二2+1=r（x＞o）,

XXL

X

因?yàn)閤」■的取值范圍是［2,+°°），

X

故。的取值范圍是［4，0）.

19.如圖，A,B,C三地在以0為圓心的圓形區(qū)域邊界上，A8=30公里，AC=10公里，

ZBAC=60°,。是圓形區(qū)域外一景點(diǎn)，ZDBC=90°,ZDCB=60°.

（1）0、A相距多少公里？（精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）

（2）若一汽車從A處出發(fā)，以每小時(shí)50公里的速度沿公路A。行駛到。處，需要多少

小時(shí)？（精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）

解：（1）在aABC中，由余弦定理可得，

BC2=AB2+AC2-2ABACCOSZCAB=302+\02-23010cos60°=700,

：?BC=10\/7,

1Q

則OA-^X.=1x10"=VH^15.28（公里）?

2sinZBAC2sin603

答：0、A相距約15.28公里;

(2)在RtZ\C8D中，BD=BC?tan60°=10A/7X73=1(X/21>

在△ABC中ACBC

'sin/ABCsin/BCA'

1077???sin/ABcW，

即10

sin/ABCsin600

V21

??cosZABD=cos(ZABC=-sin/ABC=F，

AD2AB2+BD22ABBDcosZABD

302+(10V2i)2-2X30X10V21X=3900-

.??AD=10V39(公里)-

所需時(shí)間為而?圓g125小時(shí)?

"J505L‘°

答：從A行駛到。約需要1.25小時(shí).

20.(16分)焦點(diǎn)為尸的拋物線Ci：y2=4x與圓C2：(x-l)2+y2=i6交于A,8兩點(diǎn)，

2=

y4x,x<xA

其中A點(diǎn)橫坐標(biāo)為以，方程1。的曲線記為「，尸是曲線「上一

(x-l)2+y2=16,x>.

xA

動(dòng)點(diǎn).

(1)若尸在拋物線上且滿足|PF|=3,求直線PF的斜率；

(2)T(m,0)是x軸上一定點(diǎn).若動(dòng)點(diǎn)P在「上滿足xW必的范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，IP71WH7]

恒成立，求機(jī)的取值范圍；

(3)。是曲線「上另一動(dòng)點(diǎn)，且滿足FPLFQ,若△PFQ的面積為4,求線段P。的長.

解：⑴P是拋物線V=4x上滿足尸網(wǎng)=3的點(diǎn)，

過點(diǎn)P作尸MJJ于M

由拋物線的定義可知，|PQ=|PN，

設(shè)P(x'，y')，則x'+1=3,解得x'=2,

又因?yàn)辄c(diǎn)尸在拋物線上，

所以2=8,得y'=±2&,

所以直線PF的斜率為左一■^=±2叵

2-1

(2)設(shè)尸5,%),

山卜了":16,得代:

,y2=4x1y--3^3

所以A(3,2y),B(3,-2?),刈=3,

由|P71W|A7],得(xi-m)2+巾2<(3-m)2+12,

即xj_2〃?汨+瓶2+4為<21-6〃?+機(jī)2,

因?yàn)閄IWXA=3,所以mW、-21=力(廠3+6-」4),

2x-62x-3

令/(x)=—(x-3+6--),則是增函數(shù)，且0Wx<3,

2x-3

當(dāng)x=o時(shí)，三?二21取得最小值?，所以

2x-622

即町WIA71恒成立的范圍是(-8,Z].

(3)點(diǎn)P,。都是r上的動(dòng)點(diǎn)，

①當(dāng)P,Q都在圓弧上時(shí)，

\FQ\=\FP\=4,PFA.QF,

所以SMFQ=^X4X4=8,

不滿足SV、Q=4的條件.

②當(dāng)P在拋物線上，。在圓上，

由底勿2=4,得|尸廳=2,

在RtZiPFQ中，|PF|2+|PQF=22+42=20,

③當(dāng)P,Q都在拋物線上，

設(shè)P（為，％）.Q（松，72）,

所以|PF|=xi+l,\QF\=xz+\,

因?yàn)镕P±FQ,

所以kpF，kQF=

y-2

所以了27=-1,

（十T）（"）

所以yi2y2?-4（W+討）+16丫3+16=0,①

因?yàn)椤魇現(xiàn)Q的面積為4,

所以?||PF||QR=4,

所以（X1+1）（X2+1）=8,

所以XIX2+（X1+X2）-7=0,

2222

所以力?丫2+（丫1+52）-7=0,

4444

所以巾2y22+4（娟+W）-112=0②，

①+②得，2yry22+16yiy2-96=0,

所以-48=0,

令t=y\yi,

貝lj3+81-48=0,

解得，=-12或）=4,

即y\yi=-12或6”=4,

"==

y1y2-12fy1y24

代入②得｛22（舍）叫22，

+y=8Y

了］2"\+y2=24

若/”=4>0,則yi,”同號(hào),且yi#y2,

由②可知-2正

所以短+對<24矛盾,

%產(chǎn)2=4

所以《99（舍），

y/+y2=24

綜上所述，|PQI=2娓.

21.（18分）己知無窮數(shù)列｛〃“｝與無窮數(shù)列｛d｝滿足下列條件：①斯日0,1,2｝,KN*；②

bn+111

上L=（_1）喑MGN*.記數(shù)列｛兒｝的前〃項(xiàng)積為7〃.

bn24

（1）若〃1="=1,6/2=0,6=2,44=1,求北；

（2）是否存在0,672,。3,。4,使得b\,歷，b3,64成等差數(shù)列？若存在，請寫出一組

0,。2,。3，。4；若不存在，請說明理由；

（3）若從=1,求2）21的最大值.

bo1111

解：（1）由丁=-|521-7221=下得，b2=-y>

b

,4111I3ZH3

由已=-6&3-了&4|=二得，b4W，

3

??.T4=brb2-b3-b4-；

（2）不存在.假設(shè)存在，設(shè)岳，立,b&公差為d,

若仇>0,則為VO,63V0,Z?4>0,公差d=〃2-4VO,d=b4-b3>0,矛盾；

若。<0,則歷>O加>0,仇VO,公差d=〃2>0,d=h4-fe<0,矛盾，

???假設(shè)不成立，故不存在；

（3）由題意，歷=