新北師大九年級數(shù)學下冊知識點總結

PAGE第3頁九年級數(shù)學下冊知識點歸納第一章直角三角形邊的關系一．銳角三角函數(shù)1.正切：定義：在Rt△ABC中，銳角∠A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，即;①tanA是一個完整的符號，它表示∠A的正切，記號里習慣省去角的符號“∠”；②tanA沒有單位，它表示一個比值，即直角三角形中∠A的對邊與鄰邊的比；③tanA不表示“tan”乘以“A”；④初中階段，我們只學習直角三角形中，∠A是銳角的正切；⑤tanA的值越大梯子越陡∠A越大∠A越大梯子越陡，tanA的值越大。2.正弦：定義：在Rt△ABC中，銳角∠A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即;3.余弦：定義：在Rt△ABC中，銳角∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即;銳角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函數(shù)當銳角A變化時，相應的正弦、余弦和正切之也隨之變化。圖2hi=h:l圖2hi=h:llABC圖130o45o60osinαcosαtanα1三．三角函數(shù)的計算1.仰角:當從低處觀測高處的目標時，視線與水平線所成的銳角稱為仰角2.俯角：當從高處觀測低處的目標時，視線與水平線所成的銳角稱為俯角3.規(guī)律：利用特殊角的三角函數(shù)值表，可以看出，(1)當角度在0°～90°間變化時，正弦值、正切值隨著角度的增大(或減小)而增大(或減小)；余弦值隨著角度的增大(或減小)而減小(或增大)。(2)0≤sinα≤1，0≤cosα≤1。4.坡度：如圖2，坡面與水平面的夾角叫做坡角坡角的正切稱為坡度(或坡比)。用字母i表示，即5.方位角：從某點的指北方向按順時針轉到目標方向的水平角，叫做方位角。如圖3，OA、OB、OC的方位角分別為45°、135°、225°。6.方向角：指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如圖4，OA、OB、OC、OD的方向角分別是；北偏東30°，南偏東45°(東南方向)、南偏西為60°，北偏西60°。圖4圖37.同角的三角函數(shù)間的關系：圖4圖3①互余關系sinA=cos(90°－A)、cosA=sin(90°－A)②平方關系：③商數(shù)關系：8.解直角三角形：在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和二個銳角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形（須知一條邊）。9.直角三角形變焦關系：在△ABC中，∠C為直角，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，則有(1)三邊之間的關系：a2+b2=c2；(2)兩銳角的關系：∠A＋∠B=90°；(3)邊與角之間的關系：(4)面積公式:(hc為C邊上的高);(5)直角三角形的內切圓半徑(6)直角三角形的外接圓半徑10.三角函數(shù)的應用11.利用三角函數(shù)測高（7）二次函數(shù)的性質：二次函數(shù)配方成則拋物線的=1\*GB3①對稱軸：x=②頂點坐標：（，）③增減性：若a>0，當x<時，y隨x的增大而減??；當x>時，y隨x的增大而增大。若a<0，則當x<時，y隨x的增大而增大；當x>時，y隨x的增大而減小。④最值：若a>0，則當x=時，；若a<0，則當x=時，3.確定二次函數(shù)的表達式：（待定系數(shù)法）（1）一般式：（2）頂點式：（2）交點式：y=a(x-x1)(x-x2)4.二次函數(shù)的應用：幾何方面應用題5.二次函數(shù)與一元二次方程（1）二次函數(shù)的圖象(拋物線)與x軸的兩個交點的橫坐標x1，x2是對應一二次方程的兩個實數(shù)根（2）拋物線與x軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：>0<===>拋物線與x軸有2個交點；=0<===>拋物線與x軸有1個交點；<0<===>拋物線與x軸有0個交點（無交點）；（3）當>0時設拋物線與x軸的兩個交點為AB則這兩個點之間的距離化簡后即為：這就是拋物線與x軸的兩交點之間的距離公式。第三章圓1.圓的定義：描述性定義：在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A隨之旋轉所形成的圓形叫做圓；固定的端點O叫做圓心；線段OA叫做半徑；以點O為圓心的圓，記作⊙O，讀作“圓O”集合性定義：圓是平面內到定點距離等于定長的點的集合。其中定點叫做圓心，定長叫做圓的半徑，圓心定圓的位置，半徑定圓的大小，圓心和半徑確定的圓叫做定圓。對圓的定義的理解：①圓是一條封閉曲線，不是圓面；②圓由兩個條件唯一確定：一是圓心（即定點），二是半徑（即定長）。2.點與圓的位置關系及其數(shù)量特征：如果圓的半徑為r，點到圓心的距離為d，則①點在圓上<===>d=r;②點在圓內<===>d<r;③點在圓外<===>d>r.其中點在圓上的數(shù)量特征是重點，它可用來證明若干個點共圓，方法就是證明這幾個點與一個定點、的距離相等。3.圓的對稱性:（1)與圓相關的概念：①弦和直徑：弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦。直徑：經過圓心的弦叫做直徑。②弧、半圓、優(yōu)弧、劣?。夯。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧，用符號“⌒”表示，以CD為端點的弧記為“”，讀作“圓弧CD”或“弧CD”。半圓：直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧叫做半圓。優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧。劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧。(為了區(qū)別優(yōu)弧和劣弧，優(yōu)弧用三個字母表示。)③弓形：弦及所對的弧組成的圖形叫做弓形。④同心圓：圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做同心圓。⑤等圓：能夠完全重合的兩個圓叫做等圓，半徑相等的兩個圓是等圓。⑥等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。⑦圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角.⑧弦心距:從圓心到弦的距離叫做弦心距.（2）圓是軸對稱圖形，直徑所在的直線是它的對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸。圓是中心對稱圖形，對稱中心為圓心。定理：在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等、所對的弦相等、所對的弦心距相等。推論:在同圓或等圓中,如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等,那么它們所對應的其余各組量都分別相等.4.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。推論：平分一般弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。說明：根據垂徑定理與推論可知對于一個圓和一條直線來說，如果具備：圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對的優(yōu)弧；⑤平分弦所對的劣弧。上述五個條件中的任何兩個條件都可推出其他三個結論。5.圓周角和圓心角的關系:（1）圓周角：:頂點在圓上,并且兩邊都與圓相交的角,叫做圓周角.（2）圓周角定理:圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的的圓心角度數(shù)的一半.推論1:同弧或等弧所對的圓周角相等。推論2:直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑；（3）圓內接四邊形：若四邊形的四個頂點都在同一個圓上,這個四邊形叫做圓內接四邊形.圓內接四邊形的性質:圓內接四邊形的對角互補;6確定圓的條件:（1）理解確定一個圓必備兩個條件:圓心和半徑,圓心決定圓的位置,半徑決定圓的大小.經過一點可以作無數(shù)個圓,經過兩點也可以作無數(shù)個圓,其圓心在這個兩點線段的垂直平分線上.（2）經過三點作圓要分兩種情況:經過同一直線上的三點不能作圓.經過不在同一直線上的三點,能且僅能作一個圓.定理:不在同一直線上的三個點確定一個圓.（尺規(guī)作圖）7.三角形的外接圓、三角形的外心。(1)三角形的外接圓:經過一個三角形三個頂點的圓叫做這個三角形的外接圓.(2)三角形的外心:三角形外接圓的圓心叫做這個三角形的外心.(3)三角形的外心的性質:三角形外心到三頂點的距離相等.8.直線與圓的位置關系(1)相交:直線與圓有兩個公共點時,叫做直線和圓相交,這時直線叫做圓的割線.(2)相切:直線和圓有惟一公共點時,叫做直線和圓相切,這時直線叫做圓的切線,惟一的公共點做切點.(3)相離:直線和圓沒有公共點時,叫做直線和圓相離.(4)直線與圓的位置關系的數(shù)量特征:設⊙O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d；①d<r<===>直線L和⊙O相交.②d=r<===>直線L和⊙O相切.③d>r<===>直線L和⊙O相離.(5）切線的判定定理:經過半徑的外端并且垂直于半徑的直線是圓的切線.切線的性質定理:圓的切線垂直于過切點的半徑.推論1經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點.推論2經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心.分析性質定理及兩個推論的條件和結論間的關系,可得如下結論:如果一條直線具備下列三個條件中的任意兩個,就可推出第三個.①垂直于切線;②過切點;③過圓心.(6）三角形的內切圓、內心.和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓,內切圓的圓心叫做三角形的內心.三角形內心的性質:三角形的內心到三邊的距離相等.(三角形的內切圓作法尺規(guī)作圖)9切線長定理：過圓外一點所畫的圓的兩條切線長想等，圓外切四邊形對邊相等，直角三角形內切圓半徑公式.10.圓內接正多邊形(1)定義：頂點都在同一圓上的正多邊形叫做圓內接正多邊形，這個圓叫做該正多邊形的外接圓.(2)中心角、邊心距：中心角是正多邊形相鄰兩對角線所夾的角，邊心距是正多邊形的邊到圓心的距離.11.弧長及扇形的面積(1)弧長公式:弧長(R表示圓的半徑,n表示弧所對的圓心角的度數(shù))(2)扇形定義:一條弧