第4章數(shù)字圖像變換與圖像運算

課堂討論24位真彩色圖像的按頁面顯示的問題2023/10/2512023/10/252第4章圖像變換與圖像運算－本章重點：傅立葉變換圖像運算

－主要內(nèi)容

傅立葉變換點運算局域運算代數(shù)運算幾何運算2023/10/253預(yù)備知識公式中表示形式—以后用到

歐拉公式—以后用到

2023/10/2544.1圖像變換變換的目的：為了有效地和快速地對圖像進行處理和分析,常常需要將原定義在圖像空間的圖像以某種形式轉(zhuǎn)換到另外一些空間,并利用在這些空間的特有性質(zhì)方便地進行一定的加工,最后再轉(zhuǎn)換回圖像空間以得到所需的效果.主要為了簡化處理。要求：（1）變換必須是可逆的。它保證了圖像函數(shù)變換完了可以再變換回來。（2）變換要能簡化圖像處理。（3）變換算法要簡單。分類：可分離變換（傅里葉變換及其他可分離變換）統(tǒng)計變換（霍特林變換）2023/10/255背景傅立葉指出:任何周期函數(shù)都可以表示為不同頻率的正弦和/或余弦和的形式,每個正弦和/或余弦乘以不同的系數(shù)(現(xiàn)在稱這個和為傅立葉級數(shù)).無論函數(shù)有多么復(fù)雜,只要它是周期的,并且滿足某些軟的數(shù)學(xué)條件,都可以用這樣的和來表示.甚至非周期的函數(shù)(但是這些領(lǐng)域是在曲線是有限的情況下)也可以用正弦和/或余弦乘以加權(quán)函數(shù)的積分來表示.在這種情況下的公式就是傅立葉變換,它的應(yīng)用在大多數(shù)實際應(yīng)用中比傅立葉級數(shù)更廣泛.用傅立葉級數(shù)或變換表示的函數(shù)特征可以完全通過傅立葉反過程來重建,不丟失任何信息.這是這些表示法的最重要的特征之一,因為它可以使我們工作于“頻率域”,而且在轉(zhuǎn)換回函數(shù)的原始域時不丟失任何信息.這里僅處理有限域內(nèi)的函數(shù)(圖像),所以傅立葉變換是我們感興趣的工具.2023/10/256傅里葉變換在最下面的函數(shù)是上面4個函數(shù)的和

.在1807年,傅立葉的思想—周期函數(shù)可以表示為加權(quán)的正弦與余弦和的形式—遭到了懷疑.2023/10/257傅里葉變換1.一維傅里葉變換設(shè)f(x)為實變量x的連續(xù)可積函數(shù)，則f(x)的傅里葉變換F(u)為：同樣，給定F(u)通過傅里葉反變換，可以得到f(x):f(x)和F(u)稱為傅里葉變換對2023/10/258傅里葉變換2.二維傅里葉變換若二維函數(shù)f(x,y)是連續(xù)可積的函數(shù)，則傅里葉變換對為：2023/10/259傅里葉變換3.離散傅里葉變換（DFT------IDFT)1-D離散傅里葉變換：假設(shè)用取一個間隔△x單位的抽樣方法將一個連續(xù)函數(shù)f(x)離散化為一個序列。即對1個連續(xù)函數(shù)f(x)等間隔采樣可得到1個離散序列.設(shè)共采了N個樣,則這個離散序列可表示為{f(0),f(1),f(2),…f(N-1)}.

2023/10/2510傅里葉變換(公式4－１):令x為離散實變量,u為離散頻率變量,可將離散傅里葉變換對定義為:2023/10/2511傅里葉逆變換(公式4－２):

可以證明離散傅里葉變換對總是存在的在變換前的1/N乘數(shù)有時被放置在反變換前.有時兩個等式都乘以2023/10/2512傅里葉變換傅里葉變換前的變量域（x）稱為時域或空域,變換后的變量域(u)稱為頻域或變換域。從公式4－２中看出，F(xiàn)(u)是復(fù)函數(shù)。F(u)可表示為：其中R(u)和I(u)分別為F(u)的實部和虛部。2023/10/2513傅里葉變換

F(u)也可表示為指數(shù)形式：其中：幅度函數(shù)｜F(u)｜也稱為f(x)的傅里葉頻率譜或幅度，ф（u)稱為相位角或相位譜．在研究圖像增強時,主要關(guān)心頻率譜的性質(zhì).2023/10/2514傅里葉變換頻譜的平方稱為f(x)的功率譜，也稱為能量(或譜密度)，記為P(u):F(u)為復(fù)函數(shù)，它有５個部分：實部：R(u)虛部：I(u)振幅（幅度函數(shù)、傅里葉頻譜）：｜F(u)｜能量（功率譜）：P(u)相位角：ф（u)2023/10/2515頻率變量傅里葉變換中出現(xiàn)的變量u通常稱為頻率變量．這個名稱的來歷是：把傅里葉變換中出現(xiàn)的指數(shù)項借助歐拉公式可寫為：

u的每一個值確定了它所對應(yīng)的正弦－余弦對的頻率．一個恰當(dāng)?shù)谋扔魇菍⒏盗⑷~變換比做一個玻璃棱鏡.棱鏡是可以將光分成不同顏色成分的物理儀器,每個成分的顏色由波長或頻率決定.傅立葉變換可看做“數(shù)學(xué)的棱鏡”,將函數(shù)基于頻率分成不同的成分.2023/10/25162-D傅里葉變換以正方形網(wǎng)格采樣得到的圖像的２-Ｄ傅里葉變換．將傅里葉１-Ｄ變換推廣（公式4-3）：2023/10/25172-D傅里葉變換

2D傅里葉逆變換（公式4-4）：注意：乘數(shù)部分與一維的區(qū)別2023/10/25182-D傅里葉變換2-D傅里葉變換F(u,v)的５個部分：實部：R(u,v)虛部：I(u,v)頻譜：|F(u,v)|相位角：ф（u,v)功率譜：P(u,v)2023/10/25192-D傅里葉變換的性質(zhì)（1）分離性:一個2-D傅里葉變換可由連續(xù)2次運用1-D傅里葉變換來實現(xiàn);2023/10/25202-D傅里葉變換的性質(zhì)（2）平移性質(zhì):將函數(shù)f(x,y)與一個指數(shù)相乘(如（-1）x+y)就相當(dāng)于把其變換后的頻域中心移動到新的位置.將函數(shù)F(u,v)與一個指數(shù)相乘就相當(dāng)于把其反變換后的空域中心移動到新的位置.對f(x,y)的平移不影響傅里葉變換的幅值.2023/10/25212-D傅里葉變換的性質(zhì)（3）周期性和共扼對稱性周期性:F(u,v)=F(u+N,v)=F(u,v+N)=F(u+N,v+N)周期性表明，盡管F(u,v)對無窮多個u,v的值重復(fù)出現(xiàn)，但只須根據(jù)在任一個周期里的Ｎ個值就可以從F(u,v)得到f(x,y)。即只需一個周期里的變換就可將F(u,v)在頻域里完全決定。同樣的結(jié)論對f(x,y)在空域也成立。共扼對稱性:F(u,v)=F*(-u,-v)|F(u,v)|=|F(-u,-v)|其中:F*(u,v)為F(u,v)的復(fù)共扼2023/10/25222-D傅里葉變換的性質(zhì)（4）旋轉(zhuǎn)性質(zhì):對f(x,y)旋轉(zhuǎn)a角對應(yīng)于將其傅里葉變換F(u,v)也旋轉(zhuǎn)a角.類似的,對F(u,v)旋轉(zhuǎn)a角也對應(yīng)于將其傅里葉變換反變換f(x,y)旋轉(zhuǎn)a角.2023/10/25232-D傅里葉變換的性質(zhì)（5）分配率:對加法滿足,對乘法不滿足.F{f1(x,y)+f2(x,y)}=F{f1(x,y)}+F{f2(x,y)}（6）尺度變換給定2個標(biāo)量a,b,有:af(x,y)aF(u,v)f(ax,by),1/|ab|F(u/a,v/b)2023/10/25242-D傅里葉變換的性質(zhì)（7）平均值可以證明:2023/10/25252-D傅里葉變換的性質(zhì)（8）卷積2個函數(shù)的卷積定義為:可以證明它們的離散卷積定義為:

2023/10/25262-D傅里葉變換的性質(zhì)（9）相關(guān)2個函數(shù)的相關(guān)定義為:

2023/10/25274.快速傅里葉變換（FFT）從傅里葉變換的公式中可以看出，離散傅里葉變換需要的計算量太大，運算時間長，在某種程度上限制了它的使用。考慮1D的情況，按照公式4-1，計算一個長度為N的一維離散傅里葉變換，對u的每一個值需要做N次復(fù)數(shù)乘法和（N-1）復(fù)數(shù)加法。對N個u，則需要N2次復(fù)數(shù)乘法和N*（N-1）≈N2次復(fù)數(shù)加法。很顯然，當(dāng)N很大時，計算量是相當(dāng)可觀的。即復(fù)數(shù)的乘法和加法都正比于Ｎ２。2023/10/2528快速傅里葉變換快速傅里葉變換是在計算上進行了改進。可以注意到變換中的指數(shù)部分（如下式）可只計算１次，然后存在１個表中以備查用，所以正確地分解變換的公式（4－１），可將復(fù)數(shù)乘法和加法的次數(shù)減少為正比于NLog2N。這個分解過程稱為快速傅里葉變換（ＦＦＴ）算法。2023/10/2529快速傅里葉變換快速傅里葉變換算法與原始變換算法的計算量之比是Ｎ／log2N，當(dāng)Ｎ比較大時，計算量的節(jié)省是相當(dāng)可觀的。2023/10/2530傅里葉變換fft2二維的快速傅里葉變換；abs(B)求傅里葉的頻譜。2023/10/2531傅里葉變換

>>subplot(2,2,1),imshow(A,[1,10])>>subplot(2,2,2),imshow(absB,[1,30])>>subplot(2,2,3),imshow(absB1,[1,30])%FFTSHIFTShiftzero-frequencycomponenttocenterofspectrum.Forvectors,FFTSHIFT(X)swapstheleftandrighthalvesof

X.Formatrices,FFTSHIFT(X)swapsthefirstandthirdquadrantsandthesecondandfourthquadrants.

2023/10/2532傅里葉反變換A=1234523456345674567856789>>B=fft2(double(A))B=1.0e+002*1.2500-0.1250+0.1720i-0.1250+0.0406i-0.1250-0.0406i-0.1250-0.1720i-0.1250+0.1720i0000-0.1250+0.0406i0000-0.1250-0.0406i0000-0.1250-0.1720i0000>>iB=ifft2(B)iB=1234523456345674567856789顯然A=iB2023/10/2533傅里葉變換A=1234515467209431308309831>>B=fft2(A)B=92.0000-22.8992+0.5878i-10.6008-0.9511i-10.6008+0.9511i-22.8992-0.5878i1.8992-3.6655i13.8713-2.5757i0.0902-0.5550i-15.0344-3.5267i-6.4164+2.6287i-10.3992+1.6776i14.0344+5.7063i-7.3713+6.2941i20.4164+4.2533i-11.0902-16.1150i-10.3992-1.6776i-11.0902+16.1150i20.4164-4.2533i-7.3713-6.2941i14.0344-5.7063i1.8992+3.6655i-6.4164-2.6287i-15.0344+3.5267i0.0902+0.5550i13.8713+2.5757i>>B1=fftshift(B)B1=-7.3713-6.2941i14.0344-5.7063i-10.3992-1.6776i-11.0902+16.1150i20.4164-4.2533i0.0902+0.5550i13.8713+2.5757i1.8992+3.6655i-6.4164-2.6287i-15.0344+3.5267i-10.6008+0.9511i-22.8992-0.5878i92.0000-22.8992+0.5878i-10.6008-0.9511i-15.0344-3.5267i-6.4164+2.6287i1.8992-3.6655i13.8713-2.5757i0.0902-0.5550i20.4164+4.2533i-11.0902-16.1150i-10.3992+1.6776i14.0344+5.7063i-7.3713+6.2941i>>B2=abs(B1)B2=9.692915.150210.533619.562320.85470.562314.10844.12836.934015.442510.643422.906792.000022.906710.643415.44256.93404.128314.10840.562320.854719.562310.533615.15029.69292023/10/2534傅里葉變換A=1234515467209431308309831>>BB=92.0000-22.8992+0.5878i-10.6008-0.9511i-10.6008+0.9511i-22.8992-0.5878i1.8992-3.6655i13.8713-2.5757i0.0902-0.5550i-15.0344-3.5267i-6.4164+2.6287i-10.3992+1.6776i14.0344+5.7063i-7.3713+6.2941i20.4164+4.2533i-11.0902-16.1150i-10.3992-1.6776i-11.0902+16.1150i20.4164-4.2533i-7.3713-6.2941i14.0344-5.7063i1.8992+3.6655i-6.4164-2.6287i-15.0344+3.5267i0.0902+0.5550i13.8713+2.5757i>>A1=ifft2(B)A1=1.00002.00003.00004.00005.00001.00005.00004.00006.00007.00002.000009.00004.00003.00001.00003.00000.00008.00003.000009.00008.00003.00001.00002023/10/25355.可分離變換先考慮１Ｄ情況。１Ｄ離散可分離變換可用通用關(guān)系式表示：其中T(u)為f(x)的變換，g(x,u)稱為正向變換核。2023/10/2536可分離變換同理，反變換可表示為：其中，h(x,u)稱為反變換核。2023/10/2537可分離變換考慮２Ｄ情況。正變換可表示為：g(x,y,u,v)稱為正向變換核2023/10/2538可分離變換反變換可表示為：其中，h(x,y,u,v)稱為反變換核。2023/10/2539可分離變換變換核函數(shù)g(),h()只依賴于x,y,u,v，而與f(x,y)或T(u,v)的值無關(guān)，可看作上面２式進行級數(shù)展開的基本函數(shù)。下面的討論對正變換核和反向變換核都適用，只以正向變換核為例進行討論。如果下式成立：

g(x,y,u,v)=g1(x,u)g2(y,v)則稱正向變換核是可分離的。2023/10/2540可分離變換進一步如果g1()與g2()的函數(shù)形式一樣，則稱正向變換核是對稱的。即：

g(x,y,u,v)=g1(x,u)g1(y,v)傅里葉變換是可分離變換中的一個特例。例如傅里葉變換的正向變換核g(x,y,u,v)是可分離的和對稱的。因為:2023/10/2541可分離變換所以具有可分離變換核的２Ｄ變換可分成２個步驟計算，每個步驟用１個１Ｄ變換。首先沿f(x,y)的每１行進行１Ｄ變換可得到：然后沿T(x,v)的每１列進行１Ｄ變換可得到：2023/10/2542可分離變換當(dāng)g(x,y,u,v)是可分離和對稱的，正向變換的公式可寫成矩陣的形式：

T=AFA其中F是Ｎ＊Ｎ圖像矩陣，Ａ是Ｎ＊Ｎ對稱變換矩陣，其元素aij=g1(i,j),T是輸出的Ｎ＊Ｎ變換結(jié)果。為了得到反變換，對上式兩邊分別前后各乘１個反變換矩陣Ｂ：BTB=BAFAB如果B=A-1,則

F=BTB這表明圖像F可完全由其變換恢復(fù)。2023/10/2543可分離變換如果Ｂ不等于Ａ-1,則可得到Ｆ的一個近似：

F’=BAFAB利用矩陣形式的一個優(yōu)點是，所得到的變換矩陣可分解成若干個具有較少非零元素的矩陣的乘積，這樣可減少冗余并減少操作次數(shù)。2023/10/2544自學(xué)離散余弦變換K-L變換頻域的基本性質(zhì)觀察傅立葉變換的公式,每個F(u,v)項包含了被指數(shù)項修正的f(x,y)的所有值.因此,除了特殊情況,一般不可能建立圖像特定分量和其變換之間的直接聯(lián)系.然而,一般文獻通常會有關(guān)于傅立葉變換頻率分量和圖像空間特征之間聯(lián)系的闡述.例如,既然頻率與變化率直接相關(guān),直觀上要將傅立葉變換的頻率與圖像中的強度變化模式聯(lián)系起來并不困難.2023/10/2545頻域的基本性質(zhì)變化最慢的頻率成分(u=v=0)對應(yīng)一幅圖像的平均灰度級.當(dāng)從變換的原點移開時,低頻對應(yīng)著圖像的慢變化的分量,例如一幅房間的圖像,墻和地板可能對應(yīng)平滑的灰度分量,當(dāng)進一步移開原點時,較高的頻率開始對應(yīng)圖像中變化越來越快的灰度級.這些是物體的邊緣和由灰度級的突發(fā)改變(如噪聲)標(biāo)志的圖像成分.這為頻域圖像增強方法提供了理論基礎(chǔ).2023/10/2546頻域的基本性質(zhì)圖(a)中兩個特征:大約成正負45度的強邊緣和兩個白色氧化突起.圖(b)中傅立葉譜顯示了沿正負45度的強邊緣部分的對應(yīng)部分.沿垂直軸有垂直成分,這是兩個白色氧化突起的邊緣形成的.2023/10/25472023/10/25484.2圖像運算主要內(nèi)容:點運算局域運算代數(shù)運算幾何運算2023/10/25494.2.1點運算點運算(Pointoperation)簡單、重要改變圖像的灰度范圍圖像顯示的工具點運算對比度增強/拉伸灰度變換2023/10/2550基本概念點運算將輸入圖像映射到輸出圖像輸出圖像每個像素點的灰度值僅由對應(yīng)的輸入像素點的值決定

局部運算(Localoperation)輸出圖像每個像素點的灰度值由對應(yīng)的輸入像素點及其周圍的若干點的值決定

2023/10/2551基本概念點運算灰度到灰度的操作輸入圖像：A(x,y);輸出圖像：B(x,y)點運算可表示為：位置未變，僅僅是該位置的灰度值發(fā)生了改變。點運算可完全由灰度變換函數(shù)f()

確定。2023/10/25524.2.2局域運算局域運算每個輸出圖像像素灰度值由其在輸入圖像中對應(yīng)像素及鄰近像素（稱之為鄰域）的灰度值按不同的系數(shù)或權(quán)重綜合計算而得每個輸出像元計算公式相同。2023/10/2553

局域運算局域處理模板計算公式中輸入像素灰度值的系數(shù)單獨排列出來成為一個小的矩陣，稱為模板，也稱為濾波核或算子。2023/10/2554

局域運算2023/10/2555

局域運算的用途圖像平滑使圖像景物邊緣模糊化或平滑化（圖像增強）圖像銳化使圖像景物邊緣清晰化（圖像增強）邊緣檢測突出或求出圖像景物邊緣（圖像分割）2023/10/2556

圖像平滑(smoothing)在圖像噪聲模型未知時，使圖像景物邊緣模糊化和抑制噪聲的一種常規(guī)處理稱為圖像平滑。反之，使圖像景物邊緣清晰化的處理稱為圖像銳化。2023/10/25574.2.3代數(shù)運算1

基本概念

2代數(shù)運算的用途

3代數(shù)運算與直方圖

4代數(shù)運算的應(yīng)用2023/10/2558基本概念代數(shù)運算定義兩幅圖像進行點對點的加、減、乘、除計算而得到輸出圖像的運算四種代數(shù)運算的數(shù)學(xué)表達式2023/10/2559圖像相加圖像相加對同一場景的多幅圖像求平均以降低加性噪聲。將一幅圖像的內(nèi)容疊加到另一幅圖像上去，以達到二次曝光的效果。2023/10/2560圖像相加MATLAB實例:I=imread(‘Girl.bmp’);J=imread(’Lena256.bmp’);K=imadd(I,J,’uint16’);Imshow(K,[]);2023/10/2561圖像相加給圖像的每一個像素加上一個常數(shù)可以使圖像的整體亮度增加.例如:MATLAB實例:I=imread(‘rice.tif’);J=imadd(I,50);subplot(1,2,1),imshow(I);Subplot(1,2,2),imshow(J);若出現(xiàn)溢出現(xiàn)象MATLAB自動處理2023/10/25622023/10/2563圖像相減圖像相減去除一幅圖像中所不需要的加性圖案，如緩慢變化的背景，周期性的噪聲。檢測同一場景的兩幅圖像的變化。如運動檢測2023/10/2564圖像相減MATLAB實例:I=imread(‘Lena256.bmp’);J=imread(‘Girl.bmp’);Iq=imsubtract(I,J);Imshow(Iq);若出現(xiàn)溢出現(xiàn)象MATLAB自動處理2023/10/2565圖像相乘與相除圖像相乘糾正數(shù)字化器對一幅圖像各點的敏感程度不同帶來的畸變。用一幅掩模圖像（maskimage）乘某一圖像可遮掩住該圖像中的某些部分。圖像相除除運算可產(chǎn)生對顏色和多光譜圖像分析十分重要的比率圖像。2023/10/2566圖像相乘MATLAB實例:I=imread(‘Lena256.bmp’);J=immultiply(I,0.5);Subplot(1,2,1),imshow(I);Subplot(1,2,2),imshow(J);效果:圖像變暗?若出現(xiàn)溢出現(xiàn)象MATLAB自動處理2023/10/2567圖像相除MATLAB實例:I=imread(‘Lena256.bmp’);J=imdivide(I,0.5);Subplot(1,2,1),imshow(I);Subplot(1,2,2),imshow(J);效果:圖像變亮?若出現(xiàn)溢出現(xiàn)象MATLAB自動處理2023/10/2568代數(shù)運算的應(yīng)用均值降噪(求均值)圖像的減運算乘法運算與除法運算2023/10/2569

均值降噪某靜止場景的多幅圖像，常被加性隨機噪聲污染。對多幅圖像求均值，則可去除噪聲。求均值的過程中，由于圖像靜止部分不改變，而隨機噪聲的累加很慢而被去除。被隨機噪聲所污染的靜止景物的N幅圖像求平均值，可使信噪比增加倍。2023/10/2570

減法運算減去背景運動檢測梯度幅度2023/10/2571

減法運算：減去背景2023/10/2572

減法運算：運動（目標(biāo)）檢測2023/10/2573

減法運算：運動（目標(biāo)）檢測靜止背景目標(biāo)圖像差分圖像及其二值化2023/10/2574

減法運算：運動（目標(biāo)）檢測2023/10/2575

減法運算：運動（目標(biāo)）檢測2023/10/2576

減法運算：梯度幅度減法運算也可用于得到圖像梯度函數(shù)。物體邊緣：梯度值大。找到梯度值大的地方就找到了物體邊緣。2023/10/2577肌肉纖維梯度圖像2023/10/25784.2.4幾何運算1

基本概念

2灰度級插值

3空間變換

4幾何變換的應(yīng)用2023/10/2579基本概念幾何運算