專題12全等三角形的判定

專題12全等三角形的判定★知識(shí)點(diǎn)1：全等三角形的判定SSSSSS指的是利用邊邊邊證明三角形全等，只要找到對(duì)應(yīng)邊分別相等，即可證明！三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（可以簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”）.如圖，如果＝AB，＝AC，＝BC，則△ABC≌△.典例分析【例1】（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的中點(diǎn)，．求證：．【答案】見解析【分析】根據(jù)是的中點(diǎn)，得到，再利用證明兩個(gè)三角形全等．【詳解】證明：是的中點(diǎn)，，在和中，，【點(diǎn)睛】本題考查了線段中點(diǎn)，三角形全等的判定，其中對(duì)三角形判定條件的確定是解決本題的關(guān)鍵．【例2】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）如圖，在和中，，，D、分別是BC、的中點(diǎn)，且．求證．【答案】答案見解析【分析】根據(jù)D、分別是BC、的中點(diǎn)得到，之后依據(jù)，，，即可判定，再根據(jù)，，，可判，由全等三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論．【詳解】證明：，分別是和△的中線，，，在和中，，（SSS），，在和中，，（SAS）．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能證明出．【即學(xué)即練】1．（2023春·云南·九年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，點(diǎn)A，D，C，B在同一條直線上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求證：(1)△AEC≌△BFD(2)DE=CF【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由線段的和差可得AC=BD，繼而利用“SSS”即可求證結(jié)論；（2）由（1）可知∠A=∠B，繼而利用“SAS”求證△AED≌△BFC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求證結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵AD=BC，∴AD+DC=BC+DC，即AC=BD，在△AEC和△BFD中，∴△AEC≌△BFD（SSS），（2）由（1）可知△AEC≌△BFD，∴∠A=∠B，在△AED和△BFC中，,∴△AED≌△BFC（SAS），∴DE=CF【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)已知條件和隱藏條件正確選擇全等三角形的判定方法．2．（2018秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，AB＝AE，AC＝AD，BD＝CE，△ABC≌△AED嗎？試證明．【答案】△ABC≌△AED,證明見解析.【分析】由BD=CE，得到BC=ED，根據(jù)“邊、邊、邊”判定定理可得△ABC≌△AED．【詳解】解：△ABC≌△AED.證明：∵BD＝CE，∴BC＋CD＝CD＋DE，即BC＝ED.在△ABC與△AED中，∴△ABC≌△AED(SSS)【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，證得BC=ED是解題的關(guān)鍵．★知識(shí)點(diǎn)2：全等三角形的判定SASSAS指的是利用邊角邊證明兩三角形全等，這個(gè)角必須是兩對(duì)應(yīng)邊的夾角，切不可看成是SSA，SSA是不能作為判定三角形全等的方法的。（1）兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”）.如圖，如果AB＝，∠A＝∠，AC＝，則△ABC≌△.注意：這里的角，指的是兩組對(duì)應(yīng)邊的夾角.（2）有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等.如圖，△ABC與△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC與△ABD不完全重合，故不全等，也就是有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等.典例分析【例1】（2023秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在同一直線上，．求證：．【答案】見解析【分析】先利用線段的加減證得，即可用“”證明三角形全等．【詳解】∵，∴即，在和中，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形全等的判定，掌握三角形的各個(gè)判定定理是關(guān)鍵．【例2】（2023春·江西·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，，，．求證：．【答案】見解析【分析】用邊角邊定理進(jìn)行證明即可．【詳解】解：即：在和中【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定．本題解題關(guān)鍵在于找到條件用角邊角定理進(jìn)行證明．即學(xué)即練1．（2023春·甘肅白銀·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，，與全等嗎？為什么？【答案】，理由見解析．【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理求解即可．【詳解】解：．理由：在和中，因?yàn)?，，，所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等，牢固掌握三角形判定定理是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·安徽·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，和中，，連接，．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)證明可得出結(jié)論；（2）根據(jù)可得，再根據(jù)證明可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：，又，，，∴；（2）證明：，，即，又，，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．★知識(shí)點(diǎn)3：全等三角形的判定ASA或AAS此類主要是利用兩角和一邊，注意這個(gè)邊可以是兩角的夾邊，也可以是角的對(duì)邊或鄰邊兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）.如圖，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，則△ABC≌△.（1）兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”）備注：由三角形的內(nèi)角和等于180°可得兩個(gè)三角形的第三對(duì)角對(duì)應(yīng)相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個(gè)三角形全等，也就是說(shuō)，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.（2）三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.如圖，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.這說(shuō)明，三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.典例分析【例1】（2023秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)B、F、C、E在直線l上（F、C之間不能直接測(cè)量），點(diǎn)A、D在l異側(cè)，測(cè)得，，．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)度．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由，得，而，，即可根據(jù)全等三角形的判定定理“”證明；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得，則，即可求得的長(zhǎng)度．【詳解】（1）解：證明：∵，∴，在和中，，∴；（2）解：由（1）知，∴，∴，∴，∵，∴，∴的長(zhǎng)度是．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)平行線的性質(zhì)證明是解題的關(guān)鍵．【例2】（2022秋·湖南永州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，，，，，垂足分別是，．(1)求證：；(2)猜想線段，，之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見解析．(2)，理由見解析．【分析】（1）先求得，根據(jù)可求得，進(jìn)而可求得答案．（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可知，，結(jié)合即可求得答案．【詳解】（1）∵，，∴．∵，∴．在和中∴．（2）∵，∴，．∴．∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，牢記全等三角形的判定方法（兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊也相等的兩個(gè)三角形全等）是解題的關(guān)鍵．即學(xué)即練1．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）在和中，點(diǎn)在邊上，，，，求證：．【答案】見解析．【分析】根據(jù)“”即可判斷．【詳解】∵，∴，即：，在和中，，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，并證得．2．（2023春·湖南株洲·八年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，已知點(diǎn)、、、在同一直線上，，，．(1)求證：；(2)，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，等量代換可得，再利用證明即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，再利用外角的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】（1）解：，，，，即．在和中，，．（2），，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是解決此題的關(guān)鍵．★知識(shí)點(diǎn)4全等三角形的判定HLHL只適用于直角三角形的判定，指的是一直角邊和一斜邊。（1）由三角形全等的條件可知，對(duì)于兩個(gè)直角三角形，滿足一邊一銳角對(duì)應(yīng)相等，或兩直角邊對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)直角三角形就全等了.這里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.（2）判定直角三角形全等的特殊方法——斜邊，直角邊定理在兩個(gè)直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.這個(gè)判定方法是直角三角形所獨(dú)有的，一般三角形不具備.1）“HL”從順序上講是“邊邊角”對(duì)應(yīng)相等，由于其中含有直角這個(gè)特殊條件，所以三角形的形狀和大小就確定了.2）判定兩個(gè)直角三角形全等的方法共有5種：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.證明兩個(gè)直角三角形全等，首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.3）應(yīng)用“斜邊、直角邊”判定兩個(gè)直角三角形全等的過程中要突出直角三角形這個(gè)條件，書寫時(shí)必須在兩個(gè)三角形前加上“Rt”.典例分析【例1】（2023春·江蘇鹽城·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在四邊形中，，；，，垂足分別為E，F(xiàn)．(1)求證：；(2)若與交于點(diǎn)O，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由，可得，利用即可求證結(jié)論．（2）由（1）可得，進(jìn)而可證，進(jìn)而可證，進(jìn)而可證四邊形是平行四邊形，由此結(jié)論可證．【詳解】（1）證明：，，，在和中，，．（2）證明：由（1）可得，，，四邊形是平行四邊形，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，平行四邊形的判定及性質(zhì)，熟練掌握其判定定理及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【例2】．（2020秋·廣東惠州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)C在BE上，，且，交于點(diǎn)F．(1)的長(zhǎng)度．(2)的度數(shù)．【答案】(1)7(2)【分析】（1）首先證明出，進(jìn)而得到，，然后利用線段的和差求解即可；（2）首先根據(jù)得到，然后利用同角的余角相等求解即可．【詳解】（1）∵∴∵∴∴，∴；（2）∵∴∵∴∴．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的性質(zhì)和判定．即學(xué)即練1．（2023春·江西吉安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，，，點(diǎn)E在上，點(diǎn)F在的延長(zhǎng)線上．求證：．【答案】見解析【分析】利用證明，即可證明．【詳解】證明：在與中，，．∴，即，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵，全等三角形的判定條件有．2.（2023春·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，是的中點(diǎn)，，，垂足分別是、、且．求證：．【答案】見解析【分析】利用“”證明即可得到：．【詳解】解：證明：是邊的中點(diǎn)，，又，，，又∵，在和中，．．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用全等三角形的判定方法，比較簡(jiǎn)單．★知識(shí)點(diǎn)5全等三角形的判定綜合應(yīng)用判定方法的選擇1、選擇哪種判定方法，要根據(jù)具體的已知條件而定，見下表：已知條件可選擇的判定方法一邊一角對(duì)應(yīng)相等SASAASASA兩角對(duì)應(yīng)相等ASAAAS兩邊對(duì)應(yīng)相等SASSSS如何選擇三角形證全等（1）可以從求證出發(fā)，看求證的線段或角（用等量代換后的線段、角）在哪兩個(gè)可能全等的三角形中，可以證這兩個(gè)三角形全等；（2）可以從已知出發(fā)，看已知條件確定證哪兩個(gè)三角形全等；（3）由條件和結(jié)論一起出發(fā)，看它們一同確定哪兩個(gè)三角形全等，然后證它們?nèi)?；?）如果以上方法都行不通，就添加輔助線，構(gòu)造全等三角形.典例分析【例1】（2021秋·湖南邵陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，為的中點(diǎn)，連接、，，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，，求四邊形的面積．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）利用ASA證明△AED≌△FEC即可；（2）根據(jù)題意，，根據(jù)計(jì)算即可．【詳解】（1）∵AD∥BC，∴∠ADE=∠FCE，∵∠AED=∠FEC，DE=CE，∴△AED≌△FEC，∴FC=AD；（2）∵△AED≌△FEC，∴，AE=EF，∴，∴====．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，割補(bǔ)法計(jì)算圖形的面積，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用割補(bǔ)法計(jì)算面積是解題的關(guān)鍵．【例2】（2021秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）證明命題：“一條直角邊相等且另一條直角邊上的中線相等的兩個(gè)直角三角形全等”，要根據(jù)題意，畫出圖形，并用符號(hào)表示已知和求證，寫出證明過程．下面是小穎根據(jù)題意畫出的圖形，并寫出了不完整的已知和求證．已知：在和中，，，與分別為，邊上的中線且．求證：．請(qǐng)補(bǔ)全已知和求證部分，并寫出證明過程．【答案】；，見解析【分析】本題利用直角三角形全等的條件找出相應(yīng)條件寫出已知進(jìn)行求證即可．【詳解】；（寫成也對(duì)）證明：，，，，．與分別為與邊上的中線，點(diǎn)和點(diǎn)分別是與的中點(diǎn)，，，，又，，．【點(diǎn)睛】此題利用圖形考查了直角三角形全等的條件，難度一般，對(duì)定理的理解是關(guān)鍵．即學(xué)即練1．（2021·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知：在△ABC和△DBE中，AB＝DB，BC＝BE，其中∠ABD＝∠CBE．（1）如圖1，求證：AC＝DE；（2）如圖2，AB＝BC，AC分別交DE，BD于點(diǎn)F，G，BC交DE于點(diǎn)H，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中的四對(duì)全等三角形．【答案】（1）見解析；（2）△ABC≌△DBE；△ABG≌△EBH；△DBH≌△CBG；△DFG≌△CFH【分析】（1）根據(jù)SAS證明△ABC與△DBE全等，利用全等三角形的性質(zhì)解答即可．（2）根據(jù)全等三角形的判定解答即可．【詳解】證明：（1）∵∠ABD=∠CBE，∴∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC，即∠ABC=∠DBE，在△ABC與△DBE中，，∴△ABC≌△DBE（SAS），∴AC=DE；（2）由（1）得△ABC≌△DBE，∴∠A=∠D，∠C=∠E，AB=DB，BC=BE，∴AB=BE，∵AB=BC，∴∠A=∠C，∴∠A=∠E，在△ABG與△EBH中，∴△ABG≌△EBH（ASA），∴BG=BH，在△DBH與△CBG中，∴△DBH≌△CBG（SAS），∴∠D=∠C，∵DB=CB，BG=BH，∴DG=CF，在△DFG與△CFH中，，∴△DFG≌△CFH（AAS）．【點(diǎn)睛】此題考查了及全等三角形的判定與性質(zhì)，靈活掌握全等三角形的判定定理正確推理論證是關(guān)鍵．2．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在等邊三角形中，是邊上的動(dòng)點(diǎn)，以為一邊向上作等邊三角形，連接．（1）求證：≌；（2）求證：；（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，與有什么位置關(guān)系？并說(shuō)明理由．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3），見解析．【分析】（1）根據(jù)和是等邊三角形，得到邊角關(guān)系，即，，，根據(jù)等式性質(zhì)得到，最后利用證明全等即可；（2）根據(jù)≌，可知對(duì)應(yīng)角，又因?yàn)椋攘看鷵Q可知，進(jìn)而得到；（3），由是等邊三角形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，根據(jù)三線合一可知，再根據(jù)≌，進(jìn)而得到，最后可求得的度數(shù)．【詳解】（1）和是等邊三角形；，，，，即，在與中，≌；（2）≌，；，，；（3），理由如下：是等邊三角形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，，≌，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，等式的性質(zhì)以及平行線的判定等知識(shí)點(diǎn)，準(zhǔn)確的運(yùn)用這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．★知識(shí)點(diǎn)6尺規(guī)作圖作一個(gè)角等于已知角已知：∠AOB。求作：∠A’O’B’使∠A’O’B’=∠AOB。作法與示范：（1）作射線O’A’（2）以點(diǎn)O為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)C，交OB于點(diǎn)D；（3）以點(diǎn)O’為圓心，以O(shè)C長(zhǎng)為半徑畫弧，交O’A’于點(diǎn)C’（4）以點(diǎn)C’為圓心，以CD長(zhǎng)為半徑畫弧，交前面的弧于點(diǎn)D’；（5）過點(diǎn)D’作射線O'B’∠A'O'B'就是所求作的角.典例分析【例1】（2023春·廣東深圳·七年級(jí)深圳中學(xué)?？计谥校﹩栴}探究：尺規(guī)作圖：作一個(gè)角等于已知角．如圖①，已知：．求作：，使．(1)作法：步驟1：如圖②，以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)C、D；步驟2：作射線，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)；步驟3：以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，與步驟2中所畫的弧相交于點(diǎn)；步驟4：過點(diǎn)畫射線，則．根據(jù)以上作圖和求證過程完成以上填空：(2)實(shí)踐應(yīng)用：如圖，點(diǎn)P為的邊上一點(diǎn)，①求作：過點(diǎn)P作，且C在內(nèi)部，使得；（要求保留作圖痕跡）②直線和的位置關(guān)系是．【答案】(1)O；(或)；(2)①見解析；②平行【分析】（1）根據(jù)作圖步驟解答即可；（2）①利用（1）的作法作圖即可；②根據(jù)同位角相等，兩直線平行解決問題即可．【詳解】（1）解：作法：步驟1：如圖②，以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)C、D；步驟2：作射線，以點(diǎn)為圓心，(或)長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)；步驟3：以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，與步驟2中所畫的弧相交于點(diǎn)；步驟4：過點(diǎn)畫射線，則．故答案為：O；(或)；；（2）解：①利用（1）的方法如圖：②直線和的位置關(guān)系是平行．理由如下：∵，∴（同位角相等，兩直線平行），故答案為：平行．【點(diǎn)睛】本題考查作圖尺規(guī)作圖——作角平分線，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．【例2】（2023春·廣東佛山·七年級(jí)佛山市華英學(xué)校?？计谥校?）格點(diǎn)作圖：如圖1，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1．①過格點(diǎn)P畫，使與直線相交于格點(diǎn)M；②若點(diǎn)N在圖中的格點(diǎn)上（不與點(diǎn)A重合），作直線與直線垂直（2）尺規(guī)作圖（在原圖上作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）在圖2圖形中，補(bǔ)充作圖：①在的左側(cè)作，②根據(jù)上面所作出的圖形，你認(rèn)為與一定平行嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．答：______________________【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）①見解析；②平行，因?yàn)閮?nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．【分析】（1）①連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)M，即為所求；②連接即可；（2）①以點(diǎn)A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)E和點(diǎn)F；以點(diǎn)P為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)G；以點(diǎn)G為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，與以點(diǎn)P為圓心畫的弧相交于點(diǎn)D，連接，即為所求；②根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，即可解答.【詳解】（1）①如圖所示：即為所求；②如圖所示：點(diǎn)N即為所求；（2）①解：如圖所示：即為所求；②∵，∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），故答案為：平行，因?yàn)閮?nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．【點(diǎn)睛】本題主要考查了格點(diǎn)作圖和尺規(guī)作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)作圖方法以及定理和理論依據(jù)．即學(xué)即練1．（2023春·山東棗莊·七年級(jí)滕州育才中學(xué)?？计谥校┏咭?guī)作圖：中，請(qǐng)用直尺和圓規(guī)，過點(diǎn)C作直線，使．（保留作圖痕跡，不寫作法．）【答案】見解析【分析】利用同位角相等，兩直線平行或內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，作一個(gè)角等于已知角．【詳解】或如圖即為所作直線．【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖法作出和已知角相等的角，掌握作圖方法是關(guān)鍵．2．（2023春·黑龍江齊齊哈爾·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）根據(jù)下列要求畫圖，(1)如圖（1）所示，過點(diǎn)A畫；(2)如圖（2）所示，過點(diǎn)P畫，垂足為E，過點(diǎn)P畫，垂足為G．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）以點(diǎn)A為角的頂點(diǎn)，為角的一條邊，作，則所在直線即為；（2）根據(jù)尺規(guī)作一條線段垂直平分線的方法進(jìn)行作圖即可．【詳解】（1）解：延長(zhǎng)，分別以點(diǎn)A、B為圓心，相同的長(zhǎng)度為半徑畫弧，與，交于點(diǎn)E、F，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q，以點(diǎn)Q為圓心，為半徑畫弧，與原來(lái)的弧交于一點(diǎn)P，連接，則所在直線即為所求，如圖所示：∵，∴；（2）解：以點(diǎn)P為圓心，一定長(zhǎng)度為半徑畫弧，與交于C、D兩點(diǎn)，與交于M、N兩點(diǎn)，以C、D兩點(diǎn)為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧交于一點(diǎn)H，連接，交于點(diǎn)E，則即為所求；以M、N兩點(diǎn)為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧交于一點(diǎn)Q，連接，交于點(diǎn)G，則即為所求，如圖所示：【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角，作線段的垂直平分線，平行線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握尺規(guī)作圖的基本步驟．★知識(shí)點(diǎn)7:尺規(guī)作圖作三角形1已知三邊作三角形已知三邊求作三角形是利用三角形全等的條件“邊邊邊”來(lái)作圖的，具體作圖的方法、步驟、圖形如下：已知：線段a，b，c求作：△ABC，使AB=c，BC=a，AC=b作法與示范：作線段AB=c以點(diǎn)A為圓心，b為半徑畫弧以點(diǎn)B為圓心，a為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C連接AC，BC，△ABC即為所求2、已知兩邊及其夾角作三角形已知兩邊及其夾角作三角形是利用三角形全等的條件“邊角邊”來(lái)作圖的，具體作圖的方法、步驟、圖形如下：已知：線段a，b，∠α求作：△ABC，使∠B=∠α，BC=a，BA=b作法與示范：作∠MBN=∠α在射線BM，BN上分別截取線段BC=a，BA=b連接AC，則△ABC為所求作的三角形3、已知兩角及其夾邊作三角形已知兩角及其夾邊求作三角形是利用三角形全等的條件“角邊角”來(lái)作圖的，具體作圖的方法、步驟、圖形如下：已知：∠α，∠β，線段a求作：△ABC，使∠BAC=∠α，∠ABC=∠β，AB=a作法與示范：作線段AB=a在AB同側(cè)，作∠DAB=∠α，∠EBA=∠β，AD與BE相交于點(diǎn)C，則△ABC為所求.典例分析【例1】（2022秋·河北邯鄲·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知線段，和，按要求尺規(guī)作圖（不必寫作法，保留作圖痕跡）．(1)求作，使，，；(2)填空：（1）中作出的三角形__________（填“是”或“不是”）唯一的，作圖依據(jù)是__________．【答案】(1)見解析(2)是，【分析】（1）首先作出，再作射線，在射線上截取，再在的上方作，然后再在另一條射線上截取，最后連接，即可作出；（2）根據(jù)一個(gè)三角形的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)相等，并且兩邊的夾角也相等，那么這兩個(gè)三角形全等，即可得出答案．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（2）解：（1）中作出的三角形是唯一的，作圖依據(jù)是．故答案為：是，．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖——復(fù)雜作圖，涉及尺規(guī)作圖——作一個(gè)角等于已知角、作線段、全等三角形的判定定理，熟練掌握尺規(guī)作圖基本方法是解本題的關(guān)鍵．【例2】（2020秋·廣東廣州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）尺規(guī)作圖：已知：線段，，．求作：，使，，（保留作圖痕跡，不寫作法）．【答案】作圖見解析【分析】先作，在上截取，上截取，連接得到．【詳解】解：如圖所示：即為所作．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．即學(xué)即練1．（2023春·陜西西安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，請(qǐng)用尺規(guī)作，使．（不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】見解析【分析】先作，再截取，再作，記另外一邊的交點(diǎn)為D，從而可得答案．【詳解】解：如圖，即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查的是作三角形，熟練的利用兩角與兩角的夾邊作三角形是解本題的關(guān)鍵．2．（2022秋·福建南平·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：兩邊及其夾角，線段，，．求作：，使，，（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）．【答案】即為所求，作圖見解析【分析】先作出，再在該角兩條射線上分別截取長(zhǎng)度為a，c的線段，再連接即可【詳解】解：圖中的即為所求.【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，復(fù)雜圖形的作圖往往轉(zhuǎn)化成基本作圖，作與已知角相等的角是解題關(guān)鍵．1．（2023春·甘肅隴南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）康康所在的小組依據(jù)全等三角形的判定設(shè)計(jì)了截面如圖所示的傘骨結(jié)構(gòu)，當(dāng)眾完全打開后，測(cè)得分別是的中點(diǎn)，，那么的依據(jù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，，得出；根據(jù)三邊對(duì)應(yīng)相等，證明三角形全等．【詳解】解：∵E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，，∴，在與中，，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理．2．（2023·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”來(lái)判定△ABC和△FED全等時(shí)，下面的4個(gè)條件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（

）A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④【答案】A【分析】根據(jù)全等三角形的SSS判定條件解答即可．【詳解】解：∵AE=FB，∴AE+BE=FB+BE，∴AB=FE，在△ABC和△FED中，，∴△ABC≌△FED（SSS），∵AE=BE和BF=BE推不出AB=FE，∴可利用的是①或②，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解答的關(guān)鍵．3．（2022秋·河北邯鄲·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知，分別以，為圓心，以，長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，連接，、下列結(jié)論一定正確的有（

）①；②判定全等的依據(jù)是；③；④平分A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】利用定理證出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)逐個(gè)判斷即可得．【詳解】解：在和中，，，則結(jié)論①、②正確；，，則結(jié)論③錯(cuò)誤；平分，則結(jié)論④正確；綜上，結(jié)論一定正確的有3個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．（2023秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，有一池塘，要測(cè)量池塘兩端A，B的距離時(shí)，可先在平地上取一個(gè)可以直接到達(dá)A和B的點(diǎn)C．連接并延長(zhǎng)到D，使．連接并延長(zhǎng)到E，使．可證明，從而得到，則測(cè)得的長(zhǎng)就是兩點(diǎn)A，B的距離．判定的依據(jù)是（）A．“邊邊邊” B．“角邊角” C．“角角邊” D．“邊角邊”【答案】D【分析】利用證明即可求解．【詳解】解：由題意知，且（對(duì)頂角相等），∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：、、、、．5．（2023·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，ABDE，運(yùn)用“SAS”判定△ABC≌△DEF，需補(bǔ)充的條件是（）A．AC＝DF B．∠A＝∠D C．BE＝CF D．∠ACB＝∠DFE【答案】C【分析】證出∠ABC＝∠DEF，由SAS即可得出結(jié)論．【詳解】解：補(bǔ)充BE＝CF，理由如下：∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF，若要利用SAS判定，B、D選項(xiàng)不符合要求，若A：AC=DF，構(gòu)成的是SSA，不能證明三角形全等，A選項(xiàng)不符合要求，C選項(xiàng)：BE=CF，∵BE＝CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟知“SAS”的判定的特點(diǎn)．6．（2023春·四川雅安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用判斷A選項(xiàng)，利用判斷B選項(xiàng)，再利用全等三角形的性質(zhì)逐一選項(xiàng)判斷C、D即可．【詳解】解：在和中，，，故選項(xiàng)A正確，不合題意；

，，，，，，在和中，，，故選項(xiàng)B正確，不合題意；，，故選項(xiàng)C正確，不合題意；，，證不出，∴選項(xiàng)D錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟記三角形全等判定方法：、、、是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·湖南益陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角，能得出的依據(jù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用可證得，那么．【詳解】解：由作圖知，∴，∴，所以利用的條件為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形“邊邊邊”的判定以及全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握三角形全等的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2022春·福建寧德·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，過直線外一點(diǎn)作它的平行線，其作圖依據(jù)是（

）A．兩直線平行，同位角相等 B．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等C．同位角相等，兩直線平行 D．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行【答案】D【分析】根據(jù)基本作圖痕跡可知內(nèi)錯(cuò)角相等，再根據(jù)平行線的判定解答即可．【詳解】解：由作圖可知，內(nèi)錯(cuò)角相等，則這兩條直線平行，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查基本尺規(guī)作圖作角、平行線的判定，理解題意，根據(jù)作圖痕跡得出內(nèi)錯(cuò)角相等是解答的關(guān)鍵．9．（2023春·廣東茂名·七年級(jí)統(tǒng)考期末）諸仔細(xì)觀察用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角的示意圖，請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)的三角形全等有關(guān)的知說(shuō)，說(shuō)明畫出的依據(jù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由作法易得，依據(jù)定理得到，由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到．【詳解】解：由作法易得，在與中，，∴（），∴（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖基本作圖，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定定理是正確解答本題的關(guān)鍵．10．（2022秋·云南昭通·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是（

）A．帶①去 B．帶②去 C．帶③去 D．帶①和②去【答案】C【分析】根據(jù)三角形全等的判定解決.【詳解】解：A、按照①畫出的三角形只有一個(gè)角與原三角形相等，不能保證畫出的玻璃與原玻璃一樣，錯(cuò)誤；B、按照②畫出的三角形沒有一個(gè)角或一條邊與原三角形相等，不能保證畫出的玻璃與原玻璃一樣，錯(cuò)誤；C、按照③畫出的三角形有兩個(gè)角和一條邊與原三角形相等，按照定理這樣畫出的玻璃與原玻璃一樣，正確；D、按照①和②畫出的三角形只有一個(gè)角與原三角形相等，不能保證畫出的玻璃與原玻璃一樣，錯(cuò)誤；故選C.【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的應(yīng)用，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題關(guān)鍵．11．（2023春·遼寧朝陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）王強(qiáng)同學(xué)用10塊高度都是的相同長(zhǎng)方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個(gè)等腰直角三角板（，），點(diǎn)C在上，點(diǎn)A和B分別與木墻的頂端重合．則兩堵木墻之間的距離是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意易得，則有，進(jìn)而可證，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵，，，，∴，∴，，∴，∵在和中，∴；∴，，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握三角形全等的判定條件是解題的關(guān)鍵．12．（2023秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，，垂足分別為D、E，且平分，則與全等的理由是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)是公共邊，運(yùn)用判定即可．【詳解】解：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了角的平分線的定義，垂直的定義，三角形全等的判定，熟練掌握三角形全等的判定是解題的關(guān)鍵．13．（2023春·廣東梅州·七年級(jí)?？计谀┬←惻c爸媽在公園里蕩秋千．如圖，小麗坐在秋千的起始位置A處，與地面垂直，兩腳在地面上用力一蹬，媽媽在距地面1m高的B處接住她后用力一推，爸爸在C處接住她．若媽媽與爸爸到的水平距離、分別為和，．爸爸在C處接住小麗時(shí)，小麗距離地面的高度是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用全等三角形判定，證得與全等，根據(jù)全等三角形性質(zhì)可求出和的值，進(jìn)而求出的值，最后根據(jù)，即可求出問題答案．【詳解】解：，，，，，，，，又，，，，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了利用三角形全等測(cè)距離的問題，理解題意及熟知三角形的性質(zhì)與判定是解題關(guān)鍵．14．（2023春·湖南懷化·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，，垂足分別為、，且，則與全等的直接理由是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由垂直得到，即可直接利用證明．【詳解】解：∵，，，∴在與中∴，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定定理，熟練掌握三角形判定方法并根據(jù)每個(gè)題型的特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒ㄊ墙忸}的關(guān)鍵．15．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知，要使用“”證明，應(yīng)添加條件：；要使用“”證明，應(yīng)添加條件：．【答案】（或）（或）【分析】根據(jù)：斜邊與直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，使，已知，，添加的條件是直角邊相等即可；要使用“”，需要添加角相等即可．【詳解】解：已知，，要使用“”，添加的條件是直角邊相等，故答案為：（或）；要使用“”，需要添加角相等，添加的條件為：（或）．故答案為：（或）．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定．本題的關(guān)鍵是，全等三角形的