第03講 空間直線、平面的平行（原卷版）

第03講空間直線、平面的平行1．線面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(簡記為“線線平行?線面平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥a,a?α,l?α))?l∥α性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡記為“線面平行?線線平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥α,l?β,α∩β＝b))?l∥b2．面面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行(簡記為“線面平行?面面平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥β,b∥β,a∩b＝P,a?α,b?α))?α∥β性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b))?a∥b3．平行關(guān)系中的三個(gè)重要結(jié)論(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.(2)平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.(3)若α∥β，a?α，則a∥β.一．直線與平面平行的判定與性質(zhì)命題點(diǎn)1直線與平面平行的判定例1．如圖，已知在長方體中，，，點(diǎn)E是的中點(diǎn).(1)求證：平面EBD；(2)求三棱錐的體積.例2．如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面ABC，，D為AC的中點(diǎn)，，.(1)求證：平面；(2)求三棱柱的表面積例3．如圖，在三棱柱中，，點(diǎn)是的中點(diǎn).求證：平面；例4．已知在正三棱柱中，側(cè)棱長為3，H、G分別是AB，中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若，求此三棱柱的側(cè)面積．例5．如圖，在四棱錐中，底面，，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，在上滿足.(1)證明：平面PAD；(2)證明：平面FBD【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：利用直線和平面平行的判定定理證明線面平行的關(guān)鍵是在平面內(nèi)找一條直線與已知直線平行，常利用平行四邊形、三角形中位線、基本事實(shí)4等.例6．如圖，在四棱錐E-ABCD中，，，E在以AB為直徑的半圓上（不包括端點(diǎn)），M，N分別為DE，BC的中點(diǎn)．求證：平面ABE．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：(1)判斷或證明線面平行的常用方法①利用線面平行的定義(無公共點(diǎn))．②利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)．③利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α?a∥β)．④利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．(2)應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時(shí)需要經(jīng)過已知直線作輔助平面確定交線．命題點(diǎn)2直線與平面平行的性質(zhì)例7．如圖，在直三棱柱中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，中點(diǎn)，平面平面．證明：；例8．如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，，E是PD的中點(diǎn)．(1)求證：BC∥AD；(2)求證：CE∥平面PAB．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：線面平行的性質(zhì)和判定經(jīng)常交替使用，也就是通過線線平行得到線面平行，再通過線面平行得線線平行.例9．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，是的中點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，過點(diǎn)和作平面，交平面于，點(diǎn)在線段上.求證：.例10．如圖，已知長方體中，，.為的中點(diǎn)，平面交棱于點(diǎn).求證：；【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：證明線線平行的常用方法(1)利用線線平行定義：證共面且無公共點(diǎn).(2)利用基本事實(shí)4：證兩線同時(shí)平行于第三條直線.(3)利用線面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行.(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直.(5)利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行.二．平面與平面平行的判定與性質(zhì)例11．如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面為平行四邊形．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l，M、N、Q分別為PC、CD、AB的中點(diǎn)．(1)求證：平面MNQ∥平面PAD；(2)求證：BC∥l．例12．如圖所示，點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上，點(diǎn)E為線段PB的中點(diǎn)，點(diǎn)M在上，且．求證：平面平面PAC．例13．已知，點(diǎn)P是△所在平面外一點(diǎn)，點(diǎn)，，分別是△，△，△的重心．(1)求證：平面平面．(2)求∶的值．例14．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，與交于點(diǎn)，點(diǎn)分別在線段上，，求證：平面平面.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：證明面面平行的方法(1)面面平行的定義．(2)面面平行的判定定理．(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．(4)兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化．三．平行關(guān)系的綜合應(yīng)用例15．如圖，矩形平面，平面與棱交于點(diǎn)G．求證：．例16．如圖，在三棱柱中，若G，H分別是線段AC，DF的中點(diǎn).(1)求證：；(2)在線段CD上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面BCF，若存在，指出的具體位置并證明；若不存在，說明理由.例17．如圖，四邊形ABCD是邊長為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，DE＝3，AF＝1.(1)證明：平面ABF∥平面DCE；(2)在DE上是否存在一點(diǎn)G，使平面FBG將幾何體ABCDEF分成上、下兩部分的體積比為3∶5？若存在，求出點(diǎn)G的位置；若不存在，請說明理由．例18．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分別為對(duì)角線BD，CD1上的點(diǎn)，且eq\f(CQ,QD1)＝eq\f(BP,PD)＝eq\f(2,3).(1)求證：PQ∥平面A1D1DA；(2)若R是AB上的點(diǎn)，eq\f(AR,AB)的值為多少時(shí)，能使平面PQR∥平面A1D1DA？請給出證明．1．如果a，b是兩條異面直線，且a∥α，那么b與α的位置關(guān)系是()A．b∥αB．b與α相交C．b?αD．不確定2．如圖，在四面體中，分別為的中點(diǎn)，分別在上，且.給出下列四個(gè)命題：①平面；②平面；③平面；④直線交于一點(diǎn).其中正確命題的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．43．已知m，n為兩條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若m//，m//n，則n// B．若m//，n//，則m//nC．若m//，n，則m//n D．若m//，m，＝n，則m//n4．已知，為兩條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，則5．已知是不同的直線，是不同的平面，則下列命題中正確的是（

）A．若是異面直線，，，，，則B．若，，，，則C．若，，，則D．若，，則6．若直線l∥平面α，則過l作一組平面與α相交，記所得的交線分別為a，b，c，…，那么這些交線的位置關(guān)系為()A．都平行B．都相交且一定交于同一點(diǎn)C．都相交但不一定交于同一點(diǎn)D．都平行或交于同一點(diǎn)7．如圖，在直三棱柱中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱，BC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中不正確的是（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面8．若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，則這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是（

）A．一定平行 B．一定相交C．平行或相交 D．以上判斷都不對(duì)9．如圖，P為平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，過BC的平面與平面PAD交于EF，E在線段PD上且異于P、D，則四邊形EFBC是（

）A．空間四邊形 B．矩形 C．梯形 D．平行四邊形10．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AD上的點(diǎn)，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，則()A．BD∥平面EFGH，且四邊形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四邊形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四邊形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四邊形EFGH是平行四邊形11．如圖所示，四邊形EFGH為四面體ABCD的一個(gè)截面，若eq\f(AE,CE)＝eq\f(BF,FC)＝eq\f(BG,GD)，則與平面EFGH平行的直線有()A．0條B．1條C．2條D．3條12．如圖，已知圓錐的頂點(diǎn)為S，AB為底面圓的直徑，點(diǎn)M，C為底面圓周上的點(diǎn)，并將弧AB三等分，過AC作平面，使，設(shè)與SM交于點(diǎn)N，則的值為（

）A． B． C． D．13．如圖，空間四邊形ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的一點(diǎn)，下列條件不能證明EHFG的是（）A．E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA邊上的中點(diǎn)B．，C．BD平面EFGHD．，14．已知在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分別為AC，B1C1的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為BC，B1B的中點(diǎn)，則直線MN與直線EF、平面ABB1A1的位置關(guān)系分別為()A．平行、平行 B．異面、平行C．平行、相交 D．異面、相交15．（多選）如圖所示，在平行六面體中，點(diǎn)，，分別為棱，，的中點(diǎn)，若平行六面體的各棱長均相等，則以下說法正確的是（

）A． B．C． D．16．（多選）已知，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列說法不正確的為（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，則或D．若，，則或17．（多選）關(guān)于直線及平面，下列命題錯(cuò)誤的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則18．（多選）如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線與平面平行的是（

）A． B．C． D．19．在四面體ABCD中，M，N分別是△ACD，△BCD的重心，則四面體的四個(gè)面中與MN平行的是________．20．設(shè)α，β，γ是三個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，在命題“α∩β＝m，n?γ，且________，則m∥n”中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命題為真命題．①α∥γ，n?β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m?γ.可以填入的條件有________(填序號(hào))．21．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，設(shè)Q是CC1上的點(diǎn)，則點(diǎn)Q滿足條件________時(shí)，有平面D1BQ∥平面PAO.22．在三棱錐P－ABC中，PB＝6，AC＝3，G為△PAC的重心，過點(diǎn)G作三棱錐的一個(gè)截面，使截面平行于PB和AC，則截面的周長為________．23．如圖是一幾何體的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)，G，H分別為P3A，P2D，P4C，P4B的中點(diǎn)，在此幾何體中，給出下面五個(gè)結(jié)論：①平面EFGH∥平面ABCD；②PA∥平面BDG；③EF∥平面PBC；④FH∥平面BDG；⑤EF∥平面BDG.其中正確結(jié)論的序號(hào)是________．24．如圖所示，ABCD—A1B1C1D1是棱長為a的正方體，M，N分別是下底面的棱A1B1，B1C1的中點(diǎn)，P是上底面的棱AD上的一點(diǎn)，AP＝eq\f(a,3)，過P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，則PQ＝________.25．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，F(xiàn)為對(duì)角線與的交點(diǎn)，E為棱的中點(diǎn)．證明：平面．26．直三棱柱中，為正方形，，，M為棱上任意一點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別為AC、CM的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)當(dāng)點(diǎn)M為中點(diǎn)時(shí)，求三棱錐的體積．27．如圖，已知P是平行四邊形所在平面外一點(diǎn)，M、N分別是的三等分點(diǎn)（M靠近B，N靠近C）；(1)求證：平面．(2)在上確定一點(diǎn)Q，使平面平面．28．如圖，在三棱柱中，，分別為線段，的中點(diǎn)．(1)求證：平面．(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使平面平面請說明理由．29．如圖，正三棱柱中，D是的中點(diǎn)，.(1)求點(diǎn)C到平面的距離；(2)試判斷與平面的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.30．如圖：已知三棱柱中，D為BC邊上一點(diǎn)，為中點(diǎn)，且∥平面．證明：平面平面．31．如圖，多面體是由棱長為3的正方體沿平面截去一角所得到，在棱上取一點(diǎn)E，過點(diǎn)，C，E的平面交棱于點(diǎn)F．求證：．32．如圖，四棱錐中，底面為矩形，為棱上一點(diǎn)（不與、重合），平面交棱于點(diǎn)．求證：.33．已知四棱錐的底面是正方形，平面．設(shè)平面平面，求證：；34．在正四棱錐中，已知，，，分別為，的中點(diǎn)，平面平面．求證：．35．如圖，直三棱柱中，，，．證明：平面．36．如圖，矩形AMND所在平面與直角梯形MBCN所在的平面垂直，MB//NC，MN⊥MB．求證：平面AMB//平面DNC.37．在底面是平行四邊形的四棱錐P-ABCD中，點(diǎn)E在PD上，且PE∶ED=2∶1，M為PE的中點(diǎn)，在棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使平面BFM∥平面AEC?證明你的結(jié)論.38．如圖，線段是圓柱的母線，是圓柱下底面的直徑．(1)弦上是否存在點(diǎn)，使得∥平面，請說明理由；(2)若，，求點(diǎn)到平面的距離．39．已知，分別是圓柱上、下底面圓的直徑，圓柱的高與的長相等，均為2.且異面直線與所成的角為，分別為上?下底面的圓心，連接，過作圓柱的母線，且，點(diǎn)是的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求圓柱挖去三棱錐后的幾何體的體積.40．如圖，在棱長為2的正方體中，為棱的中點(diǎn)，，分別是棱，上的動(dòng)點(diǎn)（不與頂點(diǎn)重合）.作出平面與平面的交線（要求寫出作圖過程），并證明：若平面平面，則.41．如圖，在四棱錐P－ABCD中，側(cè)棱PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，PA＝AB＝2，AD＝3BC＝3，E在棱AD上，且AE＝1，若平面CEF與棱PD相交于點(diǎn)F，且平面CEF∥平面PAB.(1)求eq\f(PF,FD)的值；(2)求點(diǎn)F到平面