【高中數(shù)學(xué)課堂】第4章 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期單元測試能力卷（人教B版2019）解析版

高一數(shù)學(xué)上學(xué)期單元測試能力卷（人教B版2019）第4章指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．已知冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（

）A．-2 B．1 C． D．-12．不等式的解集為，則函數(shù)的零點(diǎn)為（

）A． B． C． D．3．下列可能是函數(shù)的圖象的是（

）A．

B．

C．

D．

4．已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．今年月日,日本不顧國際社會的強(qiáng)烈反對,將福島第一核電站核污染廢水排入大海,對海洋生態(tài)造成不可估量的破壞.據(jù)有關(guān)研究,福島核污水中的放射性元素有種半衰期在年以上;有種半衰期在萬年以上.已知某種放射性元素在有機(jī)體體液內(nèi)濃度與時間（年）近似滿足關(guān)系式為大于的常數(shù)且.若時,;若時,.則據(jù)此估計,這種有機(jī)體體液內(nèi)該放射性元素濃度為時,大約需要（

）（參考數(shù)據(jù):）A．年 B．年 C．年 D．年6．已知函數(shù)為偶函數(shù)，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B． C． D．7．已知，則的值為（

）A． B． C． D．8．一般地，設(shè)、分別為函數(shù)的定義域和值域，如果由函數(shù)可解得唯一的也是一個函數(shù)（即對任意一個，都有唯一的與之對應(yīng)），那么就稱是函數(shù)的反函數(shù)，記作.在中，是自變量，是的函數(shù)，習(xí)慣上改寫成的形式.例如函數(shù)的反函數(shù)為.設(shè)，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．二、多選題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分)9．已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的定義域?yàn)镽B．函數(shù)的值域?yàn)镃．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．函數(shù)在上單調(diào)遞減10．已知實(shí)數(shù)滿足且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．若，則的最小值為C．的最大值為D．若，則的最小值為11．已知函數(shù)的零點(diǎn)為，函數(shù)的零點(diǎn)為，則下列不等式中成立的是（）A． B．C． D．12．函數(shù)的定義域?yàn)镽，為偶函數(shù)，且，當(dāng)時，，則下列說法正確的是（

）．A．在上單調(diào)遞增B．C．若關(guān)于x的方程在區(qū)間上的所有實(shí)數(shù)根之和為，則D．函數(shù)有2個零點(diǎn)三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中的橫線上)13．函數(shù)只有一個零點(diǎn)，則的取值集合為14．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，若對任意，且，都有，則不等式的解集為．15．定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，給出下列四個結(jié)論：①若為遞增數(shù)列，則存在最大值；②若為遞增數(shù)列，則存在最小值；③若，且存在最小值，則存在最小值；④若，且存在最大值，則存在最大值.其中所有錯誤結(jié)論的序號有．16．已知集合M是具有以下性質(zhì)的函數(shù)的全體：對于任意s，都有，且．給出下列四個結(jié)論：①函數(shù)屬于M；②函數(shù)屬于M；③若，則在區(qū)間上單調(diào)遞增；④若，則對任意給定的正數(shù)s，一定存在某個正數(shù)t，使得當(dāng)時，恒有．其中所有正確結(jié)論的序號是．四、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．已知函數(shù)（）．(1)若函數(shù)在上是減函數(shù)，求的取值范圍；(2)當(dāng)時，設(shè)函數(shù)的最小值為，最大值為，求函數(shù)與的表達(dá)式．18．近日，隨著假期來臨，常州市政府積極制定政策，決定政企聯(lián)動，決定為某制衣有限公司在假期間加班生產(chǎn)提供（萬元）的專項(xiàng)補(bǔ)貼．該制衣有限公司在收到市政府（萬元）補(bǔ)貼后，產(chǎn)量將增加到（萬件）．同時該制衣有限公司生產(chǎn)（萬件）產(chǎn)品需要投入成本為（萬元），并以每件元的價格將其生產(chǎn)的產(chǎn)品全部售出．注：收益=銷售金額政府專項(xiàng)補(bǔ)貼成本．(1)求該制衣有限公司假期間，加班生產(chǎn)所獲收益（萬元）關(guān)于專項(xiàng)補(bǔ)貼（萬元）的表達(dá)式，并求當(dāng)加班生產(chǎn)所獲收益不低于35萬元時，實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)常州市政府的專項(xiàng)補(bǔ)貼為多少萬元時，該制衣有限公司假期間加班生產(chǎn)所獲收益（萬元）最大？19．已知函數(shù)．(1)求的反函數(shù)；(2)若函數(shù)，當(dāng)時，，求a的取值范圍．20．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù).(1)求的值；(2)判斷的單調(diào)性；(3)若存在，使成立，求的取值范圍.21．已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，滿足．(1)求函數(shù)的解析式；(2)用定義證明在上是增函數(shù)；(3)求不等式的解集．22．已知函數(shù)，.(1)利用函數(shù)單調(diào)性的定義，證明：在區(qū)間上是增函數(shù)；(2)已知，其中是大于1的實(shí)數(shù)，當(dāng)時，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)當(dāng)，判斷與的大小，并注明你的結(jié)論.參考答案：1．B【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義及性質(zhì)分類討論計算即可.【詳解】由題意有，解得或，①當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，不合題意；②當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，符合題意.故選：B2．A【分析】根據(jù)一元二次不等式的解與一元二次方程根之間的關(guān)系即可結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求解.【詳解】因?yàn)榈慕饧癁椋苑匠痰膬筛謩e為和1，且，則變形可得故函數(shù)，軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為和，所以零點(diǎn)為.故選：A.3．C【分析】根據(jù)函數(shù)定義域和特殊值可排除ABD.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)镽，排除選項(xiàng)AB，當(dāng)時，，排除選項(xiàng)D，故選：C.4．B【分析】首先求出參數(shù)的值，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，最后根據(jù)單調(diào)性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱且定義域?yàn)?，所以，解得，?jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以，又在定義域上單調(diào)遞增，在定義域上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，又，由，即，所以，解得．故選：B5．B【分析】根據(jù)已知條件得,解方程組求出的值,當(dāng)時,在等式兩邊取對數(shù)即可求解.【詳解】由題意得:,解得,所以,當(dāng)時,得,即,兩邊取對數(shù)得,所以,即這種有機(jī)體體液內(nèi)該放射性元素濃度為時,大約需要年.故選:B.6．B【分析】由為偶函數(shù)得到對稱軸，結(jié)合圖像平移得的圖象關(guān)于直線對稱，在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，進(jìn)而可求.【詳解】為偶函數(shù)，的圖象關(guān)于軸對稱，則的圖象關(guān)于直線對稱．在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，解得，即原不等式的解集為．故選：B．7．B【分析】根據(jù)對數(shù)和指數(shù)的互化關(guān)系可得均滿足方程，進(jìn)而根據(jù)一元二次方程的解，即可結(jié)合的單調(diào)性求解.【詳解】令，則，由可得，進(jìn)而可得故，同理可得，令或，故均為方程的實(shí)數(shù)根，故，，由于函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，，故選:B8．D【分析】先解出，再根據(jù)基本不等式求的值域.【詳解】由題意可得，則，由，根據(jù)基本不等式，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的值域?yàn)?故選：D9．ABD【分析】由函數(shù)的表達(dá)式可得函數(shù)的定義域可判斷A；令，則，，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的值域，可判斷B；根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法可得函數(shù)的單調(diào)性可判斷C、D.【詳解】令，則，對于選項(xiàng)A：的定義域與的定義域相同，均為R，故A正確；對于選項(xiàng)B：因?yàn)椋闹涤驗(yàn)?，所以函?shù)的值域?yàn)椋蔅正確；對于選項(xiàng)C、D：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，在定義域上單調(diào)遞減，所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則，得函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以C不正確，D正確.故選：ABD.10．ABD【分析】根據(jù)給定條件，可得，再結(jié)合均值不等式逐項(xiàng)分析判斷作答.【詳解】由，得，而，則，對于A，，A正確；對于B，，則，顯然均為正數(shù)，即有，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，B正確；對于C，顯然，由，得，因此，C錯誤；對于D，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即，由，得，則的最小值為，D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時，要從整體上把握運(yùn)用基本不等式，有時可乘以一個數(shù)或加上一個數(shù)，以及“1”的代換等應(yīng)用技巧.11．BC【分析】把問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點(diǎn)問題，根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式進(jìn)行逐一判斷即可.【詳解】令、，則、，在同一坐標(biāo)系中分別繪出函數(shù)、、的圖像，因?yàn)楹瘮?shù)的零點(diǎn)為，函數(shù)的零點(diǎn)為，所以，，解方程組，因?yàn)楹瘮?shù)與互為反函數(shù)，所以由反函數(shù)性質(zhì)知、關(guān)于對稱，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時，等號成立，所以A、D錯誤，B、C正確.故選：BC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對于零點(diǎn)關(guān)系問題，往往把函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化方程的根，再轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)關(guān)系問題，另外本題要注意函數(shù)與函數(shù)是反函數(shù)，故兩個交點(diǎn)A、B關(guān)于點(diǎn)中心對稱.12．BD【分析】先根據(jù)題干中的軸對稱，點(diǎn)對稱的條件可以推出周期性，奇偶性，A選項(xiàng)根據(jù)奇偶函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合周期性判斷，B選項(xiàng)，由于函數(shù)的周期性可將待求表達(dá)式分組求和，CD選項(xiàng)需借助畫出的圖像，數(shù)形結(jié)合來處理.【詳解】由于為偶函數(shù)，則關(guān)于對稱，則，故，結(jié)合可得，，用取代，得到，用取代，得到，于是的周期為，由可得，結(jié)合可得，故為奇函數(shù).A選項(xiàng)，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，在上遞增，根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)，在上遞增，又關(guān)于對稱，則在上遞減，又的周期為，故在上遞減，A選項(xiàng)錯誤；B選項(xiàng)，奇函數(shù)的定義域?yàn)椋?，由于的周期為，故，由，取得到，取，得到，故，由于的周期為，故C選項(xiàng)，先作出在上的圖像，若時，橫坐標(biāo)交點(diǎn)之和為，若時，橫坐標(biāo)交點(diǎn)之和為若，根據(jù)的對稱性可得，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為，故，除了交點(diǎn)之外，根據(jù)對稱性，其余四個點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為：，設(shè)的橫坐標(biāo)為，則，解得，當(dāng)時，，，根據(jù)周期性，，C選項(xiàng)錯誤；D選項(xiàng)，在同一坐標(biāo)系下作出和的圖像如下，由圖像可知有兩個交點(diǎn)，故有2個零點(diǎn)，D選項(xiàng)正確.故選：BD【點(diǎn)睛】本題綜合考察了冪函數(shù)的性質(zhì)，抽象函數(shù)中，點(diǎn)對稱，軸對稱，周期性，奇偶性的推導(dǎo)，由此可作出函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.13．【分析】分和討論即可.【詳解】（1）若，即時，①當(dāng)時，此時，此時沒有零點(diǎn)，②當(dāng)時，此時，令，解得，符合題意，（2）當(dāng)時，令，則，解得或1（舍去），綜上或，則的取值集合為.故答案為：.14．【分析】確定的圖像關(guān)于直線對稱，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，不等式變換為，解得答案.【詳解】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，所以，則，所以的圖像關(guān)于直線對稱，因?yàn)閷θ我猓?，都有，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以，所以，解得，故不等式的解集為．故答案為?15．①③④【分析】結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性判斷最值，即可判斷①②，利用取反例，判斷③④.【詳解】①由條件可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，那么在區(qū)間，函數(shù)的最大值是，若數(shù)列為遞增數(shù)列，則函數(shù)不存在最大值，故①錯誤；②由條件可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，若為遞增數(shù)列，那么在區(qū)間的最小值是，且為遞增數(shù)列，所以函數(shù)在區(qū)間的最小值是，故②正確；③若，取,,則，存在最小值，但此時的最小值是的最小值，函數(shù)單調(diào)遞減，無最小值，故③錯誤；④若，取，則恒成立，則有最大值，但的最大值是的最大值，函數(shù)單調(diào)遞增，無最大值，故④錯誤.故答案為：①③④16．②③④【分析】根據(jù)集合M具有的性質(zhì)逐個分析判斷.【詳解】對于①，，則，所以不屬于M，所以①錯誤，對于②，，則當(dāng)時，，，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以屬于M，所以②正確，對于③，因?yàn)?，所以對于任意s，都有，且，所以，因?yàn)?，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以③正確，對于④，對給定的正數(shù)s，若，則取，使得當(dāng)時，由③單調(diào)性恒有．若，因?yàn)閷τ谌我鈙，都有，且．所以同理可得，所以存在，則取，使得當(dāng)時，由③單調(diào)性恒有．綜上可得④正確，故答案為：②③④【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查函數(shù)的新定義，解題的關(guān)鍵是對函數(shù)新定義的正確理解，考查分析問題的能力和計算能力，屬于較難題.17．(1)(2)；【分析】（1）根據(jù)單調(diào)區(qū)間與對稱軸的關(guān)系求解；（2）分對稱軸與區(qū)間的關(guān)系求函數(shù)最小值，根據(jù)對稱軸與0的大小關(guān)系分類求最大值即可.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù)，且其對稱軸為，所以．（2）①當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，；②當(dāng)時，函數(shù)先減后增；③當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減．故；當(dāng)時，；當(dāng)時，故18．(1)，(2)3萬元【分析】（1）根據(jù)題意寫出解析式，解不等式可得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）化簡解析式，利用均值不等式求最值即可得解.【詳解】（1）由題意可得．因?yàn)?，所以．由，得，即，所以，又，所以?shí)數(shù)的取值范圍是．（2）因?yàn)椋忠驗(yàn)?，所以，所以（?dāng)且僅當(dāng)時取“=”），所以，即當(dāng)萬元時，取最大值36萬元．答：常州市政府的專項(xiàng)補(bǔ)貼為3萬元時，該制衣有限公司假期間加班生產(chǎn)所獲收益最大．19．(1)，(2)【分析】（1）由反函數(shù)的概念求解，（2）由換元法與對數(shù)函數(shù)性質(zhì)求值域，再分類討論解不等式．【詳解】（1）令，所以，所以，解得，所以的反函數(shù)，．（2）因?yàn)?，所以．設(shè)，所以，所以．設(shè)，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，值域?yàn)?，?dāng)時，，即，所以，解得；當(dāng)時，，即，所以，解得（舍）．綜上a的取值范圍為．20．(1)(2)函數(shù)在上是減函數(shù)(3)【分析】（1）首先由是奇函數(shù)可知，得出，后面再根據(jù)當(dāng)時，有恒等式成立即可求出.（2）將表達(dá)式變形為，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性即可判斷.（3）結(jié)合函數(shù)奇偶性、單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)換為，由題意問題等價于，由此即可得解.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，所以，又因?yàn)?，所以，將代入，整理得，?dāng)時，有，即，又因?yàn)楫?dāng)時，有，所以，所以.經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以.（2）由（1）知：函數(shù)，因?yàn)闉樯蠁握{(diào)增函數(shù)，且，則函數(shù)在上是減函數(shù).