任意共形同軸線電容的變分解析閉式

任意共形同軸線電容的變分解析閉式

1任意共形同軸線電容c長期以來，對不同類型通軸線的研究和研究從未停止過。這是因為微波理論和通信技術(shù)的發(fā)展啟發(fā)了計算機(jī)和技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)的快速發(fā)展，所有問題都可以隨著數(shù)值計算。事實上，這種觀點是有模棱兩可的。當(dāng)問題具有高精度的分析閉式時，其性能的分析和優(yōu)化將顯著增加，這將有助于理解不同傳輸線的不同特點。眾所周知,TEM模傳輸線電容C與特性阻抗Z0緊密相關(guān),有上式中,v是傳播速度.因此我們研究電容C有著重要的意義.本文將研究任意共形同軸線,如圖1所示.所謂共形是指任何由中心發(fā)出的射線到外導(dǎo)體距離與到內(nèi)導(dǎo)體距離之比等于一個常數(shù)k.文獻(xiàn)已經(jīng)導(dǎo)出了這類問題用電位函數(shù)Φ表達(dá)的變分泛函:其中,W表示靜電場儲能,V為內(nèi)外導(dǎo)體的電位差.根據(jù)能量極小原理,(2)式表示的變分極值是極小值.換句話說,(2)式所給出的是電容上界.本文首先推證連續(xù)函數(shù)的變分極值關(guān)系,再從基本三角形和任意三角形的電容出發(fā)討論任意共形同軸線電容問題.這不僅由于很多折線圖形(例如多邊形)是由三角形疊加而成,而且我們以此為基礎(chǔ)進(jìn)一步導(dǎo)出了微分三角形理論,從而比較徹底地解決了任意共形同軸傳輸線的電容(也即特性阻抗問題).值得指出由于變分穩(wěn)定,本文所獲得的解析閉式具有較高的精度.2連續(xù)函數(shù)fu的變分極性定義變分泛函λ[f(u)]為把積分離散化,且考慮n充分大,可將上式改寫成Rayleigh商式:3c共形同軸線我們將從基本三角形出發(fā)研究任意共形同軸線.基本三角形OAB如圖2所示,∠OBA=90°是直角.采用變分泛函極值研究基本三角形.根據(jù)穩(wěn)定性,我們假定等位線平行于y軸,也即是x為常數(shù),同時各個基本三角形之間的電容是并聯(lián)關(guān)系,即其中,(13)式表示共形同軸線由n個基本三角形組成,各為?Ci,而C是總電容.本文假定Φ(x)的梯度為把這一假設(shè)代入(2)式的變分泛函可知其中,對于共形同軸線,有b=ka.前面已經(jīng)證明:當(dāng)變分泛函取極值時,,則(15)式成為其中k=b/a.作為一個直接的應(yīng)用例子,考慮圖3正n邊形共形同軸線,由于對稱性,只要取作基本三角形,而由2n個三角形疊加,β=π/n.作為特例,當(dāng)n=4,也即正方形(2a×2a)時而當(dāng)n→∞,即圓同軸線C=2πε/lnk,這是已知的結(jié)果.下面,我們將進(jìn)一步討論如圖4所示的任意三角形.已知OB=r1,OA=r2,∠AOB=α-β=??.注意在定義中,β可正可負(fù),于是可包括一切銳、鈍角三角形.從概念上很容易看出?OAB=?OAC-?OBC,由基本三角形結(jié)果(16)式容易導(dǎo)出,對于任意三角形,電容?Ci有根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系可進(jìn)一步寫出如果我們采用已知值r1,r2和夾角??來表示,則又有(20)和(21)式是計算任意三角形的基本公式.4變分閉式的工作原理為了研究由任意曲線構(gòu)成的共形同軸線.我們定義微分三角形?OAB,見圖5所示.比較圖4,容易看出,微分三角形是任意三角形夾角??趨于無限小d?的一個結(jié)果.在(20)式的基礎(chǔ)上,可導(dǎo)出(27)式即本文給出的任意曲線構(gòu)成的共形同軸線電容的變分閉式.5使用示例我們分三種情況討論本文所提出方法的實際應(yīng)用和解析閉式的準(zhǔn)確性.5.1應(yīng)變u的合成這里以橢圓共形同軸線為例討論(27)式之應(yīng)用,具體見圖7所示.橢圓方程為很容易導(dǎo)出設(shè)u=tan?,考慮到對稱性,只取第一象限,則(27)式可簡化為把變量u復(fù)拓展,研究如圖8的上半平面閉路積分我們十分有興趣的指出,比較(37)和(35)式可知,對于同樣a和b的橢圓共形同軸線,它們的電容之比是4/π.5.3內(nèi)接三角形參數(shù)任意共形同軸線的另一種分析方法是:可以采用若干個三角形逼近.本文將給出用三個夾角為30°的任意三角形逼近橢圓率的橢圓,具體見圖10所示.考慮結(jié)構(gòu)的對稱性,我們也只需考慮第一象限.因為共形同軸線內(nèi)外徑之比始終是k,我們只用內(nèi)接三角形,無須再研究等面積約束.對于這一問題,可采用任意三角形結(jié)果(21)式.數(shù)據(jù)如表1所示,其相對誤差δ=2.278%,值得指出,如果采用更多的三角形來逼近橢圓,計算精度將進(jìn)一步提高.通過以上三種情況的分析,可以比較徹底地解決任意共形同軸線的電容問題.6變分理論和解析閉式研究任意共形同軸線的電容問題可以從基本三角形和任意三角形出發(fā),由它們可以逼近任意幾何圖形.而本文進(jìn)一步發(fā)展的微分三角形更可以解決任意曲線方程.在此基礎(chǔ)上,基于變分理論,本文導(dǎo)出了任意共形同軸線電容的變分解析閉式,不僅簡潔而且具有較高的精度.因此,我們從理論和實踐上比較徹底地解決了共形同軸線電容問題.值得指出,本文所提出的基本思想,還可以進(jìn)一步擴(kuò)展到一般同軸線.本文最后,我們將討論一個很多學(xué)者所關(guān)注的問題:即在計算機(jī)和先進(jìn)數(shù)值分析方法飛速的今天,是否還有必要研究變分理論和解析閉式?回答是肯定的.這是因為變分作為穩(wěn)定性的獨特形式又給出問題的上限和下限.顯然,對數(shù)值分析的誤差精度有著重要的指導(dǎo)意義.而另一方面,數(shù)值的長處在于分析,當(dāng)面臨優(yōu)化或系統(tǒng)綜合的問題中,解析閉式對于快速設(shè)計和迅速進(jìn)入優(yōu)化區(qū)域附近,顯然有著不可替代的作用.這也是變分理論和解析閉式研究仍不斷發(fā)展的主要原因.其中un=ku1.(4)式也可簡寫成式中是張量形式,對于[A]的約束,Cheng已經(jīng)證明,λ[f(u)]存在,且唯一存在極大值,即而此時所對應(yīng)的本征矢為(7)式可具體寫出我們很易得到在變分極值時,有且對(10)式結(jié)果,我們還可以進(jìn)一步推廣為且當(dāng)上式趨于變分極值時,有注意g(u)>0.這一連續(xù)函數(shù)的變分極值關(guān)系為后面導(dǎo)出共形同軸線電容的解析閉式奠定了理論基礎(chǔ).我們略去了以上的高次項.如果畫出任意曲線構(gòu)成的共形同軸線如圖6所示,則有于是寫出可導(dǎo)出β角關(guān)系是代入(22)式,最后得到計及是唯一的二階極點,應(yīng)用留數(shù)定理,