云南省曲靖市高三年級(jí)第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（理）試題及答案

試卷第=page22頁(yè)，總=sectionpages33頁(yè)第Page\*MergeFormat20頁(yè)共NUMPAGES\*MergeFormat24頁(yè)云南省曲靖市高三年級(jí)第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（理）試題及答案一、單選題1．設(shè)，，則（）A． B．C． D．【答案】B【解析】先求集合B,再利用補(bǔ)集及交集運(yùn)算求解即可【詳解】由題得，，所以.故選.【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算，二次不等式求解，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題2．已知復(fù)數(shù)z滿足，其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．【詳解】解：因?yàn)?，?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為在第四象限，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．3．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由向量的幾何意義，因?yàn)?，所以，再運(yùn)用向量積的運(yùn)算得到參數(shù)的值.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，將和代入，得出，所以，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．4．設(shè)，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】先利用函數(shù)的單調(diào)性比較與的大小，再利用中間量比較與、大?。驹斀狻拷猓阂?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，所以，又即，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考察比較大小，屬基礎(chǔ)題，比較三者的大小時(shí)常用中間量、法，屬于基礎(chǔ)題．5．我國(guó)古代名著《九章算術(shù)》中有這樣一段話：“今有金錘，長(zhǎng)五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤．”意思是：“現(xiàn)有一根金錘，長(zhǎng)5尺，頭部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若該金錘從頭到尾，每一尺的重量構(gòu)成等差數(shù)列，該金錘共重多少斤？（）A．6斤 B．7斤 C．9斤 D．15斤【答案】D【解析】直接利用等差數(shù)列的求和公式求解即可.【詳解】因?yàn)槊恳怀叩闹亓繕?gòu)成等差數(shù)列，，，，數(shù)列的前5項(xiàng)和為．即金錘共重15斤，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列求和公式的應(yīng)用，意在考查運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解答實(shí)際問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.6．設(shè)光線通過(guò)一塊玻璃，強(qiáng)度損失10%、如果光線原來(lái)的強(qiáng)度為，通過(guò)x塊這樣的玻璃以后強(qiáng)度為y，則，那么光線強(qiáng)度減弱到原來(lái)的以下時(shí)，至少通過(guò)這樣的玻璃塊數(shù)為（）（參考數(shù)據(jù)：）A．12 B．13 C．14 D．15【答案】C【解析】推導(dǎo)出，從而，由此能求出結(jié)果．【詳解】解：光線通過(guò)一塊玻璃，強(qiáng)度要損失．設(shè)光線原來(lái)的強(qiáng)度為，通過(guò)塊這樣的玻璃以后強(qiáng)度為，則經(jīng)過(guò)塊這樣的玻璃后光線強(qiáng)度為：，光線強(qiáng)度能減弱到原來(lái)的以下，，．至少通過(guò)14塊這樣的玻璃，光線強(qiáng)度能減弱到原來(lái)的以下．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)在生產(chǎn)生活中的實(shí)際運(yùn)用，考查函數(shù)、對(duì)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，屬于基礎(chǔ)題．7．已知F為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，則||FA|﹣|FB||的值等于（）A． B．8 C． D．4【答案】C【解析】將直線方程代入拋物線方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和拋物線的定義即可得出的值．【詳解】F（1，0），故直線AB的方程為y＝x﹣1，聯(lián)立方程組，可得x2﹣6x+1＝0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由根與系數(shù)的關(guān)系可知x1+x2＝6，x1x2＝1．由拋物線的定義可知：|FA|＝x1+1，|FB|＝x2+1，∴||FA|﹣|FB||＝|x1﹣x2|＝．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．8．圖1是某學(xué)習(xí)小組學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績(jī)的莖葉圖，1號(hào)到16號(hào)的同學(xué)的成績(jī)依次為，，圖2是統(tǒng)計(jì)莖葉圖中成績(jī)?cè)谝欢ǚ秶鷥?nèi)的學(xué)生情況的程序框圖，那么該程序框圖輸出的結(jié)果是（）A．10 B．6 C．7 D．16【答案】A【解析】先弄清楚程序框圖中是統(tǒng)計(jì)成績(jī)不低于分的學(xué)生人數(shù)，然后從莖葉圖中將不低于分的個(gè)數(shù)數(shù)出來(lái)，即為輸出的結(jié)果．【詳解】，，成立，不成立，；，，成立，不成立，；，，成立，成立，，；依此類推，上述程序框圖是統(tǒng)計(jì)成績(jī)不低于分的學(xué)生人數(shù)，從莖葉圖中可知，不低于分的學(xué)生數(shù)為，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖與程序框圖的綜合應(yīng)用，理解程序框圖的意義，是解本題的關(guān)鍵，考查理解能力，屬于中等題．9．函數(shù)的大致圖象是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】首先求出函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)的奇偶性，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可得解.【詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，所以函?shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故可排除B，當(dāng)時(shí)，，故可排除C；當(dāng)時(shí)，，，顯然當(dāng)時(shí)，，函數(shù)是單調(diào)遞減的，可排除D，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象的判斷，函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的圖象的變化趨勢(shì)是判斷函數(shù)的圖象的常用方法，屬于中檔題．10．如圖是某個(gè)四面體的三視圖，若在該四面體的外接球內(nèi)任取一點(diǎn)，則點(diǎn)落在四面體內(nèi)的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【詳解】試題分析：由題意可知三棱錐的底面是一個(gè)直角邊為等腰直角三角形，所以三棱錐的體積為12.球的直徑為以三棱錐的三個(gè)兩兩垂直的棱為長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高的體對(duì)角線，即.所以球的體積為.所以點(diǎn)落在四面體內(nèi)的概率為.故選C.【考點(diǎn)】1.三視圖的知識(shí).2.球的內(nèi)接幾何體.3.概率問(wèn)題.4.空間想象力.11．已知雙曲線的漸近線均和圓相切，且雙曲線M的右焦點(diǎn)為圓N的圓心，則雙曲線M的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意因?yàn)閳A把它變成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知其圓心為，利用雙曲線的右焦點(diǎn)為圓的圓心及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程建立，的方程．再利用雙曲線的兩條漸近線均和圓相切，建立另一個(gè)，的方程．【詳解】解：∵圓N的圓心，半徑∴雙曲線M的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，即，則①又∵雙曲線M的一條漸近線方程為，∴點(diǎn)N到漸近線的距離等于半徑，即，化得②聯(lián)立①②解得：，，∴該雙曲線M的離心率為.故選：A.【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查了直線與圓相切的等價(jià)條件，還考查了雙曲線及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及利用方程的思想進(jìn)行解題，屬于中檔題．12．已知函數(shù)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，記，函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，對(duì)求導(dǎo)，求出極值，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】，記，則題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，令，解得：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又∵有兩個(gè)不同零點(diǎn)，∴，即，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，屬于中檔題.二、填空題13．等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列,若，則____________.【答案】15．【解析】由題意得14．若關(guān)于的二項(xiàng)式的展開式中一次項(xiàng)的系數(shù)是，則__________．【答案】【解析】利用二項(xiàng)式定理的展開式的通項(xiàng)公式，通過(guò)冪指數(shù)為1，即可得到實(shí)數(shù)的值?！驹斀狻空归_式的通項(xiàng)公式為，由，得，所以一次項(xiàng)的系數(shù)為，得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，特定項(xiàng)的求法，熟練掌握二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題。15．已知函數(shù)與的圖像有三個(gè)不同交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值區(qū)間為________________.【答案】【解析】函數(shù)的交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)函數(shù)是分段函數(shù)，分類討論可得.【詳解】記，則題意為：方程有三個(gè)不等實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，由得，時(shí)有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根當(dāng)時(shí)，由得，時(shí)有一個(gè)實(shí)數(shù)根，綜上：時(shí)方程有三個(gè)不等實(shí)數(shù)根.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，分類討論是解答的關(guān)鍵，屬于中檔題.16．如圖，在四面體中，，用平行于的平面截此四面體，得到截面四邊形，則該四邊形面積的最大值為______【答案】【解析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)可知,因?yàn)椋?所以四邊形為矩形，設(shè)，建立二次函數(shù)關(guān)系求解四邊形面積的最大值.【詳解】因?yàn)橹本€AB//平面EFGH，且平面ABC交平面EFGH于HG,所以HG//AB，同理，，所以四邊形EFGH為平行四邊形又，可證明所以四邊形EFGH為矩形.設(shè)，，當(dāng)時(shí)，有最大值.故填.【點(diǎn)睛】本題主要考查了四面體ABCD中的對(duì)稱性來(lái)證明四邊形是矩形，線面平行的性質(zhì)，二次函數(shù)求最值，屬于難題.三、解答題17．某市在開展創(chuàng)建“全國(guó)文明城市”活動(dòng)中，工作有序扎實(shí)，成效顯著，尤其是城市環(huán)境衛(wèi)生大為改觀，深得市民好評(píng).“創(chuàng)文”過(guò)程中，某網(wǎng)站推出了關(guān)于環(huán)境治理和保護(hù)問(wèn)題情況的問(wèn)卷調(diào)查，現(xiàn)從參與問(wèn)卷調(diào)查的人群中隨機(jī)選出200人，并將這200人按年齡分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求出a的值；（2）若已從年齡較小的第1，2組中用分層抽樣的方法抽取5人，現(xiàn)要再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，設(shè)第2組抽到人，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）詳見解析【解析】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)，能求出的值．（2）根據(jù)分層抽樣的規(guī)則計(jì)算出各組人數(shù)，則隨機(jī)變量的所有可能取值為1，2，3，分別計(jì)算出概率，列出分布列即可求出期望.【詳解】解：（1）由，解得.（2）第1，2組的人數(shù)分別為20人，30人，從第1，2組中用分層抽樣的方法抽取5人，則第1，2組抽取的人數(shù)依次為2人，3人.隨機(jī)變量的所有可能取值為1，2，3.其中，，，所以隨機(jī)變量的分布列為：l23P【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法及應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．18．已知函數(shù)的最大值為．（1）求的值；（2）已知銳角的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，三角形的面積為，且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）利用兩角差的正弦、二倍角公式逆用、降冪公式、輔助角公式等對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到正弦型函數(shù)，然后根據(jù)其最大值，得到的值.（2）由得到的大小，利用面積公式得到的值，再由余弦定理，配湊出，得到答案.【詳解】解：（1）的最大值為，故，可得（2），可得：，，可得，由三角形面積公式得，，可得：，由余弦定理得，，可得：，而【點(diǎn)睛】本題主要考查了學(xué)生對(duì)三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了三角形的面積公式，余弦定理及簡(jiǎn)單的三角方程的求解，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．19．如圖，菱形與正三角形的邊長(zhǎng)均為2，它們所在平面互相垂直，平面，平面．（1）求證：平面平面；（2）若，求二面角的大?。敬鸢浮?1)見證明；(2)【解析】（1）由菱形的性質(zhì)可得，由線面垂直的性質(zhì)可得，從而可得平面，再由面面垂直的判定定理可得結(jié)果；（2）設(shè)，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過(guò)作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量垂直數(shù)量積為零列方程求得平面的法向量，結(jié)合平面的法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.【詳解】（1）∵菱形，∴，∵平面，∴，∵，∴平面，∵平面，∴平面平面．（2）設(shè)，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過(guò)作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，平面的法向量，設(shè)二面角的大小為，則，∴．∴二面角的大小為．【點(diǎn)睛】本題主要考查面面垂直的證明以及利用空間向量求二面角，屬于中檔題.空間向量解答立體幾何問(wèn)題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.20．已知函數(shù)，，其中a為常數(shù)，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，，曲線在其與y軸的交點(diǎn)處的切線記作，曲線在其與x軸的交點(diǎn)處的切線記作，且.（1）求之間的距離；（2）對(duì)于函數(shù)和的公共定義域中的任意實(shí)數(shù)，稱的值為函數(shù)和在處的偏差.求證：函數(shù)和在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】（1）求出與軸、軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)兩條切線平行求出參數(shù)的值，即可求出切線方程，利用兩平行線的距離公式求間的距離.（2）得到函數(shù)和的偏差為：，，利用導(dǎo)數(shù)分析，證明即可.【詳解】（1）函數(shù)的圖像與y軸的交點(diǎn)為，函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)為，而，，∵，∴，得，又∵，∴.∴，，∴切線過(guò)點(diǎn)，斜率為；切線過(guò)點(diǎn)，斜率為，，，∴兩平行切線間的距離（2）∵函數(shù)和的偏差為：，，∴，易得在上是增函數(shù)，方程有且只有一個(gè)正實(shí)根，記為，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，∵，，∴，故，即函數(shù)和在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求在一點(diǎn)處的切線方程，兩平行線之間的距離公式的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，屬于中檔題.21．已知橢圓的長(zhǎng)軸是短軸的兩倍，以短軸一個(gè)頂點(diǎn)和長(zhǎng)軸一個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的線段作直徑的圓的周長(zhǎng)等于，直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)，其中直線l不過(guò)原點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線的斜率分別為，其中且.記的面積為S.分別以為直徑的圓的面積依次為，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】（1）由題意知，且，由此能求出橢圓方程．（2）設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立，利用韋達(dá)定理、橢圓弦長(zhǎng)公式結(jié)合已知條件能求出的最小值．【詳解】解：（1）由題意知，，解得，所以橢圓C的方程為（2）設(shè)直線l的方程為，，，，，由消去y整理得，根據(jù)題設(shè)有：且，.因?yàn)椋?，將，代入，化?jiǎn)得：∵，∴.此時(shí)且，解得.故，又，為定值.∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.綜上：的最小值為【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求法及求曲線的方程，考查弦長(zhǎng)公式、三角形面積公式及直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了函數(shù)思想，屬于難題．22．在平面直角坐標(biāo)系中，直線l