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上海市崇明區(qū)市級名校2022-2023學年高三一輪階段測評(三)數學試題試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內,不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內,第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.集合的子集的個數是()A.2 B.3 C.4 D.82.數列滿足,且,,則()A. B.9 C. D.73.執(zhí)行如圖所示的程序框圖后,輸出的值為5,則的取值范圍是().A. B. C. D.4.“十二平均律”是通用的音律體系,明代朱載堉最早用數學方法計算出半音比例,為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻.十二平均律將一個純八度音程分成十二份,依次得到十三個單音,從第二個單音起,每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于.若第一個單音的頻率為f,則第八個單音的頻率為A. B.C. D.5.某個小區(qū)住戶共200戶,為調查小區(qū)居民的7月份用水量,用分層抽樣的方法抽取了50戶進行調查,得到本月的用水量(單位:m3)的頻率分布直方圖如圖所示,則小區(qū)內用水量超過15m3的住戶的戶數為()A.10 B.50 C.60 D.1406.已知雙曲線的右焦點為,過原點的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點,延長交右支于點,若,則雙曲線的離心率是()A. B. C. D.7.下列函數中,值域為的偶函數是()A. B. C. D.8.已知方程表示的曲線為的圖象,對于函數有如下結論:①在上單調遞減;②函數至少存在一個零點;③的最大值為;④若函數和圖象關于原點對稱,則由方程所確定;則正確命題序號為()A.①③ B.②③ C.①④ D.②④9.已知集合,定義集合,則等于()A. B.C. D.10.設F為雙曲線C:(a>0,b>0)的右焦點,O為坐標原點,以OF為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點.若|PQ|=|OF|,則C的離心率為A. B.C.2 D.11.如圖在一個的二面角的棱有兩個點,線段分別在這個二面角的兩個半平面內,且都垂直于棱,且,則的長為()A.4 B. C.2 D.12.若平面向量,滿足,則的最大值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若x,y均為正數,且,則的最小值為________.14.已知,滿足不等式組,則的取值范圍為________.15.圖(1)是第七屆國際數學教育大會(ICME-7)的會徽圖案,它是由一串直角三角形演化而成的(如圖(2)),其中,則的值是______.16.已知,則=___________,_____________________________三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在中,角,,所對的邊分別為,,,且.求的值;設的平分線與邊交于點,已知,,求的值.18.(12分)已知函數,.(1)若函數在上單調遞減,且函數在上單調遞增,求實數的值;(2)求證:(,且).19.(12分)設(1)證明:當時,;(2)當時,求整數的最大值.(參考數據:,)20.(12分)設橢圓E:(a,b>0)過M(2,),N(,1)兩點,O為坐標原點,(1)求橢圓E的方程;(2)是否存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且?若存在,寫出該圓的方程,若不存在說明理由.21.(12分)在平面直角坐標系xOy中,曲線的參數方程為(,為參數),在以O為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,曲線是圓心在極軸上,且經過極點的圓.已知曲線上的點M對應的參數,射線與曲線交于點.(1)求曲線,的直角坐標方程;(2)若點A,B為曲線上的兩個點且,求的值.22.(10分)如圖,在斜三棱柱中,已知為正三角形,D,E分別是,的中點,平面平面,.(1)求證:平面;(2)求證:平面.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

先確定集合中元素的個數,再得子集個數.【詳解】由題意,有三個元素,其子集有8個.故選:D.【點睛】本題考查子集的個數問題,含有個元素的集合其子集有個,其中真子集有個.2、A【解析】

先由題意可得數列為等差數列,再根據,,可求出公差,即可求出.【詳解】數列滿足,則數列為等差數列,,,,,,,故選:.【點睛】本題主要考查了等差數列的性質和通項公式的求法,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平,屬于基礎題.3、C【解析】

框圖的功能是求等比數列的和,直到和不滿足給定的值時,退出循環(huán),輸出n.【詳解】第一次循環(huán):;第二次循環(huán):;第三次循環(huán):;第四次循環(huán):;此時滿足輸出結果,故.故選:C.【點睛】本題考查程序框圖的應用,建議數據比較小時,可以一步一步的書寫,防止錯誤,是一道容易題.4、D【解析】分析:根據等比數列的定義可知每一個單音的頻率成等比數列,利用等比數列的相關性質可解.詳解:因為每一個單音與前一個單音頻率比為,所以,又,則故選D.點睛:此題考查等比數列的實際應用,解決本題的關鍵是能夠判斷單音成等比數列.等比數列的判斷方法主要有如下兩種:(1)定義法,若()或(),數列是等比數列;(2)等比中項公式法,若數列中,且(),則數列是等比數列.5、C【解析】從頻率分布直方圖可知,用水量超過15m3的住戶的頻率為,即分層抽樣的50戶中有0.3×50=15戶住戶的用水量超過15立方米所以小區(qū)內用水量超過15立方米的住戶戶數為,故選C6、D【解析】

設雙曲線的左焦點為,連接,,,設,則,,,和中,利用勾股定理計算得到答案.【詳解】設雙曲線的左焦點為,連接,,,設,則,,,,根據對稱性知四邊形為矩形,中:,即,解得;中:,即,故,故.故選:.【點睛】本題考查了雙曲線離心率,意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.7、C【解析】試題分析:A中,函數為偶函數,但,不滿足條件;B中,函數為奇函數,不滿足條件;C中,函數為偶函數且,滿足條件;D中,函數為偶函數,但,不滿足條件,故選C.考點:1、函數的奇偶性;2、函數的值域.8、C【解析】

分四類情況進行討論,然后畫出相對應的圖象,由圖象可以判斷所給命題的真假性.【詳解】(1)當時,,此時不存在圖象;(2)當時,,此時為實軸為軸的雙曲線一部分;(3)當時,,此時為實軸為軸的雙曲線一部分;(4)當時,,此時為圓心在原點,半徑為1的圓的一部分;畫出的圖象,由圖象可得:對于①,在上單調遞減,所以①正確;對于②,函數與的圖象沒有交點,即沒有零點,所以②錯誤;對于③,由函數圖象的對稱性可知③錯誤;對于④,函數和圖象關于原點對稱,則中用代替,用代替,可得,所以④正確.故選:C【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質,函數的圖象與性質,函數的零點概念,考查了數形結合的數學思想.9、C【解析】

根據定義,求出,即可求出結論.【詳解】因為集合,所以,則,所以.故選:C.【點睛】本題考查集合的新定義運算,理解新定義是解題的關鍵,屬于基礎題.10、A【解析】

準確畫圖,由圖形對稱性得出P點坐標,代入圓的方程得到c與a關系,可求雙曲線的離心率.【詳解】設與軸交于點,由對稱性可知軸,又,為以為直徑的圓的半徑,為圓心.,又點在圓上,,即.,故選A.【點睛】本題為圓錐曲線離心率的求解,難度適中,審題時注意半徑還是直徑,優(yōu)先考慮幾何法,避免代數法從頭至尾,運算繁瑣,準確率大大降低,雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問題,需強化練習,才能在解決此類問題時事半功倍,信手拈來.11、A【解析】

由,兩邊平方后展開整理,即可求得,則的長可求.【詳解】解:,,,,,,.,,故選:.【點睛】本題考查了向量的多邊形法則、數量積的運算性質、向量垂直與數量積的關系,考查了空間想象能力,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.12、C【解析】

可根據題意把要求的向量重新組合成已知向量的表達,利用向量數量積的性質,化簡為三角函數最值.【詳解】由題意可得:,,,故選:C【點睛】本題主要考查根據已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新組合成已知向量的表達是本題的關鍵點.本題屬中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、4【解析】

由基本不等式可得,則,即可解得.【詳解】方法一:,當且僅當時取等.方法二:因為,所以,所以,當且僅當時取等.故答案為:.【點睛】本題考查基本不等式在求最小值中的應用,考查學生對基本不等式的靈活使用,難度較易.14、【解析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示,易知在點處取得最小值,即,所以由圖可知的取值范圍為.15、【解析】

先求出向量和夾角的余弦值,再由公式即得.【詳解】如圖,過點作的平行線交于點,那么向量和夾角為,,,,,且是直角三角形,,同理得,,.故答案為:【點睛】本題主要考查平面向量數量積,解題關鍵是找到向量和的夾角.16、?196?3【解析】

由二項式定理及二項式展開式通項得:,令x=1,則1+a0+a1+…+a7=(1+1)×(1-2)7=-2,所以a0+a1+…+a7=-3,得解.【詳解】由二項式(1?2x)7展開式的通項得,則,令x=1,則,所以a0+a1+…+a7=?3,故答案為:?196,?3.【點睛】本題考查二項式定理及其通項,屬于中等題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、;.【解析】

利用正弦定理化簡求值即可;利用兩角和差的正弦函數的化簡公式,結合正弦定理求出的值.【詳解】解:,由正弦定理得:,,,,,又,為三角形內角,故,,則,故,;(2)平分,設,則,,,,則,,又,則在中,由正弦定理:,.【點睛】本題考查正弦定理和兩角和差的正弦函數的化簡公式,二倍角公式,考查運算能力,屬于基礎題.18、(1)1;(2)見解析【解析】

(1)分別求得與的導函數,由導函數與單調性關系即可求得的值;(2)由(1)可知當時,,當時,,因而,構造,由對數運算及不等式放縮可證明,從而不等式可證明.【詳解】(1)∵函數在上單調遞減,∴,即在上恒成立,∴,又∵函數在上單調遞增,∴,即在上恒成立,,∴綜上可知,.(2)證明:由(1)知,當時,函數在上為減函數,在上為增函數,而,∴當時,,當時,.∴∴即,∴.【點睛】本題考查了導數與函數單調性關系,放縮法在證明不等式中的應用,屬于難題.19、(1)證明見解析;(2).【解析】

(1)將代入函數解析式可得,構造函數,求得并令,由導函數符號判斷函數單調性并求得最大值,由即可證明恒成立,即不等式得證.(2)對函數求導,變形后討論當時的函數單調情況:當時,可知滿足題意;將不等式化簡后構造函數,利用導函數求得極值點與函數的單調性,從而求得最小值為,分別依次代入檢驗的符號,即可確定整數的最大值;當時不滿足題意,因為求整數的最大值,所以時無需再討論.【詳解】(1)證明:當時代入可得,令,,則,令解得,當時,所以在單調遞增,當時,所以在單調遞減,所以,則,即成立.(2)函數則,若時,當時,,則在時單調遞減,所以,即當時成立;所以此時需滿足的整數解即可,將不等式化簡可得,令則令解得,當時,即在內單調遞減,當時,即在內單調遞增,所以當時取得最小值,則,,,所以此時滿足的整數的最大值為;當時,在時,此時,與題意矛盾,所以不成立.因為求整數的最大值,所以時無需再討論,綜上所述,當時,整數的最大值為.【點睛】本題考查了導數在證明不等式中的應用,導數與函數單調性、極值、最值的關系和應用,構造函數法求最值,并判斷函數值法符號,綜合性強,屬于難題.20、(1)(2)【解析】試題分析:(1)因為橢圓E:(a,b>0)過M(2,),N(,1)兩點,所以解得所以橢圓E的方程為(2)假設存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且,設該圓的切線方程為解方程組得,即,則△=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為,,,所求的圓為,此時圓的切線都滿足或,而當切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足,綜上,存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且.考點:本題主要考查橢圓的標準方程,直線與橢圓的位置關系,圓與橢圓的位置關系.點評:中檔題,涉及直線與圓錐曲線的位置關系問題,往往要利用韋達定理.存在性問題,往往從假設存在出發(fā),運用題中條件探尋得到存在的是否條件具備.(2)小題解答中,集合韋達定理,應用平面向量知識證明了圓的存在性.21、(1)..(2)【解析】

(1)先求解a,b,消去參數,即得曲線的直角坐標方程;再求解,利用極坐標和直角坐標的互化公式,即得曲線的直角坐標方程;(2)由于,可設,,代入曲線直角坐標方程,可得的關系,轉化,可得解.【詳解】(1)將及對應的參數,代入得,即,所以曲線的方程為,為參數,所以曲線的直角坐標方程為.設圓的半徑為R,由題意,圓的極坐標方程為(或),將點代入,得,即,所以曲線的極坐標方程為,所以曲線的直角坐標方程為.(2)由于,故可設,代入曲線直角坐標方程,可得,,所以.【點睛】本題

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