《小結(jié)》教學(xué)設(shè)計(jì)(湖北省縣級優(yōu)課)-數(shù)學(xué)教案

數(shù)學(xué)歸納法說課流程課前任務(wù)單數(shù)學(xué)歸納法自主學(xué)習(xí)任務(wù)單一般地，證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：（歸納奠基）證明當(dāng)取（）時命題成立；（歸納遞推）假設(shè)（）時命題成立，證明當(dāng)時命題也成立。只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從開始的所有正整數(shù)都成立。上述證明方法叫數(shù)學(xué)歸納法。分析下述證明的過程的錯誤:()證明：假設(shè)當(dāng)時等號成立，即那么，即當(dāng)時等式也成立。因此對于任何等式都成立。對于不等式某學(xué)生的證明過程如下：（1）當(dāng)時，不等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)時不等式成立，即則時，即當(dāng)時，不等式也成立。上述證法第（）步錯誤。用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立時，第一個的值（）困惑與建議說明：此塊大約在課堂上5分鐘左右完成以下是學(xué)生課前看視頻（兩個視頻，每個視頻控制在5分鐘左右最好），看了視頻后需要通過預(yù)習(xí)課本完成的任務(wù)，老師課前要收起來進(jìn)行批改，并有針對性的補(bǔ)充相關(guān)的習(xí)題，也就是通常所說的二次備課。第一題是數(shù)學(xué)歸納法的基本原理和操作流程，所以用一個填空題的方式來考查。第二題主要是強(qiáng)調(diào)第一步的重要性，當(dāng)時，左邊等于2，右邊等于3，左邊不等于右邊，沒有驗(yàn)證初始值，也就是沒有打好基礎(chǔ)，像蓋高樓大廈時，地基就要搞好長時間。第三題是強(qiáng)調(diào)第二步證明時的結(jié)論成立時一定要用到時的假設(shè)，不能夠另起爐灶，主要是要讓學(xué)生體會中間的變形和轉(zhuǎn)化的過程。第四題是想說明第一個初始值可能不是1也不是2，此題是從5開始的。第五題就是我們二次備課的主要來源之一，讓學(xué)生自己通過預(yù)習(xí)發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，老師及時解決問題。二．課中教學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，并能以遞推思想作指導(dǎo)，理解數(shù)學(xué)歸納法的操作步驟;能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題，并能嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)歸納法證明的格式書寫;數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理解.學(xué)習(xí)過程（一）課前準(zhǔn)備（預(yù)習(xí)教材P104~P106，找出疑惑之處）復(fù)習(xí)：引例1.在數(shù)列中，，先算出a2，a3，a4的值，再推測通項(xiàng)an的公式.（二）新課導(dǎo)學(xué)問題：在多米諾骨牌游戲中,能使所有多米諾骨牌全部倒下的條件是什么?新知：數(shù)學(xué)歸納法兩大步：（1）歸納奠基：證明當(dāng)n取第一個值n0時命題成立;（2）歸納遞推：假設(shè)n=k（k≥n0，k∈N*）時命題成立，證明當(dāng)n=k+1時命題也成立.只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.原因：在基礎(chǔ)和遞推關(guān)系都成立時，可以遞推出對所有不小于n0的正整數(shù)n0+1，n0+2，…，命題都成立.試試：你能證明數(shù)列的通項(xiàng)公式這個猜想嗎?反思：數(shù)學(xué)歸納法是一種特殊的證明方法,主要用于研究與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題.關(guān)鍵：從假設(shè)n=k成立，證得n=k+1成立.典型例題例2用數(shù)學(xué)歸納法證明小結(jié)：證n=k+1時，需從假設(shè)出發(fā)，對比目標(biāo)，分析等式兩邊同增的項(xiàng)，朝目標(biāo)進(jìn)行變形.（三）課堂練習(xí)：練習(xí)1．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)時，在驗(yàn)證n＝1成立時，左邊所得的代數(shù)式是()A．1B．1＋3C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4練習(xí)2．用數(shù)學(xué)歸納法證明eq\f(1,1·2)＋eq\f(1,2·3)＋eq\f(1,3·4)＋…＋eq\f(1,n(n＋1))＝eq\f(n,n＋1)(n∈N*)，從“n＝k到n＝k＋1”時，等式左邊需要增添的項(xiàng)是 ()A.eq\f(1,k(k＋1))B.eq\f(1,k(k＋1))＋eq\f(1,(k＋1)(k＋2))C.eq\f(1,k(k＋2))D.eq\f(1,(k＋1)(k＋2))用數(shù)學(xué)歸納法證明：（四）當(dāng)堂檢測（時量：10分鐘滿分：30分）計(jì)分：1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：，在驗(yàn)證時，左端計(jì)算所得項(xiàng)為（）A.1B.C.D.2.用數(shù)學(xué)歸納法證明時，從n=k到n=k+1，左端需要增加的代數(shù)式為（）A.B.C.D.3.設(shè)，那么等于（）A.B.C.D.用數(shù)學(xué)歸納法證明:4.用數(shù)學(xué)歸納法證明能被13整除，其中（五）總結(jié)提升學(xué)習(xí)小結(jié)1.數(shù)學(xué)歸納法的步驟2.數(shù)學(xué)歸納法是一種特殊的證明方法,主要用于研究與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題.說明：以下是課中教學(xué)的部分，此塊大約在課堂上35分鐘左右完成。引例1，讓學(xué)生猜想，由學(xué)生提出完全歸納法和不完全歸納法的概念，結(jié)合上一節(jié)課的歐拉發(fā)現(xiàn)的第五個費(fèi)馬數(shù)不是質(zhì)數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生提出上述結(jié)論需要加以證明。(2分鐘左右）完全歸納法→結(jié)論一定可靠，不完全歸納法→結(jié)論不一定可靠,所以需要想辦法來進(jìn)行證明。通過多米諾骨牌的視頻實(shí)驗(yàn)提出思考，并引導(dǎo)學(xué)生和例1進(jìn)行類比，提出數(shù)學(xué)歸納法的定義以及兩個基本步驟。（3分鐘左右）（1）骨牌倒下→命題成立，第1張骨牌倒下→a1=1成立，…假設(shè)第k張骨牌倒下，保證第k+1張倒下→假設(shè)ak=1/k成立,若證出ak+1=1/(k+1)成立，第n張骨牌倒下→命題an=1/n成立數(shù)學(xué)歸納法與自然數(shù)有關(guān)的命題的兩個步驟①證明當(dāng)n取第一個值n0(例如n0=1)時命題成立;②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*,k≥n0)時命題成立證明當(dāng)n=k+1時命題也成立；根據(jù)由(1),(2)可知道，命題對從n0開始的所有正整數(shù)都成立。這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.第一步是驗(yàn)證過程，第二步是假設(shè)推理過程，最后下結(jié)論。例2的選題目的是（1）證明以前在數(shù)列中用得很多的一個結(jié)論，正整數(shù)的平方和公式；（2）證n=k+1時，需從假設(shè)出發(fā)，對比目標(biāo)，分析等式兩邊同增的項(xiàng)，朝目標(biāo)進(jìn)行合理地變形.（5分鐘左右）4.學(xué)習(xí)小結(jié)：（1）重點(diǎn)：兩個步驟、一個結(jié)論；（2）注意：遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉；（3）技巧：證明n=k+1時，需從假設(shè)出發(fā)，對比目標(biāo)，分析等式兩邊增加和減少的項(xiàng)，朝目標(biāo)進(jìn)行合理地變形；（4）可以引導(dǎo)學(xué)生讓學(xué)生自己歸納出以上結(jié)論。（3分鐘左右）5.課堂練習(xí)：（1）練習(xí)1的目的是想讓學(xué)生弄清楚第一步的項(xiàng)數(shù)問題，當(dāng)時，左邊有3項(xiàng).（2）練習(xí)2的目的是找出n=k時的結(jié)論和n=k+1時的結(jié)論兩個等式之間的區(qū)別和聯(lián)系。（5分鐘左右）例3的目的是讓學(xué)生熟悉一下用數(shù)學(xué)歸納法證明題目的完整的步驟，尤其是要強(qiáng)調(diào)最后要綜上所述，結(jié)論成立要敘述一遍。（5分鐘左右）7.當(dāng)堂檢測的5道題中的前四道是對例題的鞏固和消化，第5題是課堂升華，這道題是需要協(xié)作探究、小組討論的，是數(shù)學(xué)歸納法在其它方面的應(yīng)