一類新的雙曲euler公式

一類新的雙曲euler公式

1abel群的解析cloffo的幾代cl1可以表示出來。Cl1={a+be∶a,b∈R,e2=1},(1.1)作為實(shí)域R上二維代數(shù),滿足交換律及結(jié)合律,令H={a(1001)+b(0110)∶a,b∈R}.(1.2)則Cl1與H代數(shù)結(jié)構(gòu)相同(f∶Cl1→H;a+be→a(1001)+b(0110)為代數(shù)同構(gòu)映射).將Cl1看作二維平面,Cl1中元素w=x+ey記為w=x+ect,c表光速,t表時(shí)間.ww*=x2-c2t2<0(>0,=0)時(shí),稱w為類時(shí)(類空、類光)向量.w*=x-ect稱為w的共軛向量.定義Cl1的未來類時(shí)區(qū)為Cl+1={w∈Cl1∶ww*<0,t>0}.(1.3)對w=x+ect∈Cl+1,定義其間隔數(shù)(或稱模長)及幅角依次為σ(w)=√|ww*|?φ=arctanhxct.(1.4)利用雙曲函數(shù)的如下公式及冪級數(shù)展開式用eφ替代(1.5)-(1.6)中的φ,可得如下雙曲Euler公式eexp(eφ)=e(coshφ+esinhφ).(1.7)或?qū)懗蒭exp(eφ)=sinhφ+ecoshφ.(1.8)定理1.1?w=x+ect∈Cl+1,有w=σ(w)eexp(eφ).(1.9)證?w=x+ect∈Cl+1,有σ(w)=√c2t2-x2,利用(1.7),并將coshφ=ct√c2t2-x2?sinhφ=x√c2t2-x2代入,可得σ(w)eexp(eφ)=σ(w)(xσ(w)+ectσ(w))=x+ect=w.定理1.2?w1=x1+ect1,w2=x2+ect2∈Cl+1,定義運(yùn)算“?！比缦?。∶w1。w2=ew1w2(1.10)則(Cl+1,。)成為Abel群.證設(shè)w=w1。w2,則有ww*=(ew1w2)(ew1w2)*=(ee*)(w1w*1)(w2w*2)<0;再由w=x+ect=ew1w2=e(x1+ect1)(x2+ect2)=(x1ct2+x2ct1)+e(x1x2+c2t1t2),得ct=x1x2+c2t1t2>0,即t>0.故w∈Cl+1,從而封閉律成立.e為單位元.每一w=x+ect∈Cl+1,w有逆元w-1=σ-2(w)(-w*)驗(yàn)證可知,Cl+1對運(yùn)算“?！睗M足交換律與結(jié)合律.推論1.3定義U2={u∈Cl+1∶σ(u)=1},(1.11)則(U2,。)成為Abel群.定理1.4?u∈U2,如下映射Lu∶Cl+1→Cl+1;w→u。w(1.12)為Lorentz變換.證令u=xu+ectu=sinhφ+ecoshφ,其中φ=arctanhxuctu=arctanhvc?v=xutu.令w=x+ect,w′=x′+ect′=u。w=euw=(coshφ+esinhφ)(x+ect)=(xcoshφ+ctsinhφ)+e(ctcoshφ+xsinhφ)=γ(x+vt)+eγ(ct+xvc).從而有x′=γ(x+vt)?t′=t+xvc2?γ=1√1-v2c2(1.13)2規(guī)則到e參照Clifford代數(shù)Cl1,對于四維實(shí)空間R4中的點(diǎn)(x,y,z,q),用ect替代其分量q,定義R3,1≡{(x,y,z,ect)∶x,y,z,t∈R,e2=1}(2.1)有時(shí)將(x,y,z,ect)記為(x,y,z)+ect或r+ect.?w=r+ect∈R3,1,當(dāng)ww*=r2-c2t2<0(>0,=0)時(shí),稱w為類時(shí)(類空,類光)向量.定義R3,1的未來類時(shí)區(qū)為R3,1≡{w∈R3,1∶ww*=r2-c2t2<0,t>0}.(2.2)其中r=(x,y,z),r=√x2+y2+z2.?w∈R3,1,定義其間隔數(shù)為σ(w)=|ww*|(2.3)定義其幅角為φ=arctanhrct.(2.4)?w=r+ect∈R3,1+,令r0=rr,用er0φ替代(1.5)-(1.6)中φ,可得四維雙曲Euler公式eexp(er0φ)=e(coshφ+er0sinhφ).(2.5)或?qū)懗蒭exp(er0φ)=r0sinhφ+ecoshφ.(2.6)定理2.1?w=r+ect∈R3,1+,有w=σ(weexp(er0φ))?r0=rr?φ=arctanhrct.(2.7)證?w=r+ect∈R3,1+,有eexp(er0φ)=r0sinhφ+ecoshφ=r0rσ(w)+ectσ(w),從而(2.7)成立.定理2.2在R3,1+中定義運(yùn)算“?！比缦?。∶w1。w2=ew1w2=e(r1+ect1)(r2+ect2)=c(r1t2+r2t1)+(r1r2+c2t1t2)e.(2.8)則(R3,1+,。)成為Abel群.證令w=w1。w2,則ww*=(ew1w2)(ew1w2)*=(ee*)(w1w1*)(w2w*2)<0;再由w=r+ect及(2.8)可知,ct=r1r2+c2t1t2≥c2t1t2-r1r2>0,故w∈R3,1+.e為單位元.?w=r+ect∈R3,1+,其逆元為w-1=σ-2(w)(-w*).驗(yàn)證可知,R3,1+對運(yùn)算“?！睗M足交換律及結(jié)合律.推論2.3令U4≡{u∈R3,1+∶σ(u)=1},(2.9)則(U4,0)為Abel群.定理2.4?u∈U4,建立映射Lu∶R3,1+→R3,1+,w→u。w,(2.10)則Lu為Lorentz變換.證設(shè)w=r+ect∈R3,1+w′=r′+ect′=Lu(w)=u。w,參照定理2.2的證明可知w′w′*=(euw)(euw)*