幾何體的外接球與內(nèi)切球

PAGE幾何體的外接球與內(nèi)切球1、內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點的距離均相等。2、正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合。3、正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不重合。4、體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法。一、外接球（一）多面體幾何性質(zhì)法1、已知各頂點都在同一個球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，則這個球的表面積是A.B.C.D.小結(jié)本題是運用“正四棱柱的體對角線的長等于其外接球的直徑”這一性質(zhì)來求解的.2、一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為1，2，3，則此球的表面積為。（二）補形法1、若三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為，則其外接球的表面積是.2、設(shè)是球面上的四點,且兩兩互相垂直,若,則球心到截面的距離是.小結(jié)一般地，若一個三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長度分別為，則就可以將這個三棱錐補成一個長方體，于是長方體的體對角線的長就是該三棱錐的外接球的直徑.設(shè)其外接球的半徑為，則有.3、三棱錐中，兩兩垂直，且，則三棱錐外接球的表面積為（）A．B．C．D．4、三棱錐的四個頂點均在同一球面上，其中是正三角形平面則該球的體積為（）A.B.C.D.答案及解析：10.B點評： 本題考查球的內(nèi)接體與球的關(guān)系，考查空間想象能力，利用割補法結(jié)合球內(nèi)接多面體的幾何特征求出球的半徑是解題的關(guān)鍵．5、如圖的幾何體是長方體的一部分，其中則該幾何體的外接球的表面積為(A(B)(C)(D)答案及解析：12.【知識點】幾何體的結(jié)構(gòu).G1B解析：該幾何體的外接球即長方體的外接球，而若長方體的外接球半徑為R，則長方體的體對角線為2R，所以，所以該幾何體的外接球的表面積，故選B.【思路點撥】分析該幾何體的外接球與長方體的外接球的關(guān)系，進而得結(jié)論.4、已知三棱錐中，，，直線與底面所成角為，則此時三棱錐外接球的體積為A.B.C.D.答案及解析：11.D（四）球心定位法1、在矩形中，，沿將矩形折成一個直二面角，則四面體的外接球的體積為A.B.C.D.2、如圖所示是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體外接球的表面積為A.8B.16C.32D.643、三棱錐中，底面是邊長為2的正三角形，⊥底面，且，則此三棱錐外接球的半徑為（） B． C．D．4、如圖，在三棱錐A﹣BCD中，△ACD與△BCD是全等的等腰三角形，且平面ACD⊥平面BCD，AB=2CD=4，則該三棱錐的外接球的表面積為．答案及解析：27.考點：球的體積和表面積；球內(nèi)接多面體．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：取AB，CD中點分別為E，F(xiàn)，連接EF，AF，BF，求出EF，判斷三棱錐的外接球球心O在線段EF上，連接OA，OC，求出半徑，然后求解表面積．解答： 解：取AB，CD中點分別為E，F(xiàn)，連接EF，AF，BF，由題意知AF⊥BF，AF=BF，EF=2，易知三棱錐的外接球球心O在線段EF上，連接OA，OC，有R2=AE2+OE2，R2=CF2+OF2，求得，所以其表面積為．故答案為：．點評：本小題主要考查球的內(nèi)接幾何體的相關(guān)計算問題，對考生的空間想象能力與運算求解能力以及數(shù)形結(jié)合思想都提出很高要求，本題是一道綜合題，屬于較難題．28.29.5、在三棱錐中，底面為邊長為的正三角形，頂點在底面上的射影為的中心，若為的中點，且直線與底面所成角的正切值為，則三棱錐外接球的表面積為__________．答案及解析：29.二、內(nèi)切球問題1、一氣球（近似看成球體）在不變形的前提下放在由長為2的12根木條搭成的正方體中，該氣球球表面積最大是__________．2、正三棱錐的高為1，底面邊長為。求棱錐的內(nèi)切球的表面積。3、三棱錐的兩條棱,其余各棱長均為，求三棱錐的內(nèi)切球半徑.4、如圖，已知球O是棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1的內(nèi)切球，則平面ACD1截球O的截面面積為() A．π B． C． D．π答案及解析：4.C考點：截面及其作法．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：根據(jù)正方體和球的結(jié)構(gòu)特征，判斷出平面ACD1是正三角形，求出它的邊長，再通過圖求出它的內(nèi)切圓的半徑，最后求出內(nèi)切圓的面積解答： 解：根據(jù)題意知，平面ACD1是邊長為的正三角形，且球與以點D為公共點的三個面的切點恰為三角形ACD1三邊的中點，故所求截面的面積是該正三角形的內(nèi)切圓的面積，則由圖得，△ACD1內(nèi)切圓的半徑是×tan3