初二數(shù)學(xué)軸對稱習(xí)題

第一講軸對稱知識要點(diǎn)1.等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形有兩邊相等；定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）。推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊，這就是說，等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重疊。推論2：等邊三角形的各角都相等，并且每一種角都等于60°。等腰三角形是以底邊的垂直平分線為對稱軸的軸對稱圖形；2.等腰三角形的鑒定定理：如果一種三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”。）推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形。推論2：有一種角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。推論3：在直角三角形中，如果一種銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的二分之一。3.等邊三角形

定理：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形。4.等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一種角都等于60°。

5.等邊三角形的鑒定①三個角都相等的三角形是等邊三角形。②有一種角是60°的等腰三角形是等邊三角形。典型例題例1.若等腰三角形中的一種角等于50°，則另外兩個角的度數(shù)分別是（）A.65°，65°B.50°，80°C.50°，50°D.65°，65°或50°，80°變式1.若等腰三角形中的其中一角為120°，則它的三個角的度數(shù)分別是。變式2.已知一種等腰三角形的一種外角是135°，則它的底角為。例2等腰三角形的一種角是70°，則一腰上的高與另一腰的頂角為（）A.20°B.20°或50°C.50°D.70°變式1.若等腰三角形的底邊長15，一腰上的中線把其周長分成的兩部分的差是8，則腰長是（）A.7B.23C.7或者23D.以上都不對例3．等腰三角形有兩邊長是3cm和4cm，則這個等腰三角形的周長為。變式1.等腰三角形有兩邊長是4cm和9cm，則這個三角形的周長是（）A.17cmB.22cmC.18cmD.17cm或22cm變式2.已知三角形的三邊長分別為7，x，13，若x為整數(shù)，那么這樣的等腰三角形的周長為。A．6 B．5 C．3 D．2例4.已知：如圖，∠C=90°，BC=AC，D、E分別在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中點(diǎn)．

求證：△MDE是等腰三角形．變式1．如圖，AB⊥AC,CD⊥BD,AB=DC,AC、BD相較于點(diǎn)O,求證：△BOC是等腰三角形.變式2.如圖，△ABC為等邊三角形，延長BC到D,又延長BA到E，使AE=BD,連接CE,DE,求證：△CDE為等腰三角形.例5.如圖AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，交AB于E．

①求∠DBC的度數(shù)．

②猜想△BDC的形狀并證明．變式1.如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC,E為DC中點(diǎn)，AE⊥BE,且AD+BC=2AE，求∠ABC的大小.變式2.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC點(diǎn)的中線，E是AC的中點(diǎn)，連接AC，DF⊥AB于F．求證：∠BDF=∠ADE．例6.如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為E，過點(diǎn)B作BF∥AC交DE的延長線于點(diǎn)F，連接CF．

（1）求證：AD⊥CF；

（2）連接AF，試判斷△ACF的形狀，并闡明理由．例7．如圖，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120o，AC的垂直平分線EF交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．求證：BF=2CF．變式1.如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D,CE平分∠ACB,GF∥CB,交AB于點(diǎn)F,求證：AE＝BF.例8.如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D、E、F分別是線段AB、BC、CA上的點(diǎn).

（1）若AD=BE=CF，問△DEF是等邊三角形嗎？試證明你的結(jié)論；

（2）若△DEF是等邊三角形，問AD=BE=CF成立嗎？試證明你的結(jié)論．變式1.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，垂足為G，且AD=AB．∠EDF=60°，其兩邊分別交邊AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）求證：△ABD是等邊三角形；（2）求證：BE=AF．

同時練習(xí)一．選擇題1．等腰三角形的兩邊長分別為4cm和8cm，則它的周長為（）A．16cm B．17cm C．20cm D．16cm或20cm2．如圖，△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，則∠CDE的度數(shù)為（）A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°3．等邊三角形的邊長為2，則該三角形的面積為（）A． B． C． D．34．如圖所示，底邊BC為2，頂角A為120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，則△ACE的周長為（）A．2+2 B．2+ C．4 D．35．如圖，△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足為Q，延長MN至G，取NG=NQ，若△MNP的周長為12，MQ=a，則△MGQ周長是（）A．8+2a B．8+a C．6+a D．6+2a6．如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)E在CA延長線上，EP⊥BC于點(diǎn)P，交AB于點(diǎn)F，若AF=2，BF=3，則CE的長度為（）A．5 B．6 C．7 D．87．如圖，在△ABC中，AB=AC，D、E、F分別在三邊上，且BE=CD，BD=CF，G為EF的中點(diǎn)，則∠DGE的度數(shù)是（）A．45° B．60° C．90° D．120°8．已知：如圖，△ABC和△DEC都是等邊三角形，D是BC延長線上一點(diǎn)，AD與BE相交于點(diǎn)P，AC、BE相交于點(diǎn)M，AD、CE相交于點(diǎn)N，則下列五個結(jié)論：①AD=BE；②∠BMC=∠ANC；③∠APM=60°；④AN=BM；⑤△CMN是等邊三角形．其中，對的的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個9．如圖，在四邊形ABCD中，AB=AC，∠ABD=60°，∠ADB=78°，∠BDC=24°，則∠DBC=（）A．18° B．20° C．25° D．15°10．圖①是一塊邊長為1，周長記為P1的正三角形紙板，沿圖①的底邊剪去一塊邊長為的正三角形紙板后得到圖②，然后沿同一底邊依次剪去一塊更小的正三角形紙板（即其邊長為前一塊被剪如圖掉正三角形紙板邊長的）后，得圖③，④，…，記第n（n≥3）塊紙板的周長為Pn，則Pn﹣Pn﹣1的值為（）A． B． C． D．二．填空題11．如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，則線段MN的長為．12．在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中線BD將三角形周長分為15和21兩部分，則這個三角形的底邊長為．13．如圖，在△ABC中，AB=AC=6，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，連接AD，若AD=4，則DC=．14．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為48°，則該等腰三角形的底角的度數(shù)為．15．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD于點(diǎn)D，DE∥AC交AB于點(diǎn)E，若AB=8，則DE=．16．如圖，AB=AC=8cm，DB=DC，若∠ABC=60°，則BE=cm．17．如圖，已知S△ABC=8m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于點(diǎn)D，則S△ADC=m2．18．在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，點(diǎn)P是BC上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，PE⊥AC于E，則PD+PE=．三．解答題19．如圖，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD與CE相交于點(diǎn)O（1）求證：OB=OC；（2）若∠ABC=50°，求∠BOC的度數(shù)．20．等腰三角形一腰上的中線將三角形的周長分成了21和27兩個部分，求等腰三角形的底邊和腰長．21．如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，BF⊥AC于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)E，∠BAC=4