《閱讀與思考函數(shù)概念的發(fā)展歷程》教學(xué)設(shè)計(部級優(yōu)課)x-數(shù)學(xué)教案

課題函數(shù)概念發(fā)展史課型新授課教學(xué)目標(biāo)知識與技能了解函數(shù)概念的產(chǎn)生與發(fā)展。過程與方法通過大量史料和示例的分析展示，鞏固對高中函數(shù)概念的認(rèn)知；培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。情感態(tài)度與價值觀體會靜與動的辯證關(guān)系。教學(xué)重點用集合和對應(yīng)的語言刻畫函數(shù)的概念。教學(xué)難點對函數(shù)概念發(fā)展的理解教學(xué)內(nèi)容設(shè)計和教學(xué)方法選擇一、教師引入1、人類最初對動和變化的認(rèn)識2、詭辯飛矢靜止二、學(xué)生演繹和展示函數(shù)的產(chǎn)生與發(fā)展孫瑞琪（數(shù)學(xué)達(dá)人）：早在16、17世紀(jì)，生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展要求數(shù)學(xué)不僅研究靜止不動的量，而且要研究運動過程中各個量之間的依賴關(guān)系，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)由常量數(shù)學(xué)時期進(jìn)入到變量數(shù)學(xué)時期，函數(shù)也就成為研究變量數(shù)學(xué)必不可少的概念。十七世紀(jì)伽利略在《兩門新科學(xué)》一書中，幾乎全部包含函數(shù)或稱為變量關(guān)系的這一概念，用文字和比例的語言表達(dá)函數(shù)的關(guān)系。1673年前后笛卡爾在他的解析幾何中，已經(jīng)注意到一個變量對另一個變量的依賴關(guān)系，但因當(dāng)時尚未意識到要提煉函數(shù)概念，大部分函數(shù)是被當(dāng)作曲線來研究的。同樣在1673年，萊布尼茨首次使用“function”表示“冪”，后來他用該詞表示曲線上點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、切線長等曲線上點的有關(guān)幾何量。與此同時，牛頓在微積分的討論中，使用“流量”來表示變量間的關(guān)系，而他在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中提出的“生成量”就是函數(shù)概念的雛形。函數(shù)的概念發(fā)展到這，仍然是在幾何的框架的下，下面請杰出的數(shù)學(xué)家歐拉為大家?guī)泶鷶?shù)觀念下函數(shù)概念的發(fā)展。焦帥曄（歐拉）：大家好！這是我的老師瑞士著名數(shù)學(xué)家約翰。白努力先生，1718年他在萊布尼茨函數(shù)概念的基礎(chǔ)上對函數(shù)概念進(jìn)行了定義：“由任一變量和常數(shù)的任一形式所構(gòu)成的量?！睆?qiáng)調(diào)函數(shù)要用公式來表示。在提到我所給出的函數(shù)定義之前，不得不先提到發(fā)生在1746年的一個小小的爭論。1746年，達(dá)郎貝爾在研究弦振動問題時，提出了用單獨的解析表達(dá)式給出的曲線是函數(shù)。后來我發(fā)現(xiàn)有些曲線不一定是由單個解析式給出的，于是，我提出一個新定義：函數(shù)是”xy平面上隨手畫出來的曲線所表示的y與x間的關(guān)系”。即把函數(shù)定義為一條隨意畫出來的曲線，我稱之為任意函數(shù)，即包括了由單個解析表達(dá)式給出的連續(xù)函數(shù)，也包括由若干個解析式表示的不連續(xù)函數(shù)（還要告訴大家一個小秘密，“不連續(xù)”函數(shù)的名稱是我首次提出的）?？上У氖俏业挠^點沒有被達(dá)郎貝爾接受，于是我們就展開了激烈的爭論。1748年，在我所著的《無窮小分析引論》中把函數(shù)定義為“由一個變量與一些常量通過任何方式形成的解析表達(dá)式?！边@就把變量與常量以及由它們的加、減、乘、除、乘方、開方和三角、指數(shù)、對數(shù)等運算構(gòu)成的式子，均稱為函數(shù)。隨著研究的深入，1775年，我在《微分學(xué)》一書中，給出了函數(shù)的另一個定義“如果某些變量，以這樣一種方式依賴于另一些變量，即當(dāng)后者變化時前者也隨之變化，則稱前面的變量為后面變量的函數(shù)?！辈贿^，這里的“依賴”“隨之變化”等的含意不十分確切，因此限制了函數(shù)的外延。張晟男（傅立葉）：歐拉先生，讓我來幫幫你吧！我是法國數(shù)學(xué)家傅立葉。1822年，在我的論文《熱的分析理論》中，記錄這樣一個有趣的現(xiàn)象，如圖所示的不連續(xù)曲線，表達(dá)式有無窮多個，即這有力的揭示了，用函數(shù)表達(dá)式的“單一”與否來區(qū)別函數(shù)的真?zhèn)问遣恍械?，這個發(fā)現(xiàn)也結(jié)束了函數(shù)是否以唯一一個式子表示的爭論。孫瑞琪：感謝兩位大咖的精彩講解，實際上1821年，十九世紀(jì)最杰出的法國數(shù)學(xué)家柯西也給出了如下的函數(shù)定義：“若當(dāng)x的每個值，都有完全確定的y值與之對應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)。其中x叫做自變量?！痹谶@個定義中，不僅第一次出現(xiàn)了自變量一詞，也避免了數(shù)學(xué)意義欠嚴(yán)格的“變化