廣東深圳平湖外國語學校2023-2024學年高二數(shù)學第一學期期末質量跟蹤監(jiān)視試題含解析

廣東深圳平湖外國語學校2023-2024學年高二數(shù)學第一學期期末質量跟蹤監(jiān)視試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．定義在R上的偶函數(shù)在上單調遞增，且，則滿足的x的取值范圍是（）A. B.C. D.2．若數(shù)列的前項和，則此數(shù)列是（）A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列C.等差數(shù)列或等比數(shù)列 D.以上說法均不對3．設變量x，y滿足約束條件則目標函數(shù)的最小值為（）A.3 B.1C.0 D.﹣14．若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則（）A.1 B.2C.4 D.85．如圖，用4種不同的顏色對A，B，C，D四個區(qū)域涂色，要求相鄰的兩個區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的涂色方法有（）A.24種 B.48種C.72種 D.96種6．已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則（）A.0.2 B.0.24C.0.28 D.0.327．若展開式的二項式系數(shù)之和為，則展開式的常數(shù)項為（）A. B.C. D.8．已知等比數(shù)列的前n項和為，公比為q，若，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.9．下列命題中是真命題的是（）A.“”是“”的充分非必要條件B.“”是“”的必要非充分條件C.在中“”是“”的充分非必要條件D.“”是“”的充要條件10．圓的圓心到直線的距離為2，則（）A. B.C. D.211．橢圓的左右焦點分別為，是上一點，軸，，則橢圓的離心率等于（）A. B.C. D.12．已知是橢圓右焦點，點在橢圓上，線段與圓相切于點，且，則橢圓的離心率等于（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某學生到某工廠進行勞動實踐，利用打印技術制作模型.如圖，該模型為一個大圓柱中挖去一個小圓柱后的剩余部分（兩個圓柱底面圓的圓心重合），大圓柱的軸截面是邊長為的正方形，小圓柱的側面積是大圓柱側面積的一半，打印所用原料的密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質量為________g.（?。?4．在中，內角，，的對邊分別為，，，若，且，則_______15．若直線的方向向量為，平面的一個法向量為，則直線與平面所成角的正弦值為______.16．某中學高一年級有420人，高二年級有460人，高三年級有500人，用分層抽樣的方法抽取部分樣本，若從高一年級抽取21人，則從高三年級抽取的人數(shù)是__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊為a，b，c，其中，，且（1）求角B的值；（2）若，判斷△ABC的形狀18．（12分）已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，，為自然對數(shù)的底數(shù)（1）求函數(shù)的單調區(qū)間，并比較與的大?。唬?）計算，，，由此推測計算的公式，并給出證明；19．（12分）已知直線l過點，與兩坐標軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標原點（1）若的面積為，求直線l的方程；（2）求的面積的最小值20．（12分）某市共有居民60萬人，為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進行了調查，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照，，……分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖（1）求直方圖中的a值，并估計該市居民月均用水量不少于3噸的人數(shù)（單位：人）；（2）估計該市居民月均用水量的眾數(shù)和中位數(shù)21．（12分）已知雙曲線與雙曲線的漸近線相同，且經過點.（1）求雙曲線的方程；（2）已知雙曲線的左右焦點分別為，直線經過，傾斜角為與雙曲線交于兩點，求的面積.22．（10分）已知圓C的圓心在坐標原點，且過點M（）（1）求圓C的方程；（2）已知點P是圓C上的動點，試求點P到直線的距離的最小值；

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調性可得或，解之即可得解.【詳解】解：，由題意可得或即或，解得或故選：B.2、D【解析】利用數(shù)列通項與前n項和的關系和等差數(shù)列及等比數(shù)列的定義判斷.【詳解】當時，，當時，，當時，，所以是等差數(shù)列；當時，為非等差數(shù)列，非等比數(shù)列’當時，，所以是等比數(shù)列，故選：D3、C【解析】線性規(guī)劃問題，作出可行域后，根據(jù)幾何意義求解【詳解】作出可行域如圖所示，，數(shù)形結合知過時取最小值故選：C4、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質，由題中條件，求出，即可得出結果.【詳解】因為數(shù)列是等比數(shù)列，由，得，所以，因此.故選：C.5、B【解析】按涂色順序進行分四步，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得解.【詳解】按涂色順序進行分四步：涂A部分時，有4種涂法；涂B部分時，有3種涂法；涂C部分時，有2種涂法；涂D部分時，有2種涂法.由分步乘法計數(shù)原理，得不同的涂色方法共有種.故選：B.6、C【解析】依據(jù)正態(tài)曲線的對稱性即可求得【詳解】由隨機變量服從正態(tài)分布，可知正態(tài)曲線的對稱軸為直線由，可得則，故故選：C7、C【解析】利用二項式系數(shù)的性質求得的值，再利用二項式展開式的通項公式，求得結果即可.【詳解】解：因為展開式的二項式系數(shù)之和為，則，所以，令，求得，所以展開式的常數(shù)項為.故選：C.8、D【解析】根據(jù)，可求得，然后逐一分析判斷各個選項即可得解.【詳解】解：因為，所以，因為，所以，所以，故A錯誤；又，所以，所以，所以，故BC錯誤；所以，故D正確.故選：D.9、B【解析】根據(jù)充分條件、必要條件、充要條件的定義依次判斷.【詳解】當時，，非充分，故A錯.當不能推出，所以非充分，，所以是必要條件，故B正確.當在中，，反之，故為充要條件，故C錯；當時，，，，充分條件，因為，當時成立，非必要條件，故D錯.故選：B.10、B【解析】配方求出圓心坐標，再由點到直線距離公式計算【詳解】圓的標準方程是，圓心為，∴，解得故選：B.【點睛】本題考查圓的標準方程，考查點到直線距離公式，屬于基礎題11、A【解析】在中結合已知條件，用焦距2c表示、，再利用橢圓定義計算作答.【詳解】令橢圓的半焦距為c，因是上一點，軸，，在中，，，由橢圓定義知，則，所以橢圓的離心率等于.故選：A12、A【解析】結合橢圓的定義、勾股定理列方程，化簡求得，由此求得離心率.【詳解】圓的圓心為，半徑為.設左焦點為，連接，由于，所以，所以，所以，由于，所以，所以，，.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4500【解析】根據(jù)題意可知大圓柱的底面圓的半徑，兩圓柱的高，設小圓柱的底面圓的半徑為，再根據(jù)小圓柱的側面積是大圓柱側面積的一半，求出小圓柱的底面圓的半徑，然后求出該模型的體積，從而可得出答案.【詳解】解：根據(jù)題意可知大圓柱的底面圓的半徑，兩圓柱的高，設小圓柱的底面圓的半徑為，則有，即，解得，所以該模型的體積為，所以制作該模型所需原料的質量為.故答案：4500.14、【解析】代入，展開整理得，①化為，與①式相加得，轉化為關于的方程，求解即可得出結論.【詳解】因為，所以，所以，因為，所以，則，整理得，解得.故答案為:.【點睛】本題考查正弦定理的邊角互化，考查三角函數(shù)化簡求值，屬于中檔題.15、【解析】根據(jù)空間向量夾角公式進行求解即可.【詳解】設與的夾角為，直線與平面所成角為，所以，故答案為：16、25【解析】由條件先求出抽樣比，從而可求出從高三年級抽取的人數(shù).【詳解】由題意抽樣比例：則從高三年級抽取的人數(shù)是人故答案為：25三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）等邊三角形【解析】（1）把化為，然后由正弦定理化邊為角，利用兩角和的正弦公式、誘導公式可求得；（2）由余弦定理及三角形面積公式可得，從而得出三角形為等邊三角形【小問1詳解】∵，∴由正弦定理得，∵，∴，∴，又，所以，可得；【小問2詳解】由（１）知余弦定理，①，②由①②可得：，又，所以，所以該三角形為等邊三角形18、（1）的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；（2）詳見解析【解析】（1）求出的定義域，利用導數(shù)求其最大值，得到，取即可得出答案.（2）由，變形求得，，，由此推測：然后用數(shù)學歸納法證明即可.【小問1詳解】的定義域為，當，即時，單調遞增；當，即時，單調遞減故的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為當時，，即令，得，即【小問2詳解】；；由此推測：①下面用數(shù)學歸納法證明①（1）當時，左邊右邊，①成立（2）假設當時，①成立，即當時，，由歸納假設可得所以當時，①也成立根據(jù)（1）（2），可知①對一切正整數(shù)都成立19、（1）或（2）4【解析】（1）設直線方程為，根據(jù)所過的點及面積可得關于的方程組，求出解后可得直線方程，我們也可以設直線，利用面積求出后可得直線方程.（2）結合（1）中直線方程的形式利用基本不等式可求面積的最小值.【小問1詳解】法一：（1）設直線，則解得或，所以直線或法二：設直線，，則，則，∴或﹣8所以直線或【小問2詳解】法一：∵，∴，∴，此時，∴面積的最小值為4，此時直線法二：∵，∴，此時，∴面積的最小值為4，此時直線20、（1）a0.3，72000人；（2）眾數(shù)2.25；中位數(shù)2.04.【解析】（1）根據(jù)所有小長方形面積和為1即可求得參數(shù)，結合題意求得用水量不少于3噸對應的頻率，再求頻數(shù)即可；（2）根據(jù)頻率分布直方圖直接寫出眾數(shù)，根據(jù)中位數(shù)的求法，結合頻率的計算，即可容易求得結果.【小問1詳解】由頻率分布直方圖，可知：，解得；月均用水量不少于3噸的人數(shù)為：（人）【小問2詳解】由圖可估計眾數(shù)為2.25；設中位數(shù)為x噸，因為前5組的頻率之和0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5，而前4組頻率之和0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5，所以2≤x<2.5，由，可得，故居民月均用水量的中位數(shù)為2.04噸.21、（1）；（2）.【解析】（1）由兩條雙曲線有共同漸近線，可令雙曲線方程為，求出即可得雙曲線的方程；（2）根據(jù)已知有直線為，由其與雙曲線的位置關系，結合弦長公式、點線距離公式及三角形面積公式求的面積.【詳解】（1）設所求雙曲線方程為，代入點得：，即，∴雙曲線方程為，即.（2）由（1）知：，即直線方程為.設，聯(lián)立得，滿足且，，由弦長公式得，點到直線的距離.所以【點睛】本題考查了雙曲線，根據(jù)雙曲線共漸近線求雙曲線方程，由直線與雙曲線的相交位置關系求原點與交點構成三角形的面積，綜合應用了弦長公式、點線距離公式、三角形面積公式，屬于基礎題.22、（1）（2）【解析】（1）由圓C的圓心在坐標原點，且過點，求得圓