專題15函數(shù)的零點(diǎn)問題（原卷版）

專題15函數(shù)的零點(diǎn)問題【考點(diǎn)預(yù)測】1、函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解（1）函數(shù)零點(diǎn)的概念對(duì)于函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn).函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)解，也是函數(shù)的圖象與軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo).所以方程有實(shí)數(shù)解函數(shù)有零點(diǎn)函數(shù)的圖象與軸有公共點(diǎn).（2）函數(shù)零點(diǎn)存在定理如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在，使得，這個(gè)也就是方程的解.2、用二分法求方程的近似解對(duì)于在區(qū)間上圖象連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷地把它的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.給定精確度，用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值的一般步驟如下：（1）確定零點(diǎn)的初始區(qū)間，驗(yàn)證.（2）求區(qū)間的中點(diǎn).（3）計(jì)算，并進(jìn)一步確定零點(diǎn)所在的區(qū)間：=1\*GB3①若（此時(shí)），則就是函數(shù)的零點(diǎn)；=2\*GB3②若（此時(shí)），則令；=3\*GB3③若（此時(shí)），則令.（4）判斷是否達(dá)到精確度：若，則得到零點(diǎn)的近似值（或）；否則重復(fù)步驟（2）~（4）.由函數(shù)零點(diǎn)與相應(yīng)方程解的關(guān)系，我們可以用二分法來求方程的近似解.3、函數(shù)模型的應(yīng)用用函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的基本過程如下：這一過程包括分析和理解實(shí)際問題的增長情況（是“對(duì)數(shù)增長”“直線上升”還是“指數(shù)爆炸”）；根據(jù)增長情況選擇函數(shù)類型構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問題化歸為數(shù)學(xué)問題；通過運(yùn)算、推理、求解函數(shù)模型；用得到的函數(shù)模型描述實(shí)際問題的變化規(guī)律，解決有關(guān)問題.在這一過程中，往往需要利用信息技術(shù)幫助畫圖、運(yùn)算等.【典型例題】例1．（2022·江蘇宿遷·高一期中）我縣黃桃種植戶為了迎合大眾需求，提高銷售量，打算以裝盒售賣的方式銷售．經(jīng)市場調(diào)研，若要提高銷售量，則黃桃的售價(jià)需要相應(yīng)的降低，已知黃桃的種植與包裝成本為24元/盒，且每萬盒黃桃的銷售價(jià)格g(x)（單位：元）與銷售量x（單位：萬盒）之間滿足關(guān)系式g(x)＝．(1)寫出利潤F(x)（單位：萬元）關(guān)于銷售量x（單位：萬盒）的關(guān)系式；（利潤＝銷售收入﹣成本）(2)當(dāng)銷售量為多少萬盒時(shí)，黃桃種植戶能夠獲得最大利潤？此時(shí)最大利潤是多少？例2．（2022·江蘇省洪澤高一期中）某問題的題干如下：“已知定義在R上的函數(shù)滿足：①對(duì)任意，均有；②當(dāng)時(shí)，；③.”某同學(xué)提出一種解題思路，構(gòu)造，使其滿足題干所給條件.請(qǐng)按此同學(xué)的思路，解決以下問題.(1)求的解析式；(2)若方程恰有3個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.例3．（2022·黑龍江·牡丹江市第二高級(jí)高一期中）已知定義在區(qū)間上的函數(shù)．(1)求函數(shù)的零點(diǎn)；(2)若方程有四個(gè)不等實(shí)根，且，證明．例4．（2022·江蘇·海安高級(jí)高一期中）設(shè)函數(shù)，（，）.(1)若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a值及相應(yīng)的零點(diǎn)；(2)當(dāng)a＝1時(shí)，若，總，使得成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.例5．（2022·北京市昌平區(qū)第二高一期中）已知函數(shù)．(1)畫出此函數(shù)的圖像；(2)求不等式的解集；(3)若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．例6．（2022·北京·牛欄山高一期中）已知函數(shù).(1)畫出函數(shù)的圖象，并寫出的解析式；(2)設(shè)，（i）求出的零點(diǎn)，并直接寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（ii）若有四個(gè)不同的解，直接寫出的取值范圍.【過關(guān)測試】一、單選題1．（2022·北京高一階段練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．2．（2022·遼寧·昌圖縣第一高級(jí)高一期中）用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)可以取的初始區(qū)間是（

）A． B． C． D．3．（2022·江蘇鹽城·高一期中）已知函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，，其中，，則（

）A． B．C． D．4．（2022·吉林·扶余市第一高一期中）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為，則整數(shù)k等于（

）A．2 B．1 C．0 D．-15．（2022·遼寧·沈陽市第十一高一期中）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．16．（2022·貴州遵義·高一期中）若函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．7．（2022·上海市浦東復(fù)旦附中分校高一期中）已知函數(shù)，若方程有實(shí)根，則集合的元素個(gè)數(shù)可能是（

）A．或 B．或 C．或 D．或8．（2022·四川·樹德高一階段練習(xí)）函數(shù)，若關(guān)于x的方程有4個(gè)不同的根，則a的取值范圍（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2022·湖南省岳陽縣第一高一階段練習(xí)）定義域和值域均為的函數(shù)和的圖象如圖所示，其中，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（

）A．方程有且僅有三個(gè)解 B．方程有且僅有三個(gè)解C．方程有且僅有九個(gè)解 D．方程有且僅有一個(gè)解10．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）某同學(xué)用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，計(jì)算出如下結(jié)果：，，，，．下列說法正確的有（

）A．的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi) B．的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)C．精確到0.1的近似值為1.4 D．精確到0.1的近似值為1.511．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）如圖所示，某池塘中浮萍蔓延的面積y（單位：）與時(shí)間t（單位：月）滿足函數(shù)關(guān)系，則下列說法正確的是（

）A．B．第5個(gè)月時(shí)，浮萍面積就會(huì)超過C．浮萍的面積從蔓延到需要經(jīng)過1.5個(gè)月D．浮萍每月增加的面積都相等12．（2022·江蘇·蘇州高一期中）已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則（

）A．關(guān)于x的方程在區(qū)間上的所有實(shí)數(shù)根的和為B．關(guān)于x的方程在區(qū)間上的所有實(shí)數(shù)根的和為C．若函數(shù)與的圖象恰有5個(gè)不同的交點(diǎn)，則或D．若函數(shù)與的圖象恰有5個(gè)不同的交點(diǎn)，則或三、填空題13．（2022·甘肅·永昌縣第一高級(jí)高一期中）若函數(shù)（且）與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.14．（2022·遼寧·大連高一期中）已知函數(shù)在區(qū)間中存在零點(diǎn)，在利用二分法求零點(diǎn)的近似值時(shí)，計(jì)算過程如下表格所示：零點(diǎn)區(qū)間區(qū)間中點(diǎn)重點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值計(jì)算到表格中的最后一步可推斷零點(diǎn)屬于區(qū)間________.15．（2022·遼寧鞍山·高一期中）已知，函數(shù)若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.16．（2022·河南·濮陽一高高一期中）已知函數(shù)若互不相等的實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍______.四、解答題17．（2022·四川省射洪市太和高一期中）已知函數(shù)，且點(diǎn)在函數(shù)的圖象上.(1)求函數(shù)的解析式，并在圖中的直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象；(2)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（2022·重慶南開高一期中）黨的二十大報(bào)告提出，積極穩(wěn)妥推進(jìn)碳達(dá)峰碳中和，立足我國能源資源稟賦，堅(jiān)持先立后破，有計(jì)劃分步驟實(shí)施碳達(dá)峰行動(dòng)，深入推進(jìn)能源革命，加強(qiáng)煤炭清潔高效利用，加快規(guī)劃建設(shè)新型能源體系，積極參與應(yīng)對(duì)氣候變化全球治理．在碳達(dá)峰、碳中和背景下，光伏發(fā)電作為我國能源轉(zhuǎn)型的中堅(jiān)力量發(fā)展迅速．在可再生能源發(fā)展政策的支持下，今年前8個(gè)月，我國光伏新增裝機(jī)達(dá)到4447萬千瓦，同比增長2241萬千瓦．某公司生產(chǎn)光伏發(fā)電機(jī)的全年固定成本為1000萬元，每生產(chǎn)x（單位：百臺(tái)）發(fā)電機(jī)組需增加投入y（單位：萬元），其中，該光伏發(fā)電機(jī)年產(chǎn)量最大為10000臺(tái)．每臺(tái)發(fā)電機(jī)的售價(jià)為16000元，全年內(nèi)生產(chǎn)的發(fā)電機(jī)當(dāng)年能全部售完．(1)將利潤P（單位：萬元）表示為年產(chǎn)量x（單位：百臺(tái)）的函數(shù)；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為何值時(shí)，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少萬元？（總收入＝總成本＋利潤）．19．（2022·江蘇南通·高一期中）已知函數(shù)，，其中.(1)若的圖象與直線沒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，求實(shí)數(shù)m的值.20．（2022·上海南匯高一期中）法國數(shù)學(xué)家佛朗索瓦·韋達(dá)，在歐洲被尊稱為“現(xiàn)代數(shù)學(xué)之父”，他最重要的貢獻(xiàn)是對(duì)代數(shù)學(xué)的推進(jìn)，他最早系統(tǒng)地引入代數(shù)符號(hào)，推進(jìn)了方程論的發(fā)展，由于其最早發(fā)現(xiàn)代數(shù)方程的跟與系數(shù)之間的關(guān)系，因此，人們把這個(gè)關(guān)系稱為韋達(dá)定理.韋達(dá)定理有著廣泛的應(yīng)用，是高中階段非常重要的知識(shí)內(nèi)容，為了致敬前輩數(shù)學(xué)家，請(qǐng)同學(xué)們利用韋達(dá)定理完成以下問題.(1)關(guān)于的方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根為2，求另一實(shí)數(shù)根及實(shí)數(shù)的值；(2)關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根、，若，求實(shí)數(shù)的值；(3)已知集合有且僅有3個(gè)元素，這3個(gè)元素恰為直角三角形的三條邊長，求，的值.21．（2022·吉林·長春吉大附中實(shí)驗(yàn)高一期中）已