勾股定理-最短距離問題

第4頁共10頁螞蟻爬行的最短路徑正方體4．如圖，一只螞蟻從正方體的底面A點處沿著表面爬行到點上面的B點處，它爬行的最短路線是（）A．A?P?BB．A?Q?BC．A?R?BD．A?S?B解：根據(jù)兩點之間線段最短可知選A．

故選A．2.如圖，邊長為1的正方體中，一只螞蟻從頂點A出發(fā)沿著正方體的外表面爬到頂點B的最短距離是.第6題第6題解：如圖將正方體展開，根據(jù)“兩點之間，線段最短”知，線段AB即為最短路線．AB=．8.正方體盒子的棱長為2，BC的中點為M，一只螞蟻從A點爬行到M點的最短距離為.第7題第7題解：將正方體展開，連接M、D1，根據(jù)兩點之間線段最短，MD=MC+CD=1+2=3，MD1=．5．如圖，點A的正方體左側面的中心，點B是正方體的一個頂點，正方體的棱長為2，一螞蟻從點A沿其表面爬到點B的最短路程是（）解：如圖，AB=．故選C．9．如圖所示一棱長為3cm的正方體，把所有的面均分成3×3個小正方形．其邊長都為1cm，假設一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下底面點A沿表面爬行至側面的B點，最少要用2.5秒鐘．解：因為爬行路徑不唯一，故分情況分別計算，進行大、小比較，再從各個路線中確定最短的路線．

（1）展開前面右面由勾股定理得AB==cm；

（2）展開底面右面由勾股定理得AB==5cm；

所以最短路徑長為5cm，用時最少：5÷2=2.5秒．長方體10．（2009?恩施州）如圖，長方體的長為15，寬為10，高為20，點B離點C的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B，需要爬行的最短距離是。解：將長方體展開，連接A、B，根據(jù)兩點之間線段最短，AB==25．解：（1）AB的長就為最短路線．

然后根據(jù)若螞蟻沿側面爬行，則經(jīng)過的路程為（cm）；

若螞蟻沿側面和底面爬行，則經(jīng)過的路程為（cm），

或（cm）所以螞蟻經(jīng)過的最短路程是cm．

（2）5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=30cm，最長路程是30cm．15．如圖，長方體的長、寬、高分別為6cm，8cm，4cm．一只螞蟻沿著長方體的表面從點A爬到點B．則螞蟻爬行的最短路徑的長是。解：第一種情況：把我們所看到的前面和上面組成一個平面，

則這個長方形的長和寬分別是12cm和6cm，

則所走的最短線段是=6cm；

第二種情況：把我們看到的左面與上面組成一個長方形，

則這個長方形的長和寬分別是10cm和8cm，

所以走的最短線段是=cm；

第三種情況：把我們所看到的前面和右面組成一個長方形，

則這個長方形的長和寬分別是14cm和4cm，

所以走的最短線段是=2cm；

三種情況比較而言，第二種情況最短．51．圓柱形坡璃容器，高18cm，底面周長為60cm，在外側距下底1cm點S處有一蜘蛛，與蜘蛛相對的圓柱形容器的上口外側距開口處1cm的點F處有一蒼蠅，試求急于捕獲蒼蠅充饑的蜘蛛所走的最短路線的長度。16．如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為20cm、3cm、2cm．A和B是這個臺階上兩個相對的端點，點A處有一只螞蟻，想到點B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到點B的最短路程為cm解：三級臺階平面展開圖為長方形，長為20cm，寬為（2+3）×3cm，

則螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是此長方形的對角線長．

可設螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程為xcm，

由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，

解得x=25．

故答案為25．17．如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別等于5cm，3cm和1cm，A和B是這個臺階的兩個相對的端點，A點上有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物.請你想一想，這只螞蟻從A點出發(fā)，沿著臺階面爬到B點，最短線路是cm。解：將臺階展開，如下圖，因為AC=3×3+1×3=12，BC=5，所以AB2=AC2+BC2=169，所以AB=13（cm），所以螞蟻爬行的最短線路為13cm．答：螞蟻爬行的最短線路為13cm．圓柱21．有一圓柱體如圖，高4cm，底面半徑5cm，A處有一螞蟻，若螞蟻欲爬行到C處，求螞蟻爬行的最短距離.第2題第2題解：AC的長就是螞蟻爬行的最短距離．C，D分別是BE，AF的中點．AF=2π?5=10π．AD=5π．AC=≈16cm．故答案為：16cm．22．有一圓形油罐底面圓的周長為24m，高為6m，一只老鼠從距底面1m的A處爬行到對角B處吃食物，它爬行的最短路線長為.第3題第3題解：AB=m23．如圖，一只螞蟻沿著圖示的路線從圓柱高AA1的端點A到達A1，若圓柱底面半徑為，高為5，則螞蟻爬行的最短距離為．解：因為圓柱底面圓的周長為2π×=12，高為5，

所以將側面展開為一長為12，寬為5的矩形，

根據(jù)勾股定理，對角線長為=13．

故螞蟻爬行的最短距離為13．24．如圖，一圓柱體的底面周長為24cm，高AB為9cm，BC是上底面的直徑．一只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓柱的側面爬行到點C，則螞蟻爬行的最短路程是解：如圖所示：

由于圓柱體的底面周長為24cm，則AD=24×=12cm．

又因為CD=AB=9cm，所以AC==15cm．

故螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點C的最短路程是15cm．

故答案為：15．25．（2006?荊州）有一圓柱體高為10cm，底面圓的半徑為4cm，AA1，BB1為相對的兩條母線．在AA1上有一個蜘蛛Q，QA=3cm；在BB1上有一只蒼蠅P，PB1=2cm，蜘蛛沿圓柱體側面爬到P點吃蒼蠅，最短的路徑是cm．（結果用帶π和根號的式子表示）解：QA=3，PB1=2，

即可把PQ放到一個直角邊是4π和5的直角三角形中，

根據(jù)勾股定理得：

QP=最短路線問題通常是以“平面內連結兩點的線中,線段最短”為原則引申出來的.人們在生產(chǎn)、生活實踐中,常常遇到帶有某種限制條件的最近路線即最短路線問題.下面簡單談一下初中數(shù)學中遇到的最短路線問題。對于數(shù)學中的最短路線問題可以分為兩大類：第一類為在同一平面內；第二類為空間幾何體中的最短路線問題，對于平面內的最短路線問題可先畫出方案圖，然后確定最短距離及路徑圖。Ⅰ.求三點距離相等時，一點到兩點的距離最短設計方案例1．為改善白銀市民吃水質量，市政府決定從新建的A水廠向B、C供水站供水。已知A、B、C之間的距離相等，為了節(jié)約成本降低造價，請你設計一種最優(yōu)方案，使鋪設的輸水管道最短，在圖中用實線畫出你所設計方案的線路圖。解析：可根據(jù)三點所構成的三角形形狀及三線合一的性質，可求最短路線及設計圖。（1）可設計AB+AC路徑；（2）可設計AD+BD+CD路徑；（3）可設計AE+EB+EC路徑。通過計算比較驗證等確定最優(yōu)化的設計方案為（3）Ⅱ。求一點，使它與其余兩點之和最小的方案設計例2．為了改善農(nóng)民生活水平，提高生產(chǎn)，如圖，A、B是兩個農(nóng)場，直線m是一條小河，現(xiàn)準備在河岸某處修建一提灌點，準備給兩農(nóng)場澆水，如何修建，使得提灌點與兩農(nóng)場的距離之和最小，請你在圖中畫出設計方案圖。解析：兩點之間線段最短，可利用軸對稱性質，從而可將求兩條線段之和的最小值問題轉化為求一條線段長的問題。應用：已知三角形ABC中，∠A＝20度，AB＝AC＝20cm，M、N分別為AB、AC上兩點，求BN＋MN＋MC的最小值。Ⅲ。求圓上點，使這點與圓外點的距離最小的方案設計例3．已知圓形花壇以及花壇外一居民區(qū)，要在花壇與居民區(qū)之間修建一條小道在圓形花壇上選擇一點，使其與居民區(qū)之間的距離最小。解析：在此問題中可根據(jù)圓上最遠點與最近點和點的關系可得最優(yōu)設計方案。應用:一點到圓上的點的最大距離為9，最短距離為1，則圓的半徑為多少？關于立體圖形表面的最短路徑問題,又稱“繞線問題”是幾何中很富趣味性的一類向題.它牽涉的知識面廣,溝通了平面幾何、立體幾何以及平面三角的聯(lián)系,能訓練學生的空間想象能力。而且,也很富有技巧性.在此討論幾個問題,僅供參考。Ⅰ。在圓柱中，可將其側面展開求出最短路程Ⅱ。在長方體（正方體）中，求最短路程例5．在長方體盒子的A點有一昆蟲，在B點有它最喜歡吃的食物，沿盒子表面爬行，如何爬行使得所爬路程最短，如果長方體的長、寬、高分別為a、b、c.則最短路程為多少.解析：將其中含有一點的面展開，與含另一點的面在同一平面內即可，主要可以分為三種情形：（1）將右側面展開與下底面在同一平面內，可得其路程為：s1=（2）將前表面展開與上表面在同一平面內，可得其路程為：s2=（3）將上表面展開與左側面在同一平面內，可得其路程為：s3=然后比較s1、s2、s3的大小，即可得到最短路程.應用：一只蜘蛛在一塊長方體木塊的一個頂點A處，一只蒼蠅在這個長方體和蜘蛛相對的頂點C1處。蜘蛛急于捉住蒼蠅，沿著長方體的表面向上爬，它要從A點爬到C1點，它應沿著怎樣的路線爬行，才能在最短的時間內捉住蒼蠅？

Ⅲ。在圓錐中，求最短路徑問題例6．在某雜技表演中，有一形似圓錐的道具，雜技演員從A點出發(fā)，在其表面繞一周又回到A點，如果繞行所走的路程最短，畫出設計方案圖。解析：將圓錐側面展開，根據(jù)同一平面內的問題可求出最優(yōu)設計方案應用：如圖，一直圓錐的母線長為QA=8，底面圓的半徑r=2，若一只小螞蟻從A點出發(fā)，繞圓錐的側面爬行一周后又回到A點，則螞蟻爬行的最短路線長