基于drcker-prav準(zhǔn)則的巷道圍巖應(yīng)力分析

基于drcker-prav準(zhǔn)則的巷道圍巖應(yīng)力分析

地下道路開挖后，圍巖應(yīng)力重新分布。當(dāng)圍巖局部浮力超過巖石彈性限制時進入塑料薄膜時，應(yīng)進行圍巖彈性分析，以評估道路穩(wěn)定性，并定量設(shè)計道路支架時。工程實踐表明,選擇合理的強度或屈服準(zhǔn)則,使對巷道圍巖的力學(xué)狀態(tài)分析更加準(zhǔn)確且接近實際是至關(guān)重要的。長期以來,巷道圍巖的彈塑性分析都采用MohrCoulomb準(zhǔn)則(簡稱M-C準(zhǔn)則)或Hoek-Brown準(zhǔn)則(簡稱H-B準(zhǔn)則),盡管巷道圍巖的彈塑性分析可簡化為平面應(yīng)變問題來求解,但是實際上圍巖都處于三軸應(yīng)力狀態(tài)。理論和實踐都已證明,中間主應(yīng)力對圍巖的變形與破壞的影響是不可忽略的,巖石的強度不僅與最大和最小主應(yīng)力有關(guān),還與中間主應(yīng)力有密切關(guān)系,即存在所謂的中間主應(yīng)力效應(yīng)。然而,M-C準(zhǔn)則和H-B準(zhǔn)則完全忽略了中間主應(yīng)力對巷道圍巖變形與破壞的影響,導(dǎo)致分析結(jié)果通常與實際情況偏差較大,這對于工程應(yīng)用來說是不利的。翟所業(yè)、陳國祥等應(yīng)用Drucker-Prager準(zhǔn)則(簡稱D-P準(zhǔn)則)對圓形巷道圍巖進行了分析,并與修正的Fenner公式作對比,但只考慮了中間主應(yīng)力為最大和最小主應(yīng)力平均值的情況;侯公羽等采用基于Levy-Mises塑性本構(gòu)關(guān)系的D-P準(zhǔn)則進行求解,同樣沒有反映出不同中間主應(yīng)力對塑性區(qū)的影響。本文在前人研究成果的基礎(chǔ)上,采用D-P屈服準(zhǔn)則對巷道圍巖進行彈塑性分析,首先考慮不同中間主應(yīng)力的影響,在塑性區(qū)大小、位移和應(yīng)力分布上驗證中間主應(yīng)力效應(yīng)的區(qū)間性,其次將D-P準(zhǔn)則下的塑性區(qū)半徑及位移與經(jīng)典的M-C準(zhǔn)則解和統(tǒng)一強度準(zhǔn)則解進行比較,最后采用Flac3D有限差分程序?qū)-P準(zhǔn)則和M-C準(zhǔn)則進行對比分析。1d-p屈服準(zhǔn)則M-C準(zhǔn)則不能反映中間主應(yīng)力對屈服和破壞的影響及單純靜水壓力引起的屈服特性,并且其屈服面在主應(yīng)力空間中是一個帶尖頂?shù)牧忮F面,如果應(yīng)力點位于棱線或錐頂上,將引起數(shù)學(xué)處理上的困難。為了克服上述缺點,1952年Drucker和Prager構(gòu)造了一個內(nèi)切于M-C準(zhǔn)則的六棱錐的圓錐屈服面,屈服曲面光滑沒有棱角,考慮了中間主應(yīng)力和靜水壓力的影響,提出了D-P屈服準(zhǔn)則,其函數(shù)形式為其中,I1,J2分別為應(yīng)力張量第1不變量和應(yīng)力偏張量第2不變量,若設(shè)σ1,σ2,σ3分別為最大主應(yīng)力、中間主應(yīng)力和最小主應(yīng)力(以壓應(yīng)力為正、拉應(yīng)力為負),則I1=σ1+σ2+σ3,J2=[(σ1-σ2)2+(σ2-σ3)2+(σ1-σ3)2]/6;α和k為D-P準(zhǔn)則材料常數(shù)。按照平面應(yīng)變情況下巷道軸向應(yīng)變?yōu)榱愕乃苄宰冃螚l件,α,k與φ,c之間的關(guān)系為式中,φ為圍巖的內(nèi)摩擦角;c為圍巖的內(nèi)聚力。工程中常用中間主應(yīng)力系數(shù)n來反映中間主應(yīng)力σ2與最大主應(yīng)力σ1和最小主應(yīng)力σ3的關(guān)系,其表達式為由于σ1≥σ2≥σ3,分析式(4)可知,n的取值范圍為0≤n≤1。由式(4)得σ2=nσ1+(1-n)σ3,參考文獻的做法,將σ2代入I1,J2中,將其轉(zhuǎn)化為σ1+σ3,σ1-σ3及n的關(guān)系式,可得式中,于是,將式(5)和式(6)代入式(1)中,可得由σ1,σ3,α,k,m和n所表示的D-P屈服準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)表達式2基于d-p標(biāo)準(zhǔn)的道路圍巖彈塑度分析2.1巷道圍巖應(yīng)力的簡化模型作如下假設(shè):(1)巷道圍巖為連續(xù)、均質(zhì)、各向同性的理想彈塑性體,于是當(dāng)巖體達到屈服極限時即發(fā)生破壞;(2)巷道水平布置,斷面為圓形,長度無限大;(3)忽略巷道影響范圍內(nèi)的巖石的自重,于是水平原巖應(yīng)力可簡化為均布力;(4)塑性區(qū)圍巖的體積應(yīng)變εV=0;(5)側(cè)壓系數(shù)λ=1,于是彈、塑性區(qū)均為一等厚圓環(huán)?；谏鲜黾僭O(shè),所要研究的問題就簡化為幾何結(jié)構(gòu)和載荷都軸對稱的平面應(yīng)變厚壁圓筒問題,簡化的力學(xué)模型如圖1所示。在巷道周邊圍巖中,由于巷道斷面上的徑向應(yīng)力σr、切向應(yīng)力σθ和巷道軸向應(yīng)力σz兩兩正交,且一般σθ最大、σr最小,于是可認為3個主應(yīng)力的大小為:σ1=σθ,σ2=σz,σ3=σr?？傻脤ⅵ姚群挺襯代入式(7)中,得到切向應(yīng)力和徑向應(yīng)力表示的D-P屈服準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)表達式,即塑性條件2.2靜力平衡方程根據(jù)彈塑性力學(xué)原理,除了塑性區(qū)內(nèi)的應(yīng)力需要滿足屈服準(zhǔn)則外,其靜力平衡方程保持不變。為便于區(qū)分,將塑性區(qū)應(yīng)力記為σrp,σθp,彈性區(qū)應(yīng)力記為σre,σθe。靜力平衡方程式為式中,r為巷道圍巖任一點至巷道軸線的距離。為便于計算,令則式(9)可改寫成將簡化的塑性條件式(13)代入靜力平衡方程式(10)中,解微分方程,可得式中,C為積分常數(shù),由邊界條件確定。當(dāng)巷道有支護,即r=ra時,σrp=pi,其中,pi為支護阻力,此時由式(14)可得將式(15)代入式(14),再代入式(13)和式(8)中,得有支護時塑性區(qū)應(yīng)力計算公式為將式(11),(12)代入式(16)~(18)中,可得有支護時塑性區(qū)應(yīng)力為2.3彈塑性階段應(yīng)力的計算在彈塑性交界處點的應(yīng)力狀態(tài)既滿足塑性應(yīng)力的條件又滿足彈性應(yīng)力的條件,將塑性區(qū)半徑記為Rp。則有:r=Rp時,σrp=σre,σθp=σθe。當(dāng)λ=1時,由彈性理論可知:σre+σθe=2po,因此在彈塑性交界處,有σrp+σθp=2po,其中po為原巖應(yīng)力。于是由式(16)和式(17)可得經(jīng)整理,得塑性區(qū)半徑Rp的計算公式為將Rp的表達式(23)代入式(16)和式(17)中,經(jīng)整理后可得彈塑性交界處應(yīng)力的計算公式為為隨后的書寫方便起見,將圍巖彈塑性交界處徑向應(yīng)力記為σR。由于已假設(shè)塑性區(qū)圍巖體應(yīng)變εV=0,則認為塑性區(qū)產(chǎn)生位移前與產(chǎn)生位移后體積保持不變,如圖2所示,實線表示位移前塑性區(qū)和彈性區(qū)的內(nèi)邊界,虛線表示位移后塑性區(qū)和彈性區(qū)的內(nèi)邊界。up為塑性區(qū)的位移,ue為彈性區(qū)的位移,Rp為塑性區(qū)半徑,ra為巷道半徑。于是可建立如下方程將式(26)展開,得由于ue和up都很小,略去高階小量后,式(27)可寫為由彈性力學(xué)理論可知,彈性區(qū)的位移ue的計算公式為式中,G為剪切模量,G=E/[2(1+μ)],其中,E為彈性模量,μ為泊松比。將式(29)代入式(28)中,可得將式(23),(24)代入式(30)中,可得到塑性區(qū)的位移即巷道內(nèi)壁的位移計算公式為將式(11)和式(12)分別代入式(23)和式(31)中,可得塑性區(qū)半徑和塑性區(qū)徑向位移分別為2.4彈性區(qū)巖體對彈性區(qū)巖體的支反力將彈性區(qū)看作半徑無窮大的厚壁筒,外界面上作用有原巖應(yīng)力po,內(nèi)界面作用有塑性區(qū)巖體對彈性區(qū)巖體的支反力σR。根據(jù)彈性理論,當(dāng)λ=1時,彈性區(qū)應(yīng)力公式為將式(23),(24)代入式(34),(35)中,可得彈性區(qū)內(nèi)任一點的應(yīng)力計算公式為將式(11),(12)代入式(36),(37)中,可得彈性區(qū)應(yīng)力為3圍巖支護強度計算某水平布置的圓形巷道,其半徑ra=3m,所受原巖應(yīng)力po=25MPa,支護阻力pi=1MPa,圍巖內(nèi)摩擦角φ=30°,內(nèi)聚力c=2MPa,剪切模量G=5GPa,體積模量K=8.3GPa,抗拉強度σt=2MPa。3.1彈塑性切向應(yīng)力的區(qū)域差異引入了中間主應(yīng)力系數(shù)n,考慮了中間主應(yīng)力對屈服的影響,因此,分析不同的n值對塑性區(qū)半徑Rp、塑性區(qū)位移up及圍巖應(yīng)力分布的影響,計算結(jié)果和變化規(guī)律如表1、圖3~5所示。由表1、圖3和圖4可知:當(dāng)n<0.75時,Rp和up均隨著n的增大而減小,減幅較大;當(dāng)n≥0.75時,Rp和up均隨n的增大而增大,增幅較小;Rp和up均在n取其上、下限1和0時有極大值,且在n=0時,Rp和up取最大值,而在0.75附近取得最小值。由圖5可知:當(dāng)n<0.75時,圍巖的徑向應(yīng)力和塑性區(qū)的切向應(yīng)力隨n增大而增大,彈性區(qū)切向應(yīng)力隨n增大而減小;當(dāng)n≥0.75時,圍巖的徑向應(yīng)力和塑性區(qū)切向應(yīng)力隨n增大而減小,彈性區(qū)切向應(yīng)力隨n增大而增大。同時,當(dāng)n=0.75時,彈塑性交界處的切向應(yīng)力最大。研究表明,增加中間主應(yīng)力可以提高巖石的強度,但巖石強度并非隨中間主應(yīng)力的增大而一直增大,當(dāng)中間主應(yīng)力增大到一定程度時,巖石強度又會隨中間主應(yīng)力的增大而減小,這反映了中間主應(yīng)力效應(yīng)的區(qū)間性。由于塑性區(qū)半徑及位移的大小與巖石強度有關(guān),這就反映在中間主應(yīng)力大小對塑性區(qū)半徑及位移的影響上,表1、圖3~5反映了中間主應(yīng)力對巖體屈服的影響,同時驗證了中間主應(yīng)力效應(yīng)的區(qū)間性。3.2考慮圍巖應(yīng)力與支護阻力pi的準(zhǔn)則解為更好的分析文中所求的塑性區(qū)半徑Rp及位移up的D-P準(zhǔn)則解,將其與M-C準(zhǔn)則解和統(tǒng)一強度準(zhǔn)則解進行比較。在平面應(yīng)變條件下,巖體進入塑性狀態(tài)時,文中的中間主應(yīng)力系數(shù)n接近于0.5,同時,根據(jù)文獻,當(dāng)統(tǒng)一強度準(zhǔn)則中的屈服準(zhǔn)則系數(shù)b=0.5時,可得到D-P準(zhǔn)則的線性逼近。因此,為保證對比分析的客觀性和有效性,在本文解中,取n=0.5,在統(tǒng)一強度準(zhǔn)則解中,取b=0.5。用單因素分析法,分別考慮3種不同屈服準(zhǔn)則下圍巖的內(nèi)聚力c、內(nèi)摩擦角φ、原巖應(yīng)力po和支護阻力pi對塑性區(qū)半徑Rp和位移up的影響,分別如圖6~13所示。分析圖6~9可知:3種準(zhǔn)則的Rp和up都隨著內(nèi)聚力c和內(nèi)摩擦角φ的增大而減小,且變化趨勢相似;相比統(tǒng)一強度準(zhǔn)則解,D-P準(zhǔn)則解更接近M-C準(zhǔn)則解;當(dāng)c≥3MPa和φ≥30°時,3種準(zhǔn)則解較為接近;當(dāng)c<3MPa時,3種準(zhǔn)則解相差較大,而隨φ的變化,D-P準(zhǔn)則解與M-C準(zhǔn)則解之間的差異并不明顯。分析圖10和11可知:3種屈服準(zhǔn)則的Rp和up均隨著原巖應(yīng)力po的增大而增大,而D-P準(zhǔn)則解增長率最大,M-C準(zhǔn)則解次之,統(tǒng)一強度準(zhǔn)則解增長率最小;當(dāng)po較小時,3種準(zhǔn)則解較為接近,而隨著po的增大,3種屈服準(zhǔn)則解相差也逐漸增大。分析圖12和13可知:3種屈服準(zhǔn)則的Rp和up均隨著支護阻力pi的增大而減小,變化趨勢相似,相同支護阻力條件下,D-P準(zhǔn)則解最大,統(tǒng)一強度準(zhǔn)則解最小。可見,3種準(zhǔn)則下的Rp和up分別隨c,φ,po和pi的變化趨勢相似,且相比而言,D-P準(zhǔn)則解最大,M-C準(zhǔn)則解次之,統(tǒng)一強度準(zhǔn)則解最小。M-C準(zhǔn)則完全忽略了中間主應(yīng)力對巷道圍巖變形與破壞的影響,統(tǒng)一強度準(zhǔn)則考慮了中間主應(yīng)力的影響,而D-P準(zhǔn)則既考慮了中間主應(yīng)力的影響,還考慮了靜水壓力的影響,算例分析的結(jié)果表明,相比統(tǒng)一強度準(zhǔn)則解而言,D-P準(zhǔn)則解更接近于M-C準(zhǔn)則解,這可能是由于D-P準(zhǔn)則考慮了靜水壓力的影響而造成的。3.3兩種模型仿真結(jié)果對比采用Flac3D有限差分程序進行數(shù)值模擬,模擬巷道長度為30m,巷道周圍巖體寬度上下左右各取18m,共劃分60000個單元,62426個節(jié)點,為研究方便,假設(shè)巷道開挖后不對其支護,材料模型分別采用M-C模型和D-P模型(統(tǒng)一強度準(zhǔn)則暫無法模擬)。兩種模型下的塑性區(qū)分布云圖和垂直位移分布云圖分別如圖14和15所示。分析圖14和15可知,數(shù)值模擬的結(jié)果為:基于D-P模型的塑性區(qū)半徑為6.43m,圍巖垂直位移為19.2mm(由于本文荷載和結(jié)構(gòu)的對稱性,水平位移與垂直位移相同,不再給出),基于M-C模型的塑性區(qū)半徑為5.86m,圍巖垂直位移為16.4mm。理論計算的結(jié)果為:基于D-P準(zhǔn)則的塑性區(qū)半徑為6.57m,位移為19.7mm,基于M-C準(zhǔn)則的塑性區(qū)半徑為6.08m,位移為17.54mm?？梢姅?shù)值模擬的結(jié)果與理論計算的結(jié)果較為吻合,說明了本文理論結(jié)果的正確性,即相同條件下,由于D-P準(zhǔn)則考慮了中間主應(yīng)力和靜水壓力的影響,基于D-P準(zhǔn)則的巷道圍巖彈塑性解較M-C準(zhǔn)則解大。4中間主應(yīng)力的影響(1)應(yīng)用D-P屈服準(zhǔn)則,考慮不同程度的中間主應(yīng)力對屈服的影響,推算出彈塑性區(qū)應(yīng)力、塑性區(qū)半徑及位移的解析解。分析表明,中間主應(yīng)力對巷道圍巖應(yīng)力分布、塑性區(qū)半徑及位移均有較大影響,且中間主應(yīng)力效應(yīng)表現(xiàn)出區(qū)間性,工程應(yīng)用中適當(dāng)?shù)目紤]中間主應(yīng)力將更加符合實際情況。(2)由于考慮了中間主應(yīng)力的影響,D-P準(zhǔn)則下的塑性區(qū)半徑和位移較M-C準(zhǔn)則的大,在較高內(nèi)聚力、較低內(nèi)摩擦角或較