基于drcker-prav準則的巷道圍巖應力分析

基于drcker-prav準則的巷道圍巖應力分析

地下道路開挖后，圍巖應力重新分布。當圍巖局部浮力超過巖石彈性限制時進入塑料薄膜時，應進行圍巖彈性分析，以評估道路穩(wěn)定性，并定量設計道路支架時。工程實踐表明,選擇合理的強度或屈服準則,使對巷道圍巖的力學狀態(tài)分析更加準確且接近實際是至關重要的。長期以來,巷道圍巖的彈塑性分析都采用MohrCoulomb準則(簡稱M-C準則)或Hoek-Brown準則(簡稱H-B準則),盡管巷道圍巖的彈塑性分析可簡化為平面應變問題來求解,但是實際上圍巖都處于三軸應力狀態(tài)。理論和實踐都已證明,中間主應力對圍巖的變形與破壞的影響是不可忽略的,巖石的強度不僅與最大和最小主應力有關,還與中間主應力有密切關系,即存在所謂的中間主應力效應。然而,M-C準則和H-B準則完全忽略了中間主應力對巷道圍巖變形與破壞的影響,導致分析結(jié)果通常與實際情況偏差較大,這對于工程應用來說是不利的。翟所業(yè)、陳國祥等應用Drucker-Prager準則(簡稱D-P準則)對圓形巷道圍巖進行了分析,并與修正的Fenner公式作對比,但只考慮了中間主應力為最大和最小主應力平均值的情況;侯公羽等采用基于Levy-Mises塑性本構(gòu)關系的D-P準則進行求解,同樣沒有反映出不同中間主應力對塑性區(qū)的影響。本文在前人研究成果的基礎上,采用D-P屈服準則對巷道圍巖進行彈塑性分析,首先考慮不同中間主應力的影響,在塑性區(qū)大小、位移和應力分布上驗證中間主應力效應的區(qū)間性,其次將D-P準則下的塑性區(qū)半徑及位移與經(jīng)典的M-C準則解和統(tǒng)一強度準則解進行比較,最后采用Flac3D有限差分程序?qū)-P準則和M-C準則進行對比分析。1d-p屈服準則M-C準則不能反映中間主應力對屈服和破壞的影響及單純靜水壓力引起的屈服特性,并且其屈服面在主應力空間中是一個帶尖頂?shù)牧忮F面,如果應力點位于棱線或錐頂上,將引起數(shù)學處理上的困難。為了克服上述缺點,1952年Drucker和Prager構(gòu)造了一個內(nèi)切于M-C準則的六棱錐的圓錐屈服面,屈服曲面光滑沒有棱角,考慮了中間主應力和靜水壓力的影響,提出了D-P屈服準則,其函數(shù)形式為其中,I1,J2分別為應力張量第1不變量和應力偏張量第2不變量,若設σ1,σ2,σ3分別為最大主應力、中間主應力和最小主應力(以壓應力為正、拉應力為負),則I1=σ1+σ2+σ3,J2=[(σ1-σ2)2+(σ2-σ3)2+(σ1-σ3)2]/6;α和k為D-P準則材料常數(shù)。按照平面應變情況下巷道軸向應變?yōu)榱愕乃苄宰冃螚l件,α,k與φ,c之間的關系為式中,φ為圍巖的內(nèi)摩擦角;c為圍巖的內(nèi)聚力。工程中常用中間主應力系數(shù)n來反映中間主應力σ2與最大主應力σ1和最小主應力σ3的關系,其表達式為由于σ1≥σ2≥σ3,分析式(4)可知,n的取值范圍為0≤n≤1。由式(4)得σ2=nσ1+(1-n)σ3,參考文獻的做法,將σ2代入I1,J2中,將其轉(zhuǎn)化為σ1+σ3,σ1-σ3及n的關系式,可得式中,于是,將式(5)和式(6)代入式(1)中,可得由σ1,σ3,α,k,m和n所表示的D-P屈服準則的數(shù)學表達式2基于d-p標準的道路圍巖彈塑度分析2.1巷道圍巖應力的簡化模型作如下假設:(1)巷道圍巖為連續(xù)、均質(zhì)、各向同性的理想彈塑性體,于是當巖體達到屈服極限時即發(fā)生破壞;(2)巷道水平布置,斷面為圓形,長度無限大;(3)忽略巷道影響范圍內(nèi)的巖石的自重,于是水平原巖應力可簡化為均布力;(4)塑性區(qū)圍巖的體積應變εV=0;(5)側(cè)壓系數(shù)λ=1,于是彈、塑性區(qū)均為一等厚圓環(huán)。基于上述假設,所要研究的問題就簡化為幾何結(jié)構(gòu)和載荷都軸對稱的平面應變厚壁圓筒問題,簡化的力學模型如圖1所示。在巷道周邊圍巖中,由于巷道斷面上的徑向應力σr、切向應力σθ和巷道軸向應力σz兩兩正交,且一般σθ最大、σr最小,于是可認為3個主應力的大小為:σ1=σθ,σ2=σz,σ3=σr?？傻脤ⅵ姚群挺襯代入式(7)中,得到切向應力和徑向應力表示的D-P屈服準則的數(shù)學表達式,即塑性條件2.2靜力平衡方程根據(jù)彈塑性力學原理,除了塑性區(qū)內(nèi)的應力需要滿足屈服準則外,其靜力平衡方程保持不變。為便于區(qū)分,將塑性區(qū)應力記為σrp,σθp,彈性區(qū)應力記為σre,σθe。靜力平衡方程式為式中,r為巷道圍巖任一點至巷道軸線的距離。為便于計算,令則式(9)可改寫成將簡化的塑性條件式(13)代入靜力平衡方程式(10)中,解微分方程,可得式中,C為積分常數(shù),由邊界條件確定。當巷道有支護,即r=ra時,σrp=pi,其中,pi為支護阻力,此時由式(14)可得將式(15)代入式(14),再代入式(13)和式(8)中,得有支護時塑性區(qū)應力計算公式為將式(11),(12)代入式(16)~(18)中,可得有支護時塑性區(qū)應力為2.3彈塑性階段應力的計算在彈塑性交界處點的應力狀態(tài)既滿足塑性應力的條件又滿足彈性應力的條件,將塑性區(qū)半徑記為Rp。則有:r=Rp時,σrp=σre,σθp=σθe。當λ=1時,由彈性理論可知:σre+σθe=2po,因此在彈塑性交界處,有σrp+σθp=2po,其中po為原巖應力。于是由式(16)和式(17)可得經(jīng)整理,得塑性區(qū)半徑Rp的計算公式為將Rp的表達式(23)代入式(16)和式(17)中,經(jīng)整理后可得彈塑性交界處應力的計算公式為為隨后的書寫方便起見,將圍巖彈塑性交界處徑向應力記為σR。由于已假設塑性區(qū)圍巖體應變εV=0,則認為塑性區(qū)產(chǎn)生位移前與產(chǎn)生位移后體積保持不變,如圖2所示,實線表示位移前塑性區(qū)和彈性區(qū)的內(nèi)邊界,虛線表示位移后塑性區(qū)和彈性區(qū)的內(nèi)邊界。up為塑性區(qū)的位移,ue為彈性區(qū)的位移,Rp為塑性區(qū)半徑,ra為巷道半徑。于是可建立如下方程將式(26)展開,得由于ue和up都很小,略去高階小量后,式(27)可寫為由彈性力學理論可知,彈性區(qū)的位移ue的計算公式為式中,G為剪切模量,G=E/[2(1+μ)],其中,E為彈性模量,μ為泊松比。將式(29)代入式(28)中,可得將式(23),(24)代入式(30)中,可得到塑性區(qū)的位移即巷道內(nèi)壁的位移計算公式為將式(11)和式(12)分別代入式(23)和式(31)中,可得塑性區(qū)半徑和塑性區(qū)徑向位移分別為2.4彈性區(qū)巖體對彈性區(qū)巖體的支反力將彈性區(qū)看作半徑無窮大的厚壁筒,外界面上作用有原巖應力po,內(nèi)界面作用有塑性區(qū)巖體對彈性區(qū)巖體的支反力σR。根據(jù)彈性理論,當λ=1時,彈性區(qū)應力公式為將式(23),(24)代入式(34),(35)中,可得彈性區(qū)內(nèi)任一點的應力計算公式為將式(11),(12)代入式(36),(37)中,可得彈性區(qū)應力為3圍巖支護強度計算某水平布置的圓形巷道,其半徑ra=3m,所受原巖應力po=25MPa,支護阻力pi=1MPa,圍巖內(nèi)摩擦角φ=30°,內(nèi)聚力c=2MPa,剪切模量G=5GPa,體積模量K=8.3GPa,抗拉強度σt=2MPa。3.1彈塑性切向應力的區(qū)域差異引入了中間主應力系數(shù)n,考慮了中間主應力對屈服的影響,因此,分析不同的n值對塑性區(qū)半徑Rp、塑性區(qū)位移up及圍巖應力分布的影響,計算結(jié)果和變化規(guī)律如表1、圖3~5所示。由表1、圖3和圖4可知:當n<0.75時,Rp和up均隨著n的增大而減小,減幅較大;當n≥0.75時,Rp和up均隨n的增大而增大,增幅較小;Rp和up均在n取其上、下限1和0時有極大值,且在n=0時,Rp和up取最大值,而在0.75附近取得最小值。由圖5可知:當n<0.75時,圍巖的徑向應力和塑性區(qū)的切向應力隨n增大而增大,彈性區(qū)切向應力隨n增大而減小;當n≥0.75時,圍巖的徑向應力和塑性區(qū)切向應力隨n增大而減小,彈性區(qū)切向應力隨n增大而增大。同時,當n=0.75時,彈塑性交界處的切向應力最大。研究表明,增加中間主應力可以提高巖石的強度,但巖石強度并非隨中間主應力的增大而一直增大,當中間主應力增大到一定程度時,巖石強度又會隨中間主應力的增大而減小,這反映了中間主應力效應的區(qū)間性。由于塑性區(qū)半徑及位移的大小與巖石強度有關,這就反映在中間主應力大小對塑性區(qū)半徑及位移的影響上,表1、圖3~5反映了中間主應力對巖體屈服的影響,同時驗證了中間主應力效應的區(qū)間性。3.2考慮圍巖應力與支護阻力pi的準則解為更好的分析文中所求的塑性區(qū)半徑Rp及位移up的D-P準則解,將其與M-C準則解和統(tǒng)一強度準則解進行比較。在平面應變條件下,巖體進入塑性狀態(tài)時,文中的中間主應力系數(shù)n接近于0.5,同時,根據(jù)文獻,當統(tǒng)一強度準則中的屈服準則系數(shù)b=0.5時,可得到D-P準則的線性逼近。因此,為保證對比分析的客觀性和有效性,在本文解中,取n=0.5,在統(tǒng)一強度準則解中,取b=0.5。用單因素分析法,分別考慮3種不同屈服準則下圍巖的內(nèi)聚力c、內(nèi)摩擦角φ、原巖應力po和支護阻力pi對塑性區(qū)半徑Rp和位移up的影響,分別如圖6~13所示。分析圖6~9可知:3種準則的Rp和up都隨著內(nèi)聚力c和內(nèi)摩擦角φ的增大而減小,且變化趨勢相似;相比統(tǒng)一強度準則解,D-P準則解更接近M-C準則解;當c≥3MPa和φ≥30°時,3種準則解較為接近;當c<3MPa時,3種準則解相差較大,而隨φ的變化,D-P準則解與M-C準則解之間的差異并不明顯。分析圖10和11可知:3種屈服準則的Rp和up均隨著原巖應力po的增大而增大,而D-P準則解增長率最大,M-C準則解次之,統(tǒng)一強度準則解增長率最小;當po較小時,3種準則解較為接近,而隨著po的增大,3種屈服準則解相差也逐漸增大。分析圖12和13可知:3種屈服準則的Rp和up均隨著支護阻力pi的增大而減小,變化趨勢相似,相同支護阻力條件下,D-P準則解最大,統(tǒng)一強度準則解最小?？梢?3種準則下的Rp和up分別隨c,φ,po和pi的變化趨勢相似,且相比而言,D-P準則解最大,M-C準則解次之,統(tǒng)一強度準則解最小。M-C準則完全忽略了中間主應力對巷道圍巖變形與破壞的影響,統(tǒng)一強度準則考慮了中間主應力的影響,而D-P準則既考慮了中間主應力的影響,還考慮了靜水壓力的影響,算例分析的結(jié)果表明,相比統(tǒng)一強度準則解而言,D-P準則解更接近于M-C準則解,這可能是由于D-P準則考慮了靜水壓力的影響而造成的。3.3兩種模型仿真結(jié)果對比采用Flac3D有限差分程序進行數(shù)值模擬,模擬巷道長度為30m,巷道周圍巖體寬度上下左右各取18m,共劃分60000個單元,62426個節(jié)點,為研究方便,假設巷道開挖后不對其支護,材料模型分別采用M-C模型和D-P模型(統(tǒng)一強度準則暫無法模擬)。兩種模型下的塑性區(qū)分布云圖和垂直位移分布云圖分別如圖14和15所示。分析圖14和15可知,數(shù)值模擬的結(jié)果為:基于D-P模型的塑性區(qū)半徑為6.43m,圍巖垂直位移為19.2mm(由于本文荷載和結(jié)構(gòu)的對稱性,水平位移與垂直位移相同,不再給出),基于M-C模型的塑性區(qū)半徑為5.86m,圍巖垂直位移為16.4mm。理論計算的結(jié)果為:基于D-P準則的塑性區(qū)半徑為6.57m,位移為19.7mm,基于M-C準則的塑性區(qū)半徑為6.08m,位移為17.54mm?？梢姅?shù)值模擬的結(jié)果與理論計算的結(jié)果較為吻合,說明了本文理論結(jié)果的正確性,即相同條件下,由于D-P準則考慮了中間主應力和靜水壓力的影響,基于D-P準則的巷道圍巖彈塑性解較M-C準則解大。4中間主應力的影響(1)應用D-P屈服準則,考慮不同程度的中間主應力對屈服的影響,推算出彈塑性區(qū)應力、塑性區(qū)半徑及位移的解析解。分析表明,中間主應力對巷道圍巖應力分布、塑性區(qū)半徑及位移均有較大影響,且中間主應力效應表現(xiàn)出區(qū)間性,工程應用中適當?shù)目紤]中間主應力將更加符合實際情況。(2)由于考慮了中間主應力的影響,D-P準則下的塑性區(qū)半徑和位移較M-C準則的大,在較高內(nèi)聚力、較低內(nèi)摩擦角或較