人教版 切線的判定和性質(zhì)【九大題型】

PAGE1專題24.6切線的判定和性質(zhì)【九大題型】【人教版】【題型1有關(guān)切線的說(shuō)法辨析】 1【題型2判斷或補(bǔ)全使直線為切線的條件】 2【題型3證明某直線是圓的切線（連半徑證垂直）】 3【題型4證明某直線是圓的切線（作垂直證半徑）】 4【題型5利用切線的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度】 6【題型6利用切線的性質(zhì)求角度大小】 7【題型7利用切線的性質(zhì)證明】 8【題型8切線的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用】 9【題型9過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線】 11【知識(shí)點(diǎn)切線的判定】（1）切線判定：①經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線②和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線（定義法）③如果圓心到一條直線的距離等于圓的半徑，那么這條直線是圓的切線（2）切線判定常用的證明方法：①知道直線和圓有公共點(diǎn)時(shí)，連半徑，證垂直；②不知道直線與圓有沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，作垂直，證垂線段等于半徑．【題型1有關(guān)切線的說(shuō)法辨析】【例1】（2023春·山東日照·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)B在⊙A上，點(diǎn)C在⊙A外，以下條件不能判定BC是⊙A切線的是（）A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠AC．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A與AC的交點(diǎn)是AC中點(diǎn)【變式1-1】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列直線中可以判定為圓的切線的是（）A．與圓有公共點(diǎn)的直線 B．經(jīng)過(guò)半徑外端的直線C．垂直于圓的半徑的直線 D．與圓心的距離等于半徑的直線【變式1-2】（2023春·西藏拉薩·九年級(jí)?？计谀┫铝兴膫€(gè)選項(xiàng)中的表述，一定正確的是（

）A．經(jīng)過(guò)半徑上一點(diǎn)且垂直于這條半徑的直線是圓的切線B．經(jīng)過(guò)半徑的端點(diǎn)且垂直于這條半徑的直線是圓的切線C．經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線D．經(jīng)過(guò)一條弦的外端且垂直于這條弦的直線是圓的切線【變式1-3】（2011秋·湖北黃岡·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知AB、AC分別為⊙O的直徑和弦，D為BC的中點(diǎn)，DE垂直于AC的延長(zhǎng)線于E，連接BC，若DE=6cm，CEA．DE是⊙O的切線 B．直徑AB長(zhǎng)為20cmC．弦AC長(zhǎng)為16cm D．C為AD的中點(diǎn)【題型2判斷或補(bǔ)全使直線為切線的條件】【例2】（2023春·北京·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在下圖中，AB是⊙O的直徑，要使得直線AT是⊙O的切線，需要添加的一個(gè)條件是．（寫一個(gè)條件即可）【變式2-1】（2023春·山東德州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，A、B是⊙O上的兩點(diǎn)，AC是過(guò)A點(diǎn)的一條直線，如果∠AOB=120°，那么當(dāng)∠CAB的度數(shù)等于度時(shí)，AC才能成為⊙O的切線．【變式2-2】（2023春·河南信陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑作⊙O交AB于D點(diǎn)，連接CD．（1）求證：∠A=∠BCD；（2）若M為線段BC上一點(diǎn)，試問(wèn)當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時(shí)，直線DM與⊙O相切？并說(shuō)明理由．【題型3證明某直線是圓的切線（連半徑證垂直）】【例3】（2023春·江西宜春·九年級(jí)江西省豐城中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在中，，平分交于點(diǎn)D，O為上一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，D的分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求的半徑．【變式3-1】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，中，，以為直徑的交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．

(1)求證：與相切；(2)若的半徑為3，，求的長(zhǎng)．【變式3-2】（2023春·江西九江·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，為的直徑，C為上一點(diǎn)，P為延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，使得．

(1)求證：是的切線．(2)F為上一點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)E．①求證：；②若，，求的半徑長(zhǎng)．【變式3-3】（2023春·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知半徑為的經(jīng)過(guò)軸上一點(diǎn)，與軸交于、兩點(diǎn)，連接、，平分，．

(1)判斷與軸的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)求的長(zhǎng)．【題型4證明某直線是圓的切線（作垂直證半徑）】【例4】（2023春·山東日照·九年級(jí)日照市新?tīng)I(yíng)中學(xué)校考期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，CB＝CD，連接BD，以點(diǎn)B為圓心，BA長(zhǎng)為半徑作⊙B，交BD于點(diǎn)E．（1）試判斷CD與⊙B的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．（2）若AB＝6，∠BDC＝60°，求圖中陰影部分的面積．【變式4-1】（2023·江西南昌·九年級(jí)期末）如圖，為正方形對(duì)角線上一點(diǎn)，以為圓心，長(zhǎng)為半徑的與相切于點(diǎn).（1）求證：與相切.（2）若正方形的邊長(zhǎng)為1，求半徑的長(zhǎng).【變式4-2】（2023?武漢模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E為AB上的一點(diǎn)，DE＝DC，以D為圓心，DB長(zhǎng)為半徑作⊙D，AB＝5，EB＝3．（1）求證：AC是⊙D的切線；（2）求線段AC的長(zhǎng)．【變式4-3】（2023?椒江區(qū)一模）如圖，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，腰AB與⊙O相切于點(diǎn)D．求證：AC是⊙O的切線．【知識(shí)點(diǎn)2切線的性質(zhì)】（1）切線性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑（2）切線性質(zhì)的推論：①經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)②經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心【題型5利用切線的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度】【例5】（2023春·河南·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，AB為⊙O的直徑，C，E是⊙O上不同于A，B的兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的切線垂直于AE交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接AC．

(1)求證：EC=(2)若AC=43，CE=33，則【變式5-1】（2023春·北京西城·九年級(jí)北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線l，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥l于點(diǎn)D．

(1)求證：BC平分∠ABD；(2)連接OD，若∠ABD=60°，CD=3，求OD【變式5-2】（2023春·廣東韶關(guān)·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)F在⊙O上，且點(diǎn)C是弧BF的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于D點(diǎn)，交AF的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)．(1)求證：AE⊥DE；(2)若∠D=30°，AE=3，求CD的長(zhǎng)．【變式5-3】（2023春·廣東汕頭·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，AD與過(guò)點(diǎn)C的切線垂直，垂足為點(diǎn)D，直線DC與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，G是△ACB的內(nèi)心，連接CG并延長(zhǎng)，交⊙O于E，交AB于點(diǎn)F，連接BE．(1)求證：AC平分∠DAB；(2)連接BG，判斷△EBG的形狀，并說(shuō)明理由；(3)若BC=22，AC=42，求線段【題型6利用切線的性質(zhì)求角度大小】【例6】（2023春·重慶南岸·九年級(jí)重慶市珊瑚初級(jí)中學(xué)校校考期中）如圖，AC是⊙O的直徑，AB，BC是⊙O的弦，CD是⊙O的切線，C為切點(diǎn)，OD與⊙O交于點(diǎn)E．若點(diǎn)C為BE的中點(diǎn)，∠D=32°，則∠ACB的度數(shù)為（

）

A．56° B．58° C．61° D．68°【變式6-1】（2023春·河南信陽(yáng)·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，PO交⊙O于點(diǎn)C，連接BC，PA．若∠P=36°，且PA與⊙O相切，則此時(shí)∠B等于（）A．27° B．32° C．36° D．54°【變式6-2】（2023春·廣東梅州·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖：P是⊙O的直徑CD的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PA是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，∠P=40°，則∠ACP=．【變式6-3】（2023春·江西宜春·九年級(jí)江西省豐城中學(xué)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)A，B在圓O上，且∠AOB＝30°，點(diǎn)P是射線OB上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O重合），連接AP，將△APO沿AP折疊得到△APO'，當(dāng)△APO'的邊所在的直線與圓【題型7利用切線的性質(zhì)證明】【例7】（2023春·河北邢臺(tái)·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，BD是⊙O的直徑，BA是⊙O的弦，過(guò)點(diǎn)A的切線交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，AB=AC．求證：△ACO≌△ABD．

【變式7-1】（2023春·河南駐馬店·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E為線段OB上一點(diǎn)（不與O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于點(diǎn)C，垂足為點(diǎn)E，作直徑CD，過(guò)點(diǎn)C的切線交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，AF⊥PC于點(diǎn)F，連接CB.試證明：(1)CB是∠ECP的角平分線；(2)CF=CE．【變式7-2】（2023春·廣東江門·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，直線l與⊙O相切于點(diǎn)A．(1)試問(wèn)：∠1與∠ACB有怎樣的大小關(guān)系？證明你的結(jié)論；(2)如果我們把形如∠1這樣的角稱為“弦切角”，請(qǐng)你用文字表述你在（1）中得出的結(jié)論．【變式7-3】（2023·安徽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知：如圖，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作⊙O的切線PA、PB，切點(diǎn)為點(diǎn)A、B，連接OA，過(guò)點(diǎn)O作OD∥PA交PB于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DC⊥PA于C.（1）求證：四邊形OACD是矩形；（2）若∠P=45°，⊙O的半徑為r，試證明四邊形OACD的周長(zhǎng)等于【題型8切線的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用】【例8】（2023春·湖北·九年級(jí)期末）AB為⊙O的直徑，PA為⊙O的切線，BC∥OP交⊙O于C，PO交⊙O于D，（1）求證：PC為⊙O的切線；（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，交AC于F，PO交AC于H，BD交AC于G，DF＝FG，DF＝5，CG＝6，求⊙O的半徑．【變式8-1】（2023春·湖北隨州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，E是AB上一點(diǎn)，以CE為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)F，連接DO，且∠DOC＝90°．（1）求證：AB是⊙O的切線；（2）若DF＝2，DC＝6，求BE的長(zhǎng)．【變式8-2】（2023春·河南周口·九年級(jí)淮陽(yáng)第一高級(jí)中學(xué)校考期末）如圖，∠PBC=30°，點(diǎn)O是線段PB的一個(gè)三等分點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑的圓交PB于點(diǎn)A，交BC于點(diǎn)E

(1)求證:PE是⊙O的切線；(2)點(diǎn)D為⊙O上的一動(dòng)點(diǎn)，連接OD.①當(dāng)∠AOD=時(shí)，四邊形BEPD是菱形;②當(dāng)∠AOD=時(shí)，四邊形ADBE是矩形.【變式8-3】（2023春·湖北·九年級(jí)期末）已知AB是⊙O的直徑，AC是弦，∠BAC的角平分線交⊙O于點(diǎn)D，DE⊥AC于E．（1）如圖（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）如圖（1）若AB＝10，AC＝6，求ED的長(zhǎng)；（3）如圖（2）過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線，交AD延長(zhǎng)線于F，若ED＝DF，求EDAD【題型9過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線】【例9】（2023·北京海淀·九年級(jí)期末）已知：點(diǎn)A，B，C在⊙O上，且∠BAC=45°．求作：直線l，使其過(guò)點(diǎn)C，并與⊙O相切．作法：①連接OC；②分別以點(diǎn)B，點(diǎn)C為圓心，OC長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于⊙O外一點(diǎn)D；③作直線CD．直線CD就是所求作直線l．(1)使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明．證明：連接OB，BD，∵OB=OC=BD=CD，∴四邊形OBDC是菱形，∵點(diǎn)A，B，C在⊙O上，且∠BAC=45°，∴∠BOC=______°（_________________）（填推理的依據(jù)）．∴四邊形OBDC是正方形，∴∠OCD=90°，即OC⊥CD，∵OC為⊙O半徑，∴直線CD為⊙O的切線（_________________）（填推理的依據(jù)）．【變式9-1】（2023·天津和平·統(tǒng)考三模）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，圓上的點(diǎn)A在格點(diǎn)上，點(diǎn)B在格點(diǎn)上，圓心在線段AB上，圓與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作圓的切線與網(wǎng)格線交于點(diǎn)P．

（1）AB=；（2）過(guò)點(diǎn)P作圓的切線，切點(diǎn)為M（點(diǎn)M不與點(diǎn)C重合）．請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)M，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)M的位置是如何找到的（不要求證明）．【變式9-2】（2023春·江蘇宿遷·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知：⊙O和⊙O外一點(diǎn)P．(1)如圖甲，PA和PB是⊙O的兩條切線，A、B分別為切點(diǎn)，求證：PA=PB；(2)尺規(guī)作圖：在圖乙中，過(guò)P點(diǎn)作⊙O的兩條切線PE