專題15函數(shù)的零點(diǎn)問題（解析版）

專題15函數(shù)的零點(diǎn)問題【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】1、函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解（1）函數(shù)零點(diǎn)的概念對(duì)于函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn).函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)解，也是函數(shù)的圖象與軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo).所以方程有實(shí)數(shù)解函數(shù)有零點(diǎn)函數(shù)的圖象與軸有公共點(diǎn).（2）函數(shù)零點(diǎn)存在定理如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在，使得，這個(gè)也就是方程的解.2、用二分法求方程的近似解對(duì)于在區(qū)間上圖象連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷地把它的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.給定精確度，用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值的一般步驟如下：（1）確定零點(diǎn)的初始區(qū)間，驗(yàn)證.（2）求區(qū)間的中點(diǎn).（3）計(jì)算，并進(jìn)一步確定零點(diǎn)所在的區(qū)間：=1\*GB3①若（此時(shí)），則就是函數(shù)的零點(diǎn)；=2\*GB3②若（此時(shí)），則令；=3\*GB3③若（此時(shí)），則令.（4）判斷是否達(dá)到精確度：若，則得到零點(diǎn)的近似值（或）；否則重復(fù)步驟（2）~（4）.由函數(shù)零點(diǎn)與相應(yīng)方程解的關(guān)系，我們可以用二分法來求方程的近似解.3、函數(shù)模型的應(yīng)用用函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的基本過程如下：這一過程包括分析和理解實(shí)際問題的增長(zhǎng)情況（是“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”“直線上升”還是“指數(shù)爆炸”）；根據(jù)增長(zhǎng)情況選擇函數(shù)類型構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問題化歸為數(shù)學(xué)問題；通過運(yùn)算、推理、求解函數(shù)模型；用得到的函數(shù)模型描述實(shí)際問題的變化規(guī)律，解決有關(guān)問題.在這一過程中，往往需要利用信息技術(shù)幫助畫圖、運(yùn)算等.【典型例題】例1．（2022·江蘇宿遷·高一期中）我縣黃桃種植戶為了迎合大眾需求，提高銷售量，打算以裝盒售賣的方式銷售．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研，若要提高銷售量，則黃桃的售價(jià)需要相應(yīng)的降低，已知黃桃的種植與包裝成本為24元/盒，且每萬盒黃桃的銷售價(jià)格g(x)（單位：元）與銷售量x（單位：萬盒）之間滿足關(guān)系式g(x)＝．(1)寫出利潤(rùn)F(x)（單位：萬元）關(guān)于銷售量x（單位：萬盒）的關(guān)系式；（利潤(rùn)＝銷售收入﹣成本）(2)當(dāng)銷售量為多少萬盒時(shí)，黃桃種植戶能夠獲得最大利潤(rùn)？此時(shí)最大利潤(rùn)是多少？【解析】（1）由題意得，（2）當(dāng)時(shí)，由二次函數(shù)性質(zhì)得，當(dāng)時(shí)，由基本不等式得，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，綜上，當(dāng)銷售量為15萬盒時(shí)，該村的獲利最大，此時(shí)的最大利潤(rùn)為136萬元例2．（2022·江蘇省洪澤高一期中）某問題的題干如下：“已知定義在R上的函數(shù)滿足：①對(duì)任意，均有；②當(dāng)時(shí)，；③.”某同學(xué)提出一種解題思路，構(gòu)造，使其滿足題干所給條件.請(qǐng)按此同學(xué)的思路，解決以下問題.(1)求的解析式；(2)若方程恰有3個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)椋擘俚?，，所以，故，又由③得，，所以b=3；因此，經(jīng)檢驗(yàn)，，滿足題干所給條件，所以；（2）因?yàn)榉匠糖∮?個(gè)實(shí)數(shù)根，顯然0為其一個(gè)實(shí)數(shù)根，所以方程恰有2個(gè)非0實(shí)數(shù)根，即方程恰有2個(gè)實(shí)數(shù)根，且兩根非，由可得，，又由均不是此方程的根，則，所以，m的取值范圍為.例3．（2022·黑龍江·牡丹江市第二高級(jí)高一期中）已知定義在區(qū)間上的函數(shù)．(1)求函數(shù)的零點(diǎn)；(2)若方程有四個(gè)不等實(shí)根，且，證明．【解析】（1）令，解得，．所以函數(shù)的零點(diǎn)是和.（2）證明：易知對(duì)勾函數(shù)的圖像如下圖所示：則的圖像如下：如圖，要使有四個(gè)根，則，令，當(dāng)，則，由韋達(dá)定理知：；當(dāng)，則，由韋達(dá)定理知：．∴．例4．（2022·江蘇·海安高級(jí)高一期中）設(shè)函數(shù)，（，）.(1)若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a值及相應(yīng)的零點(diǎn)；(2)當(dāng)a＝1時(shí)，若，總，使得成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】（1）函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以方程有且僅有一個(gè)根，當(dāng)時(shí)，，即，滿足題設(shè)；當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)，滿足題設(shè)；綜上，時(shí)，零點(diǎn)為2；，零點(diǎn)為4.（2）因?yàn)閷?duì)任意的，總，使得成立，所以的值域是的值域的子集，可得時(shí)，在上單調(diào)遞增，且，所以的值域?yàn)?當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故，即，所以可得

解得；當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，故，即，所以可得，解得；綜上，m的取值范圍為.例5．（2022·北京市昌平區(qū)第二高一期中）已知函數(shù)．(1)畫出此函數(shù)的圖像；(2)求不等式的解集；(3)若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)?，故其函?shù)圖象如下所示：.（2）當(dāng)時(shí)，令，即，解得，當(dāng)時(shí)，令，即，解得，綜上所述，不等式的解集為：.（3）若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，即的函數(shù)圖象有三個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可知，即可，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為：.例6．（2022·北京·牛欄山高一期中）已知函數(shù).(1)畫出函數(shù)的圖象，并寫出的解析式；(2)設(shè)，（i）求出的零點(diǎn)，并直接寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（ii）若有四個(gè)不同的解，直接寫出的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)?，所以，函?shù)的圖象如下圖所示：（2）（i）因?yàn)?，圖象如下圖所示，令，可得，所以當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，，解得：；的零點(diǎn)為和.如圖所示，在上單調(diào)遞減；在，上單調(diào)遞增.（ii）若有四個(gè)不同的解，即與的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，如下圖所示，所以.的取值范圍為：.【過關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2022·北京高一階段練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，，，在內(nèi)無零點(diǎn)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)從正方向無限趨近于時(shí)，，則；又，在內(nèi)無零點(diǎn)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，且在上連續(xù)，在內(nèi)有零點(diǎn)，C正確；對(duì)于D，，，在內(nèi)無零點(diǎn)，D錯(cuò)誤.故選：C.2．（2022·遼寧·昌圖縣第一高級(jí)高一期中）用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)可以取的初始區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，且單調(diào)遞增，即當(dāng)時(shí)，，所以零點(diǎn)在內(nèi)，故選：A3．（2022·江蘇鹽城·高一期中）已知函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，，其中，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)，，則a，b是的兩個(gè)零點(diǎn)；函數(shù)的圖象可以看成圖象向下平移2個(gè)單位得到，且，，如圖所示：故選：B.4．（2022·吉林·扶余市第一高一期中）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為，則整數(shù)k等于（

）A．2 B．1 C．0 D．-1【答案】A【解析】∵，，在R上為單調(diào)遞增函數(shù)，∴零點(diǎn)所在區(qū)間為，∴．故選：A.5．（2022·遼寧·沈陽市第十一高一期中）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】，或，，，或，時(shí)，不合題意，舍去，滿足題意．因此方程有三個(gè)解，即函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)．故選：B．6．（2022·貴州遵義·高一期中）若函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且的圖象是連續(xù)不斷的，所以，解得．故選：B.7．（2022·上海市浦東復(fù)旦附中分校高一期中）已知函數(shù)，若方程有實(shí)根，則集合的元素個(gè)數(shù)可能是（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【解析】有實(shí)根，，解得：；；設(shè)，則；①當(dāng)時(shí)，，，即，解得：，；②當(dāng)時(shí)，由得：，；，，，又恒成立，，即，共有四個(gè)不等實(shí)根，；綜上所述：集合的元素個(gè)數(shù)可能為或.故選：C.8．（2022·四川·樹德高一階段練習(xí)）函數(shù)，若關(guān)于x的方程有4個(gè)不同的根，則a的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，，即，解得；故要使得方程有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則與的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，如下圖所示：數(shù)形結(jié)合可知，.故選：D.二、多選題9．（2022·湖南省岳陽縣第一高一階段練習(xí)）定義域和值域均為的函數(shù)和的圖象如圖所示，其中，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（

）A．方程有且僅有三個(gè)解 B．方程有且僅有三個(gè)解C．方程有且僅有九個(gè)解 D．方程有且僅有一個(gè)解【答案】AD【解析】對(duì)A：令，數(shù)形結(jié)合可知，或或；令，，，又因?yàn)椋?，?shù)形結(jié)合可知都有一個(gè)根，故方程有且僅有三個(gè)解，A正確；對(duì)B：令，數(shù)形結(jié)合可知，；令，因?yàn)椋瑪?shù)形結(jié)合可知，該方程有一個(gè)根，故方程有且僅有一個(gè)解，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：令，數(shù)形結(jié)合可知，或或；令，由題可知，，數(shù)形結(jié)合可知，各有一個(gè)解，，有三個(gè)解，故方程有且僅有五個(gè)解，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：令，數(shù)形結(jié)合可知，；令，又，數(shù)形結(jié)合可知，該方程有一個(gè)解，故方程有且僅有一個(gè)解，D正確.故選：AD.10．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）某同學(xué)用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，計(jì)算出如下結(jié)果：，，，，．下列說法正確的有（

）A．的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi) B．的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)C．精確到0.1的近似值為1.4 D．精確到0.1的近似值為1.5【答案】BC【解析】易知是增函數(shù)，因?yàn)?，，所以零點(diǎn)在內(nèi)，所以A錯(cuò)誤，B正確，又1.4375和1.375精確到0.1的近似數(shù)都是1.4，所以C正確，D錯(cuò)誤．故選：BC.11．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）如圖所示，某池塘中浮萍蔓延的面積y（單位：）與時(shí)間t（單位：月）滿足函數(shù)關(guān)系，則下列說法正確的是（

）A．B．第5個(gè)月時(shí)，浮萍面積就會(huì)超過C．浮萍的面積從蔓延到需要經(jīng)過1.5個(gè)月D．浮萍每月增加的面積都相等【答案】AB【解析】由題意，函數(shù)圖像滿足的關(guān)系，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，滿足，當(dāng)時(shí)，，滿足，故，選項(xiàng)A正確；當(dāng)時(shí)，，故浮萍蔓延的面積就會(huì)超過，選項(xiàng)B正確；由題意，，所以，，所以，所以增加的時(shí)間為，而，所以，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由題意可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以從第一個(gè)開始，每個(gè)月增加的面積分別為、、、，所以增加的面積不相等，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AB.12．（2022·江蘇·蘇州高一期中）已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則（

）A．關(guān)于x的方程在區(qū)間上的所有實(shí)數(shù)根的和為B．關(guān)于x的方程在區(qū)間上的所有實(shí)數(shù)根的和為C．若函數(shù)與的圖象恰有5個(gè)不同的交點(diǎn)，則或D．若函數(shù)與的圖象恰有5個(gè)不同的交點(diǎn)，則或【答案】AC【解析】定義在R上的奇函數(shù)滿足，所以，所以，即函數(shù)的周期，又函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，所以，又，所以函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，解得，作函數(shù)的大致圖象，如圖，由圖可知方程在區(qū)間上的所有實(shí)數(shù)根的和為，故A正確，B錯(cuò)誤；若函數(shù)與的圖象恰有5個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由圖象可知，直線過點(diǎn)時(shí)，即時(shí)，滿足題意，當(dāng)時(shí)，找出兩個(gè)臨界情況，當(dāng)直線過時(shí)，，有3個(gè)交點(diǎn)當(dāng)直線過時(shí)，有6個(gè)交點(diǎn)，由圖象知，當(dāng)時(shí)，直線與的圖象有5個(gè)交點(diǎn).綜上，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)與的圖象恰有5個(gè)不同的交點(diǎn)，故C正確D錯(cuò)誤.故選：AC三、填空題13．（2022·甘肅·永昌縣第一高級(jí)高一期中）若函數(shù)（且）與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)如圖所示，此時(shí)，只有一個(gè)交點(diǎn)，不成立；當(dāng)時(shí)，函數(shù)如圖所示，此時(shí)，要使兩個(gè)函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則有，即.故答案為：14．（2022·遼寧·大連高一期中）已知函數(shù)在區(qū)間中存在零點(diǎn)，在利用二分法求零點(diǎn)的近似值時(shí)，計(jì)算過程如下表格所示：零點(diǎn)區(qū)間區(qū)間中點(diǎn)重點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值計(jì)算到表格中的最后一步可推斷零點(diǎn)屬于區(qū)間________.【答案】【解析】因?yàn)?，又由表格可知，所以最后一步可推斷零點(diǎn)屬于區(qū)間，故答案為：15．（2022·遼寧鞍山·高一期中）已知，函數(shù)若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】由于在上只有一個(gè)零點(diǎn)4，函數(shù)在上的兩個(gè)零點(diǎn)為1和3，若,此時(shí)在上沒有零點(diǎn)，函數(shù)在上的兩個(gè)零點(diǎn)為1和3，滿足題意，當(dāng)時(shí)，此時(shí)在上有零點(diǎn)4，函數(shù)在上有零點(diǎn)為1和3，不滿足題意，舍去當(dāng)時(shí)，此時(shí)在上有零點(diǎn)4，函數(shù)在上有零點(diǎn)為1，滿足題意，當(dāng)時(shí)，此時(shí)在上有零點(diǎn)4，函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，不滿足題意，舍去，綜上：或，故答案為：16．（2022·河南·濮陽一高高一期中）已知函數(shù)若互不相等的實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍______.【答案】【解析】函數(shù)的圖象如圖所示：設(shè)，因?yàn)椋驗(yàn)榕己瘮?shù)關(guān)于軸對(duì)稱，所以，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以，即.故答案為：四、解答題17．（2022·四川省射洪市太和高一期中）已知函數(shù)，且點(diǎn)在函數(shù)的圖象上.(1)求函數(shù)的解析式，并在圖中的直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象；(2)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以，解得，即，其圖象如圖所示：（2）將化為，因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系中作出直線與函數(shù)的圖象（如圖所示），由圖象，得0<，即的取值范圍是.18．（2022·重慶南開高一期中）黨的二十大報(bào)告提出，積極穩(wěn)妥推進(jìn)碳達(dá)峰碳中和，立足我國能源資源稟賦，堅(jiān)持先立后破，有計(jì)劃分步驟實(shí)施碳達(dá)峰行動(dòng)，深入推進(jìn)能源革命，加強(qiáng)煤炭清潔高效利用，加快規(guī)劃建設(shè)新型能源體系，積極參與應(yīng)對(duì)氣候變化全球治理．在碳達(dá)峰、碳中和背景下，光伏發(fā)電作為我國能源轉(zhuǎn)型的中堅(jiān)力量發(fā)展迅速．在可再生能源發(fā)展政策的支持下，今年前8個(gè)月，我國光伏新增裝機(jī)達(dá)到4447萬千瓦，同比增長(zhǎng)2241萬千瓦．某公司生產(chǎn)光伏發(fā)電機(jī)的全年固定成本為1000萬元，每生產(chǎn)x（單位：百臺(tái)）發(fā)電機(jī)組需增加投入y（單位：萬元），其中，該光伏發(fā)電機(jī)年產(chǎn)量最大為10000臺(tái)．每臺(tái)發(fā)電機(jī)的售價(jià)為16000元，全年內(nèi)生產(chǎn)的發(fā)電機(jī)當(dāng)年能全部售完．(1)將利潤(rùn)P（單位：萬元）表示為年產(chǎn)量x（單位：百臺(tái)）的函數(shù)；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為何值時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少萬元？（總收入＝總成本＋利潤(rùn)）．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即；（2）當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即時(shí)取等號(hào)，∵，∴當(dāng)年產(chǎn)量為3000臺(tái)時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為800萬元．19．（2022·江蘇南通·高一期中）已知函數(shù)，，其中.(1)若的圖象與直線沒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，求實(shí)數(shù)m的值.【解析】（1）由題意在上無解，即在上無解，由，，而，所以，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.（2）當(dāng)時(shí)，則，所以，令，又，故（僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）所以在上的最小值為，又的圖象開口向上，對(duì)稱軸為，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，解得，不滿足，故無解；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，解得，又，故，綜上所述，.20．（2022·上海南匯高一期中）法國數(shù)學(xué)家佛朗索瓦·韋達(dá)，在歐洲被尊稱為“現(xiàn)代數(shù)學(xué)之父”，他最重要的貢獻(xiàn)是對(duì)代數(shù)學(xué)的推進(jìn)，他最早系統(tǒng)地引入代數(shù)符號(hào)，推進(jìn)了方程論的發(fā)展，由于其最早發(fā)現(xiàn)代數(shù)方程的跟與系數(shù)之間的關(guān)系，因此，人們把這個(gè)關(guān)系稱為韋達(dá)定理.韋達(dá)定理有著廣泛的應(yīng)用，是高中階段非常重要的知識(shí)內(nèi)容，為了致敬前輩數(shù)學(xué)家，請(qǐng)同學(xué)們利用韋達(dá)定理完成以下問題.(1)關(guān)于的方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根為2，求另一實(shí)數(shù)根及實(shí)數(shù)的值；(2)關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根、，若，求實(shí)數(shù)的值；(3)已知集合有且僅有3個(gè)元素，這3個(gè)元素恰為直角三角形的三條邊長(zhǎng)，求，的值.【解析】（1）設(shè)另外一個(gè)根為由韋達(dá)定理得，解得