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認(rèn)證類型：個人認(rèn)證

認(rèn)證主體：于**（實名認(rèn)證）

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IP屬地：山東 上傳時間：2023-11-09 格式：DOCX 頁數(shù)：44 大?。?.59MB 積分：12 舉報 版權(quán)申訴

第03講3.2.1單調(diào)性與最大（?。┲嫡n程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解單調(diào)函數(shù)的定義，理解增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)區(qū)間、單調(diào)性的定義．②掌握定義法證明函數(shù)單調(diào)性的步驟．③掌握函數(shù)單調(diào)區(qū)間的寫法.④理解函數(shù)的最大(小)值的概念及其幾何意義.⑤.會借助單調(diào)性求最值.⑥掌握求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握函數(shù)單調(diào)性的證明，會求常用函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，會利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最大與最小值.并能通過函數(shù)的單調(diào)性求待定參數(shù)的值.知識點01：函數(shù)的單調(diào)性1、增函數(shù)與減函數(shù)1.1增函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，區(qū)間，如果，當(dāng)時，都有，那么就稱函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.（如圖：圖象從左到右是上升的）特別地，當(dāng)函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞增時，稱它是增函數(shù)(increasingfunction).1.2減函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，區(qū)間，如果，當(dāng)時，都有，那么就稱函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減.（如圖：圖象從左到右是下降的）特別地，當(dāng)函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞增時，稱它是減函數(shù)(decreasingfunction).2、函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間叫做的單調(diào)區(qū)間．3、常見函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)單調(diào)性一次函數(shù)（）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增當(dāng)時，在上單調(diào)遞減反比例函數(shù)（）當(dāng)時，在和上單調(diào)遞減當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增二次函數(shù)（）對稱軸為當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減知識點02：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明1、定義法：一般用于證明，設(shè)函數(shù)，證明的單調(diào)區(qū)間為①取值：任取，，且；②作差：計算；③變形：對進(jìn)行有利于符號判斷的變形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需討論參數(shù)；④定號：通過變形，判斷或（），如有必要需討論參數(shù)；⑤下結(jié)論：指出函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性2、圖象法一般通過已知條件作出函數(shù)的圖象（或者草圖），利用圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性.3、性質(zhì)法（1）函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性與在給定區(qū)間上的單調(diào)性相反；（2）函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性與的單調(diào)性相同；（3）和的公共定義區(qū)間，有如下結(jié)論；增增增不確定增減不確定增減減減不確定減增不確定減【即學(xué)即練1】（2023春·青海西寧·高二校考開學(xué)考試）已知函數(shù).(1)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明；【答案】(1)函數(shù)在上單調(diào)遞減，理由見詳解【詳解】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞減；理由如下：取，規(guī)定；則因為，所以所以所以函數(shù)在上單調(diào)遞減知識點03：函數(shù)的最大（小）值1、最大值：對于函數(shù)，其定義域為，如果存在實數(shù)滿足：①，都有②，使得那么稱是函數(shù)的最大值；2、最小值：對于函數(shù)，其定義域為，如果存在實數(shù)滿足：①，都有②，使得那么稱是函數(shù)的最小值；知識點四：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性（同增異減）一般地，對于復(fù)合函數(shù)，單調(diào)性如下表示，簡記為“定義域優(yōu)先，同增異減”，即內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)單調(diào)性相同時，復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)單調(diào)性不同時，復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)：：令：和增增增增減減減增減減減增【即學(xué)即練2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）當(dāng)時，則函數(shù)的值域為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】令，因為，所以，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，故，當(dāng)時，即，所以，所以函數(shù)的值域為：.故選：C．題型01定義法判斷或證明函數(shù)單調(diào)性【典例1】（2023·高一課時練習(xí)）下列有關(guān)函數(shù)單調(diào)性的說法，不正確的是（

）A．若為增函數(shù)，為增函數(shù)，則為增函數(shù)B．若為減函數(shù)，為減函數(shù)，則為減函數(shù)C．若為增函數(shù)，為減函數(shù)，則為增函數(shù)D．若為減函數(shù)，為增函數(shù)，則為減函數(shù)【答案】C【詳解】根據(jù)不等量的關(guān)系，兩個相同單調(diào)性的函數(shù)相加單調(diào)性不變，選項A,B正確；選項D:為增函數(shù)，則為減函數(shù)，為減函數(shù)，為減函數(shù)，選項D正確；選選C:若為增函數(shù)，為減函數(shù)，則的增減性不確定.例如為上的增函數(shù)，當(dāng)時，在上為增函數(shù)；當(dāng)時，在上為減函數(shù)，故不能確定的單調(diào)性.故選:C【典例2】（2023秋·廣東·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，且，．(1)求函數(shù)的解析式；(2)根據(jù)定義證明函數(shù)在上單調(diào)遞增．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）由已知，解得，；（2）任取，則，，，，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增.【變式1】（2023秋·高一課時練習(xí)）求證：函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).【答案】證明見解析【詳解】證明：任取，.又，，.∴，則，即.∴在區(qū)間上是增函數(shù).【變式2】（2023春·新疆烏魯木齊·高一新疆師范大學(xué)附屬中學(xué)校考開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)．（1）用定義證明函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)；【答案】（1）見解析；【詳解】（1）任取，因為在上是單調(diào)減函數(shù)【變式3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）求證：函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)．【答案】證明見解析【詳解】設(shè)，且，則,，且，又，,,即，故函數(shù)在區(qū)間是減函數(shù).題型02求函數(shù)單調(diào)區(qū)間【典例1】（2023春·山東濱州·高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由知，函數(shù)為開口向上，對稱軸為的二次函數(shù)，則單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：B.【典例2】（2023秋·山東棗莊·高一棗莊八中?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的減區(qū)間是（

）A． B．C．， D．【答案】C【詳解】由圖象知單調(diào)減區(qū)間為，故選：.【變式1】（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高一校考開學(xué)考試）如圖是函數(shù)的圖象，則函數(shù)的減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則對應(yīng)的函數(shù)圖象為從左到右下降的．由圖象知，函數(shù)的圖象在，上分別是從左到右下降的，則對應(yīng)的減區(qū)間為，，故選：D．題型03復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間【典例1】（2023·高一課時練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】函數(shù)的定義域需要滿足，解得定義域為，因為在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故選：D.【典例2】（2023·海南海口·統(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B．和C． D．和【答案】B【詳解】，則由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，故的單調(diào)遞減區(qū)間是和.故選：B【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.故選：A題型04根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【典例1】（2023秋·四川達(dá)州·高一?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是______【答案】【詳解】二次函數(shù)的圖像開口向上，單調(diào)增區(qū)間為，又函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則，解之得，則實數(shù)的取值范圍是故答案為：【典例2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則整數(shù)的取值可以為（）A． B． C．0 D．1【答案】A【詳解】解：由題意可得，解得，∴整數(shù)a的取值可以為.故選：A【變式1】（2023春·青海西寧·高二校考開學(xué)考試）已知在上是增函數(shù)，則的取值范圍是________．【答案】【詳解】由于在上是增函數(shù)，所以，所以的取值范圍是.故答案為：【變式2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）“”是“函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】的圖象如圖所示，要想函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，必須滿足，因為是的子集，所以“”是“函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A題型05根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式【典例1】（2023秋·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，且，則的取值范圍是（

）A． B．(2，3)C．(1，2) D．(1，3)【答案】A【詳解】∵是定義在R上的增函數(shù)，且，∴，解得，則a的取值范圍為．故選：A．【典例2】（2023春·廣東深圳·高二深圳市高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，且，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，且，則有解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：A．【典例3】（2023秋·云南保山·高一統(tǒng)考期末）已知定義在上的函數(shù),滿足,且當(dāng)時,.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性,并說明理由;(2)若,解不等式.【答案】(1)在上單調(diào)遞增,理由見解析(2)【詳解】（1）解:在上單調(diào)遞增,理由如下:因為定義域為,不妨取任意,且,則,由題意,即,所以在上單調(diào)遞增.（2）因為,令,由可得:,即,由,可得,令,,則,所以不等式,即,即,由(1)可知在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,所以只需,解得,所以不等式的解集為.【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)y＝f(x)在R上單調(diào)遞減，且f(2m－3)>f(－m)，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞) C．(1，＋∞) D．(－∞，1)【答案】D【詳解】因為函數(shù)y＝f(x)在R上單調(diào)遞減，且f(2m－3)>f(－m)，所以，得，所以實數(shù)m的取值范圍是(－∞，1)，故選：D【變式2】（2023·山東棗莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，且，則的取值范圍是______．【答案】【詳解】函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，且，∴，解得．故答案為：題型06根據(jù)單調(diào)性（圖象）求最值或值域【典例1】（多選）（2023秋·云南怒江·高一校考期末）已知函數(shù)的定義域為，其圖象如圖所示，則下列說法中正確的是（）A．的單調(diào)遞減區(qū)間為B．的最大值為C．的最小值為D．的單調(diào)遞增區(qū)間為【答案】ABC【詳解】對于A，由圖象可知：的單調(diào)遞減區(qū)間為，A正確；對于B，當(dāng)時，，B正確；對于C，當(dāng)時，，C正確；對于D，由圖象可知：的單調(diào)遞增區(qū)間為和，但并非嚴(yán)格單調(diào)遞增，不能用“”連接，D錯誤.故選：ABC.【典例2】（2023春·重慶·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．（1）求實數(shù)a，b，并確定函數(shù)的解析式；（2）判斷在（-1，1）上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論；（3）寫出的單調(diào)減區(qū)間，并判斷有無最大值或最小值？如有，寫出最大值或最小值．（本小問不需要說明理由）【答案】（1）（2）見解析（3）單調(diào)減區(qū)間為x=-1時，，當(dāng)x=1時，．【詳解】（1）是奇函數(shù)，．即，，，又，，，（2）任取，且，，，，，，在（-1，1）上是增函數(shù)．（3）單調(diào)減區(qū)間為當(dāng)x=-1時，，當(dāng)x=1時，.【變式1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)對任意的有，且當(dāng)時，.(1)求證是上的減函數(shù)；(2)若，求在上的最大值與最小值.【答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）令，則有，令，則，設(shè)且，則，因為時，所以，所以是上的減函數(shù).（2）由（1）：是上的減函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，又，，所以.【變式2】（2023秋·高一單元測試）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)(1)求實數(shù)的值，判斷函數(shù)在,上的單調(diào)性；(2)求函數(shù)在,上的最大值和最小值．【答案】(1)，單調(diào)遞增(2)最小值，最大值【詳解】（1）若函數(shù)是上的偶函數(shù)，則，即，解得，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減．（2）由（1）知函數(shù)在上單調(diào)遞減，又函數(shù)是上的偶函數(shù)，所以函數(shù)在,上為增函數(shù)，所以函數(shù)在,上為增函數(shù)，在,上為減函數(shù)．又所以題型07根據(jù)函數(shù)的最值（值域）求參數(shù)【典例1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)在時有最大值為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：因為時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“”，所以函數(shù)，解得，，所以．故選：C．【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)，它的最大值為，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意，函數(shù)表示開口向上，且對稱軸為的拋物線，要使得當(dāng)，函數(shù)的最大值為，則滿足且，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選D.【典例3】（2023秋·廣東茂名·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)若存在最小值，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】若時，，；若時，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，故沒有最小值；若時，時，單調(diào)遞減，，當(dāng)時，，若函數(shù)有最小值，需或，解得.故選：B【典例4】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知(1)根據(jù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)(2)若函數(shù)（）的最大值與最小值之差為1，求實數(shù)的值【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）且，則，因為，所以，又因為，所以，因此，所以在是減函數(shù)；（2）由（1）可知，是減函數(shù)，所以時，取得最大值為，時，取得最小值為，因為最大值與最小值之差為1，所以，解得.【變式1】（2023·上海·高三專題練習(xí)）設(shè)若是的最小值，則的取值范圍是.【答案】【詳解】由題意，當(dāng)時，的極小值為，當(dāng)時，極小值為，是的最小值，則.【變式1】（2023秋·江西宜春·高一?？计谀┮阎瘮?shù).(1)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；(2)若在區(qū)間上有最大值3，求實數(shù)的值.【答案】(1)；(2)或.【詳解】（1）的對稱軸，要滿足題意，只需，故實數(shù)的取值范圍為.（2）當(dāng)時，在單調(diào)遞減，則在上的最大值為，令，解得；當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，則在上的最大值為，令，解得或，都不滿足，故舍去；當(dāng)時，在單調(diào)遞增，則在上的最大值為，令，解得；綜上所述，或.題型08二次函數(shù)最值問題（含參）【典例1】（2023·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)的表達(dá)式，若，求函數(shù)的最值．【答案】答案見解析【詳解】解：函數(shù)的圖像的對稱軸為直線．①當(dāng)，即時，，；②當(dāng)，即時，，；③當(dāng)，即時，，；④當(dāng)，即時，，．∴，.【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知二次函數(shù)滿足，且．(1)求的解析式；(2)求函數(shù)在區(qū)間，上的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)，則，因為，所以，故，解得：又所以，所以；（2）由（1）得，圖象開口向上，對稱軸為．當(dāng)時，，所以此時函數(shù)的最大值為；當(dāng)時，，所以此時函數(shù)的最大值為；綜上：．【變式1】（2022秋·寧夏銀川·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)（）的最小值為–1．(1)求實數(shù)a的值；(2)當(dāng)，時，求函數(shù)的最小值．【答案】(1)2(2)答案詳見解析【詳解】（1）∵函數(shù)，∴函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線．∴，解得或（舍）．∴實數(shù)a的值為2．（2）由（1）知函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線．①當(dāng)，即時，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，∴；②當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，∴；③當(dāng)，即時，易知．綜上，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．【變式2】（2022秋·陜西西安·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值【答案】【詳解】，（1）當(dāng)，即時，，（2）當(dāng)，即時，，（3）當(dāng)即時，，【變式3】（2022秋·廣東深圳·高一深圳市高級中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)．(1)若函數(shù)在上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若，求時的最小值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）的開口向上，對稱軸為，由于函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，所以的取值范圍是.（2）當(dāng)時，，開口向上，對稱軸為，所以，當(dāng)時，在時取得最小值，即；當(dāng)，時，在時取得最小值，即；當(dāng)時，在時取得最小值，即.所以.題型09函數(shù)不等式恒成立問題【典例1】（2023秋·廣東肇慶·高一廣東肇慶中學(xué)校考期中）已知.(1)若不等式對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)若，解不等式.【答案】(1)(2)解集見解析【詳解】（1）變形得到對一切實數(shù)x恒成立，當(dāng)時，，不對一切實數(shù)x恒成立，舍去；當(dāng)時，則需，解得，綜上，實數(shù)a的取值范圍是；（2），即，因為，所以，因為，所以當(dāng)時，，解集為，當(dāng)時，，解集為，當(dāng)時，，解集為，綜上：當(dāng)時，的解集為，當(dāng)時，的解集為，當(dāng)時，的解集為.【典例2】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并利用定義證明；(2)若對任意的時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，理由見解析；(2).【詳解】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，理由如下：取，且，，因為，，故，，，所以，所以在上單調(diào)遞減；取，且，，因為，，故，，，所以，所以在上單調(diào)遞增；（2）若對任意的時，恒成立，時，無意義，舍去，當(dāng)時，，此時無解，舍去，所以，只需求出的最大值，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，故，又因為，，故，故，所以，因為，故解得：或?qū)崝?shù)的取值范圍是.【變式1】（2023·高一課時練習(xí)）已知函數(shù).(1)若對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)若對任意的，恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)；(2)或.【詳解】（1）解法一：對任意的，恒成立，即恒成立，即對任意的恒成立.①當(dāng)時，不等式為恒成立，此時；②當(dāng)時，，∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取“=”，∴，綜上，a的取值范圍為；解法二：由題可得對任意成立，所以，對于二次函數(shù)，對稱軸為軸，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，解得；當(dāng)時，則，解得；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，無解，綜上，a的取值范圍為；（2）由題可得，則當(dāng)時，不等式恒成立，則，整理得：，解得：或，∴x的取值范圍為或.題型10函數(shù)不等式有解問題【典例1】（2023·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)(1)解關(guān)于的不等式；(2)已知，當(dāng)時，若對任意的，總存在，使成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見解析；(2)或.【詳解】（1）由題設(shè)，當(dāng)時，，故不等式解集為；當(dāng)時，，故不等式解集為；當(dāng)時，，故不等式解集為；（2）由題設(shè)，在上，要使任意的，總存在，使成立，所以是值域的子集，顯然時不滿足題設(shè)，或，可得或.【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上的最大值為3，最小值為．(1)求的解析式；(2)若，使得，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）的開口向上，對稱軸為，所以在區(qū)間上有：，即，所以.（2）依題意，使得，即，由于，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.所以.【變式1】（2023·高一單元測試）若存在實數(shù)，使得不等式成立，求x的取值范圍．【答案】或【詳解】原不等式可化為.設(shè)，當(dāng)時，恒成立，滿足題意；當(dāng)時，恒成立，不滿足題意；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，要使不等式成立，則應(yīng)有，即有，解得，或；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，要使不等式成立，則應(yīng)有，即有，解得，.綜上所述，x的取值范圍為或.【變式2】（2023·高一課時練習(xí)）已知，其中為常數(shù)．(1)若的解集為或，求的值；(2)使，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：即為，因為的解集為或，所以，方程的實數(shù)根為，所以，根據(jù)韋達(dá)定理得，即所以.（2）解：因為使，所以，，因為時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞增，所以，所以，解得所以，實數(shù)的取值范圍為.題型11重點方法（分類討論）【典例1】（2023·高一課時練習(xí)）定義一種運算，設(shè)（t為常數(shù)），且，則使函數(shù)最大值為4的值是__________．【答案】【詳解】若在上的最大值為4，所以由，解得或，所以要使函數(shù)最大值為4，則根據(jù)新定義，結(jié)合與圖像可知，當(dāng)，時，，此時解得，當(dāng)，時，，此時解得，故或4，故答案為：或4.

【典例2】（2023·全國·高三對口高考）設(shè)的定義域為，對于任意實數(shù)，則的最小值__________．【答案】【詳解】可化為，當(dāng)，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)取最小值，最小值為，當(dāng)，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)取最小值，最小值為，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)取最小值，最小值為，所以，故答案為：.題型12數(shù)學(xué)思想方法（數(shù)形結(jié)合）【典例1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)在時為單調(diào)遞增，即，解得；易知，二次函數(shù)是開口向上且關(guān)于對稱的拋物線，所以為單調(diào)遞增；若滿足函數(shù)在上單調(diào)遞增，則分段端點處的函數(shù)值需滿足，如下圖所示：所以，解得；綜上可得.故選：A【典例2】（2023·全國·高三對口高考）已知函數(shù)，若存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B． C． D．【答案】D【詳解】若存在，使得成立，則說明在上不單調(diào)，當(dāng)時，，圖象如圖，滿足題意；當(dāng)時，函數(shù)的對稱軸，其圖象如圖，滿足題意；當(dāng)時，函數(shù)的對稱軸，其圖象如圖，要使在上不單調(diào)，則只要滿足，解得，即.綜上，.故選：D.3.2.1單調(diào)性與最大（?。┲礎(chǔ)夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在區(qū)間(0，＋∞)上不是增函數(shù)的函數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】A選項在上是增函數(shù)；B選項在是減函數(shù)，在是增函數(shù)；C選項在是減函數(shù)；D選項在是減函數(shù)，在是增函數(shù)；故選C.2．（2023秋·江蘇揚州·高一期末）的圖象大致是（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】由題設(shè)，故上遞減，上遞增，且最小值，根據(jù)各選項圖象知：B符合要求.故選：B3．（2023秋·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，依題意，，所以，即實數(shù)的取值范圍是.故選：D4．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）關(guān)于的不等式的解集為，且不等式恒成立，則實數(shù)t的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由題意知方程的兩根為，，則，即，，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立；設(shè)，則在上單調(diào)遞增，故，又不等式恒成立，即，，故實數(shù)t的取值范圍為故選:D.5．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)若，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：依題意，解得a＝－1，故，可知在上單調(diào)遞增故選：D6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的值域為，則a的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【詳解】由已知得當(dāng)時，，值域為；當(dāng)時，，值域為；∵函數(shù)的值域為，∴，則a的最小值為1.故選：A.7．（2023秋·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)，對于任意的恒成立，則實數(shù)的最小值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【詳解】對于任意的使恒成立，令（），則，即，設(shè)，則，故，即實數(shù)m的最小值是.故選：.8．（2023春·廣東河源·高一龍川縣第一中學(xué)?？计谥校┰O(shè)函數(shù)，若函數(shù)在上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：由題意得：函數(shù)在上是減函數(shù)在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時，當(dāng)時，故，解得，所以的取值范圍為故選：B二、多選題9．（2023春·甘肅武威·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）下列函數(shù)中，在上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【詳解】畫出函數(shù)圖象如圖所示，由圖可得A，D中的函數(shù)在上單調(diào)遞增，B，C中的函數(shù)在上不單調(diào)．故選:AD．10．（2023秋·高一課時練習(xí)）下列函數(shù)中滿足“對任意，∈(0,＋∞)，都有＞0”的是(

)A．＝－ B．＝－3＋1C．＝＋4＋3 D．＝－【答案】ACD【詳解】因為“對任意，∈(0，＋∞)，都有＞0”，所以不妨設(shè)，都有，所以為(0,＋∞)上的增函數(shù).對于A：＝－在(0,＋∞)上為增函數(shù)，故A正確;對于B：＝－3＋1在(0,＋∞)上為減函數(shù)，故B錯誤;對于C：＝＋4＋3對稱軸為=，開口向上，所以在(0,＋∞)上為增函數(shù)，故C正確;對于D：＝－，因為在(0,＋∞)上為增函數(shù)，在(0,＋∞)上為增函數(shù)，所以＝－在(0,＋∞)上為增函數(shù)，故D正確;故選:ACD三、填空題11．（2023·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)是上的嚴(yán)格減函數(shù)，則的取值范圍是______．【答案】【詳解】因為函數(shù)是上的嚴(yán)格減函數(shù)，所以，即.故答案為：.12．（2023春·寧夏吳忠·高二青銅峽市高級中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)的單調(diào)減區(qū)間為__________.【答案】/【詳解】函數(shù)是由函數(shù)和組成的復(fù)合函數(shù)，，解得或，函數(shù)的定義域是或，因為函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，而在上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的“同增異減”，可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．故答案為：.四、解答題13．（2023·高一課時練習(xí)）已知在上的圖像如圖所示.（1）指出的單調(diào)區(qū)間.（2）分別指出在區(qū)間及上的最大、最小值.【答案】（1）和為單調(diào)遞增區(qū)間；、和為單調(diào)遞減區(qū)間，（2）區(qū)間上，最大值為，最小值為；區(qū)間上，最大值為，最小值為.【詳解】（1）如圖，由圖像可以得出：和為單調(diào)遞增區(qū)間；、和為單調(diào)遞減區(qū)間，（2）如圖，由圖像可以得出：當(dāng)時，，；當(dāng)時，，.14．（2023·高一課時練習(xí)）己知函數(shù)為定義在上的減函數(shù)，且，試求實數(shù)m的取值范圍．【答案】【詳解】函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，且，∴，解得．故實數(shù)m的取值范圍為.15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）利用定義證明函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù).【答案】證明見解析【詳解】任取且，則，因為且，可得，所以，即，即，所以函數(shù)是上的減函數(shù).B能力提升1．（2023·全國·高三對口高考）對于任意，函數(shù)的值恒大于零，則x的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．【答案】C【詳解】對任意，函數(shù)的值恒大于零設(shè)，即在上恒成立.在上是關(guān)于的一次函數(shù)或常數(shù)函數(shù)，其圖象為一條線段.則只需線段的兩個端點在軸上方，即，解得或.故選：C.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，滿足對任意的實數(shù)，且，都有，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】對任意的實數(shù)，都有,即成立，可得函數(shù)圖像上任意兩點連線的斜率小于0，說明函數(shù)是減函數(shù)；可得：，解得，故選：C3．（2023·北京·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，存在常數(shù)，使得對任意，都有，當(dāng)時，．若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則t的最小值為（

）A．3 B． C．2 D．【答案】B【詳解】因為存在常數(shù)，使得對任意，都有，所以函數(shù)的周期為，當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以有，故選：B4．（2023春·天津河?xùn)|·高二天津市第七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，且對一切，，滿足，則不等式的解為______．【答案】【詳解】，取，，得到，即，，即，函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，故，解得.故答案為：.5．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，若對任意的，存在，使，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】函數(shù)，當(dāng)時，，則，則，函數(shù)在的值域記為，對任意的，存在，使，則，①當(dāng)時，，則，則；②當(dāng)時，因為，則，則，所以，，解得；③當(dāng)時，因為，則，即，所以，，解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故選：B.C綜合素養(yǎng)1．（多選）（2023秋·廣東肇慶·高一廣東肇慶中學(xué)?？计谥校ǘ噙x）已知連續(xù)函數(shù)滿足：①，則有，②當(dāng)時，，③，則以下說法中正確的是（）A．B．C．在上的最大值是10D．不等式的解集為【答案】ACD【詳解】因為，則有，令，則，則，故A正確；令，則，令