83曲面及其方程

LI/S/0Z0Z燥

喜與口

口

三喜\/男第

三

節(jié)

曲

面

及

其

方

程一

、

曲

面

方

程

的

概

念二

、

旋

轉(zhuǎn)

曲

面三

、

柱

面四

、

二

次

曲

面2020/8/17

2一

、

曲

面

方

程

的

概

念定義：若曲面S與三元方程F(

x,y,z)=0

有如下關(guān)系：(1)S

上任一點的坐標(biāo)都滿足方程F(x,y,z)=0;(2)坐標(biāo)滿足方程F(x,y,z)=

0的點都在S

上；那末，方程F(x,y,z)=0

叫做曲面S的方程，而曲面S叫做方程F(x,y,z)=0

的圖形.曲面S1-1對應(yīng)±F(x,y,z)=

0(三元方程)2020/8/17

3研

究

空

間

曲

面

有兩

個

基

本

問

題：(

1

)

已

知

曲

面

作

為

點

的

軌

跡

時

，

求

曲

面

方

程.(

討

論

旋

轉(zhuǎn)

曲

面

)(

2

)

已

知

曲

面

方

程

，

研

究

曲

面

形

狀

.(

討

論

柱

面

、

二

次

曲

面

)2020/8/17

4球球

心

在

原

點

時

a2-52+2=R表

示

上

(

下

)

球

面

.2020/8/17以下給出幾例常見的曲面.例1

建立球心在點M?(xo,yo,zo)、

半徑為R的球面方程。解

居Z.R.M?根

據(jù)

題

意

有

IMK=R,面

的

標(biāo)

準(zhǔn)

方

程M5此方程表示：

球心為

N8(1—2,半徑為

√

的球面.

說明：如下形式的三元二次方程(A≠0

)

—球面的一般方程都可通過配方研究它的圖形.其圖形可能是一個球面，或點

，或虛軌跡.2020/8/17

6例2.研究方程的

曲

面

.解

：配

方

得表

示

怎

樣例

3解

根

據(jù)

題

意

有

N化

簡

得

所

求

方

程

—平面方程2020/8/17

7實

正

題角

位

自

的

曾

灰

礦解

根

據(jù)

題

意

有

z≥3醫(yī)下合之眉排是復(fù)例4方程

一的圖形是怎樣的?2020/8/17

8圖

形

上

不

封

頂

，

下

封

底

.Z二

、旋

轉(zhuǎn)

曲

面定義一條平面曲線繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸

.旋轉(zhuǎn)曲線稱為該旋轉(zhuǎn)曲面的母線.2020/8/17

9例

如

：旋轉(zhuǎn)軸母

線2020/8/17

10旋

轉(zhuǎn)

曲

面>

具

語

食

計

角

由

備

倍

馨母

線

：fCy,z)=O,x=0,設(shè)①曲z

Z

任

意

意

，y,z),1上建立yoz面上曲線C

繞

z

軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程：2020/8/17

11代

)將yoz坐標(biāo)面上的已知曲線f(y,z)=0繞y軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程為

22020/8/17

12得

方

程

f+x22,-0此即yoz

坐標(biāo)面上的已知曲線

Cf(y,z)=0旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程.當(dāng)曲線

C繞

y

軸旋轉(zhuǎn)時，

方

程

如

何

?繞

z軸代

入將例5

直

線

工

繞

另

一

條

與L

相

交

的

直

線

旋

轉(zhuǎn)

一

周

，

所

得

旋

轉(zhuǎn)

曲

面

叫

圓

錐

面

.

兩

直

線

的

交

點

叫圓錐面的頂點，

兩直線的夾角

叫圓

錐

面

的

半

頂

角

.

試

建

立

頂

點

在

坐

標(biāo)

原

點

，旋

轉(zhuǎn)

軸

為z軸

，

半

頂

角

為

α

的

圓

錐

面

方

程

.解所以圓錐面方程為令

a=cota

兩

邊

平

方Z=aa2+3)—

—

圓錐面的標(biāo)準(zhǔn)方程2020/8/17G3yZ13例6以

曲

線為

母繞

z

軸

旋

轉(zhuǎn)

而

成

的

曲

面

方

程

為2020/8/17

14—

—

旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面線

，即2020/8/17

15—

—

旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面以曲線為母線

：例7即旋轉(zhuǎn)曲面方

程

的

特

點

：有

系

數(shù)

相

等

的

兩

坐

標(biāo)

平

方

和的項.2020/8/17

16例9以曲線曲

面

方

程

為為：母線，繞z

軸旋轉(zhuǎn)而成的一旋轉(zhuǎn)橢球面=1即三

、

柱

面定

義平

行

于

定

直

線

并

沿

定

曲

線

C

移

動

的

直

線

工所形成的曲面稱為柱

面

.這條

定

曲

線C

叫

柱

面

的準(zhǔn)線，動

直

線L

叫

柱

面

的母

線.觀

察

柱

面

的

形成

過

程

：2020/8/17

17柱

面

演

示2020/8/1718注意：

在空間直角坐標(biāo)系，

缺項方程(不完全方程)的圖形是柱面.2020/8/17

19在xoy面上，x2+y2=R2表示以

原點O

為圓心，半徑為R

的圓.曲

面

可

以

看

作

是

由

平

行

于z軸的直線L沿xoy面上的

圓x2+y2=R2

移動而形成，稱該曲面為圓柱面.例如：考慮方程

x2+y2=R2

所表示的曲面.(1)y2=2x表示拋物柱面，母

線

平

行

于z

軸

；準(zhǔn)線為xoy面上的拋物線.(2)

x-y=0

表示母線平行于z

軸的平面.(且z軸在平面上)注意：

描述柱面只須指出其準(zhǔn)線及母線.2020/8/17

20一般地，在空間解析幾何>

柱

面，母線平行于z軸；準(zhǔn)線xoy

面上的曲線Z=F(sy)=是

B

元是主面，母

線

平

行

于x

軸

；準(zhǔn)線yoz

面上的曲線z=G3Z方后

x

B元是柱面，母線平行于y

軸；準(zhǔn)線xoz

面上的曲線3二2020/8/1721指

出

下

列

方

程

在

平

面

解

析

幾

何

中

和

空

間

解

析

幾

何

中

分

別

表

示

什

么

圖

形

?2020/8/17

22思

考

題2x2+2-4(x=3方程平

面

解

析

幾

何

中空

間

解

析

幾

何

中xC2一

橋

寧

牽

的

能個方的o子圓忙在(Q0),平

的斜率為1的直線碎

于

文

車

書

可2020/8/17

23思

考

題

解

答四

、

二

次

曲

面二

次

曲

面

的

定

義

：三

元

二

次

方

程

所

表

示

的

曲

面

稱

之

.相

應(yīng)

地

平

面

被

稱

為一

次

曲

面.討

論

二

次

曲

面

性

狀

的截

痕

法：用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，

考察其交線(即截痕)的形狀，然后加以綜合，從而

了

解

曲

面

的

全

貌

.以下用截痕法討論幾種常見的二次曲面.2020/8/17

241°

用

坐

標(biāo)

面z=0,x=0

和y=0

去截割，分別得橢圓2020/8/17

25(1)

橢

球

面當(dāng)

lkl≤c

時

，lk

l越

大

，

橢

圓

越

小

；當(dāng)

lk|=c

時

，

橢

圓

退

縮

成

點

.2020/8/172°

用平面z=k去截割(要求

lkl≤c),得橢圓(1)

橢

球

面26

球

面球面方程可寫為

a2-b22

橢

球

面

的

幾

種

特

殊

情

況

：

V

乙

:1旋

轉(zhuǎn)

橢

球

面2020/8/17

27(

2

)

橢

圓

拋

物

面2020/8/17

282020/8/17

29(2)橢圓拋物面—

—

旋轉(zhuǎn)拋物面

.特

殊

情

況

：(3)橢圓錐面特

殊

情

況

：—

圓

錐

面

.2020/8/17302特

殊

情

況

：

—

圓

錐

面

.若

方

程

為2020/8/17

31(3)橢圓錐面則圖形如右圖ZWX7

—22N—-(

5

)

雙

葉

雙

曲

面(

4

)

單

葉

雙

曲

面2020/8/1732拋

物

線x?兩

條

相

交

直

線雙

曲

線y(z=0)(6)

雙

曲

拋

物

面

(

馬

鞍

面

)2020/8/17