力與運動靜態(tài)平衡問題講義

靜態(tài)平衡問題編審教師：高級教師白英彬本專題主要講解一個物體或者多個物體的靜態(tài)平衡問題，解答此問題的三種常用方法是：合成法與分解法、正交分解法、力的三角形法；對于多個物體的平衡問題可以靈活選擇整體法和隔離法。高考中側(cè)重對學(xué)生物理基礎(chǔ)知識進行考查，同時對利用三角函數(shù)、解直角三角形、正弦定理等數(shù)學(xué)知識解決物理問題能力的要求較高。單個物體的平衡問題（2022.云南省.歷年真題）如圖所示，學(xué)校門口水平地面上有一質(zhì)量為m的石墩，石墩與水平地面間的動摩擦因數(shù)為μ，工作人員用輕繩按圖示方式勻速移動石墩時，兩平行輕繩與水平面間的夾角均為θ，則下列說法正確的是（）A．輕繩的合拉力大小為B．輕繩的合拉力大小為C．減小夾角θ，輕繩的合拉力一定減小D．輕繩的合拉力最小時，地面對石墩的摩擦力也最小關(guān)鍵信息：勻速移動→受力平衡求解繩子拉力、地面對石墩的摩擦力→選石墩為研究對象解題思路：石墩受五個力的作用處于平衡狀態(tài)，多力平衡問題通常采用正交分解，再列平衡方程進行解答。也可以把支持力和摩擦力合成一個力，轉(zhuǎn)化為三力平衡問題，作圖求解。AB．設(shè)輕繩的合拉力大小為T，對石墩受力分析：由平衡條件，在水平方向上有：豎直方向上有：根據(jù)滑動摩擦力公式得：聯(lián)立解得：，故A錯誤，B正確；C．拉力的大小為：其中，可知當(dāng)時，拉力有最小值，即減小夾角θ，輕繩的合拉力不一定減小，故C錯誤；D．摩擦力大小為：可知增大夾角θ，摩擦力一直減小，當(dāng)趨近于90°時，摩擦力最小，故輕繩的合拉力最小時，地面對石墩的摩擦力不是最小，故D錯誤；將支持力和摩擦力合成一個力F，則，則當(dāng)力F最小時，支持力N也最小，根據(jù)可知此時摩檫力也是最小的。由圖可知，T、F不會同時最小，即輕繩的合拉力T與合力F不會同時最小，故輕繩的合拉力和摩擦力不會同時最小。故選：B。（2022.廣東深圳.模擬）如圖所示，兩輕質(zhì)肩帶將裙子對稱地懸掛在三角形衣架上晾曬。兩肩帶傾斜，A處與衣架臂的夾角θ＞90°，則（）A．衣架對裙子的作用力大于裙子的重力B．每根肩帶的拉力均等于裙子重力的一半C．A處肩帶所受的靜摩擦力小于肩帶的拉力D．A處肩帶所受支持力等于肩帶的拉力大小A．由于裙子處于靜止?fàn)顟B(tài)，可知衣架對裙子的作用力大小等于裙子的重力，A錯誤。B．肩帶傾斜，即拉力的方向不是豎直向上，根據(jù)力的合成與分解可知每根肩帶的拉力均大于裙子重力的一半，B錯誤。CD．對A處的肩帶受力分析，如圖所示，將肩帶的拉力分解為沿衣架左臂方向的F1和垂直衣架左臂方向的F2，則F1＝F摩、F2＝F支，故肩帶所受的支持力和靜摩擦力都小于肩帶的拉力，C正確，D錯誤．故選C。處理單個物體的平衡問題時，首先要對物體進行受力分析，當(dāng)物體受三個力的作用時一般用合成法或矢量三角形法，當(dāng)物體受到四個或四個以上共點力的作用而平衡時可以用正交分解法，也可以將多力問題轉(zhuǎn)化為三力問題借助矢量三角形求解。最小力問題常用數(shù)學(xué)函數(shù)求解或者矢量三角形中尋找垂直關(guān)系。多個物體的平衡問題（2022.湖南株洲.月考）我國的石橋世界聞名，如圖，某橋由六塊形狀完全相同的石塊組成，其中石塊1、6固定，2、5質(zhì)量相同為m，3、4質(zhì)量相同為m′，不計石塊間的摩擦，則m∶m′為（）A． B． C．1 D．2關(guān)鍵信息：形狀完全相同→接觸面的傾角（隱含條件，易錯）石塊1、6固定→研究對象不選擇1、62、5質(zhì)量相同為m，3、4質(zhì)量相同為m′→對稱性解題思路：將2、3、4、5作為研究對象，不論對哪一個石塊分析，兩個質(zhì)量（重力）之間的關(guān)系都是通過相互作用力建立聯(lián)系的。34兩個石塊整體對應(yīng)的圓心角為60°，則2對34整體的作用力與5對34整體的作用力大小相等，兩力夾角為120°，如圖1可得F23＝2m'g①；同理2345四塊石塊整體對應(yīng)的圓心角為120°，則1對2345整體的作用力與6對2345整體的作用力大小相等，兩力夾角為60°，如圖2可得②；對2受力分析如圖3，水平方向：F12cos60°＝F23cos30°③聯(lián)立①②③解得：m：m′＝2。故D正確，ABC錯誤。選取研究對象的原則：（1）對研究對象列出的方程中必須有相同的物理量（2）選出的對象盡可能使將來列方程簡單、方程形式也相似（3）從數(shù)學(xué)角度看，解直角三角形比較簡單（4）盡可能列比較少的方程（一般兩個）隔離石塊3受力分析，由圖4可得：F43＝m′gtan60°以23整體為研究對象受力分析，由圖5可得：F43＝(m＋m′)gtan30°所以3m′＝m＋m′，即m∶m′＝2故選：D。（2022.浙江寧波.模擬）掛燈籠的習(xí)俗起源于2100多年前的西漢時期，已成為喜慶的象征。如圖所示，由五根等長的輕質(zhì)細(xì)繩懸掛起四個質(zhì)量相等的燈籠，從左向右依次記為甲、乙、丙、丁，它們處于靜止?fàn)顟B(tài)，中間的細(xì)繩是水平的，另外四根細(xì)繩與水平面所成的角為θ1和θ2（如圖）。關(guān)于θ1和θ2，下列關(guān)系式正確的是（）A．θ1＝θ2 B．θ1＝2θ2 C．sinθ1＝2sinθ2 D．tanθ1＝2tanθ2以甲、乙兩燈籠整體為研究對象，受力分析如圖：設(shè)水平方向細(xì)繩的拉力為T，則有tanθ1＝，以乙燈籠為研究對象，則有tanθ2＝，聯(lián)立解得tanθ1＝2tanθ2，選項D正確．多個物體的平衡問題，一般優(yōu)先考慮整體法，再考慮隔離法，但選擇2個物體或者選擇3個物體、4個物體進行分析都可以稱為整體法，為了選取合適的研究對象，既要考慮物體的對稱性和受力特點，又要考慮待求量和關(guān)聯(lián)量，盡量不出現(xiàn)無關(guān)量或新的未知量。整體法和隔離法不是獨立的，對一些較復(fù)雜的問題，通常需要多次選取研究對象，交替使用整體法和隔離法。非共面力的平衡問題（2022.西安.二模）如圖所示，ABCD為傾角為30°的正方形斜面，其中AB與底邊DC平行、BC與AD平行。斜面上一質(zhì)量為1kg的物塊，在斜面內(nèi)施加平行于AB向左的拉力F，物塊恰好沿斜面對角線BD勻速下滑。下列敘述正確的（g＝10m/s2）（）A．物塊受到摩擦力的方向平行于AD沿斜面向上B．水平向左的外力大小等于NC．滑動摩擦力的大小等于5ND．物塊與斜面間的動摩擦因數(shù)為關(guān)鍵信息：ABCD為正方形斜面→∠BDC＝45°物塊沿對角線BD勻速下滑→①受力平衡②摩擦力方向平行于斜面沿DB向上解題思路：對物體進行受力分析：重力、彈力、拉力、摩擦力；發(fā)現(xiàn)重力、彈力、摩擦力和拉力不在同一平面上，如圖所示：對于此類問題，我們將非相互垂直的力進行正交分解，利用物體在每個面上受力都應(yīng)該平衡的條件解決問題。A、滑動摩擦力方向與相對運動方向相反，所以物塊受到摩擦力的方向平行于斜面沿DB向上，故A錯誤。B、將重力分解在沿ABCD斜面方向與垂直于ABCD斜面方向，物塊在ABCD平面內(nèi)受力如圖：其中，則，故B錯誤。C、滑動摩擦力大小，故C錯誤。D、物塊與斜面間的動摩擦因數(shù)，故D正確。故選：D。（2021.山東青州.期末）如圖所示，“V”形槽兩側(cè)面的夾角為60°，槽的兩側(cè)面與水平面的夾角相同。質(zhì)量為m的圓柱形工件放在“V”形槽中，當(dāng)槽的棱與水平面的夾角為37°時，工件恰好能勻速下滑，重力加速度為g，sin37°＝0.6，則（）A．工件對槽每個側(cè)面的壓力均為mg B．工件對槽每個側(cè)面的壓力均為C．工件與槽間的動摩擦因數(shù)為 D．工件與槽間的動摩擦因數(shù)為AB、工件的重力可以分解為沿棱方向向下的分力mgsin37°與垂直于棱方向的分力mgcos37°，如圖1所示；進一步將垂直于棱方向的分力分解為兩個擠壓斜面的壓力，如圖2所示；由幾何關(guān)系可知2Ncos60°＝mgcos37°，解得：N＝0.8mgmg，故AB錯誤；CD、此時沿棱方向的分力mgsin37°與圓柱體和槽之間的摩擦力大小相等，有Ff＝2μN＝mgsin37°解得：