專題7三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（學(xué)生版）

專題7三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)本專題在高考中是必考內(nèi)容，也是重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容本專題在高考中是必考內(nèi)容，也是重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容，主要考查三角函數(shù)圖象的變換與三角函數(shù)的性質(zhì)及三角函數(shù)最值與值域問題，平面向量與三角函數(shù)相結(jié)合問題。通過本專題的復(fù)習(xí)要注意三角函數(shù)中各種參數(shù)的意義，參數(shù)變化對函數(shù)圖象的影響。要充分利用化歸與整合的思想解決已知函數(shù)的性質(zhì)及圖像相關(guān)問題。要注意平面向量與三角函數(shù)常見的各種結(jié)合形式。專題四個(gè)探究（三角函數(shù)圖像、性質(zhì)、最值與范圍、平面向量與三角函數(shù)）層次分明、重點(diǎn)突出、將三角函數(shù)圖像與性質(zhì)在高考中的核心考點(diǎn)呈現(xiàn)，有利于抓住主要考向?！笠币恢懈呒壗處熽惪〗芴骄?：三角函數(shù)的圖象【典例剖析】例1.(2020·新高考1卷·多選)如圖是函數(shù)y=sinωx+φ的部分圖象，則A.sin?(x+π3)

B.sin?(π選題意圖:選題意圖:高考真題，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)，三角函數(shù)的圖象是解決三角問題的重要工具，本題主要考查圖象的變換由部分圖象求三角函數(shù)解析式，要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合“五點(diǎn)法”求解，考查直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng).思維引導(dǎo)：首先用圖象上兩點(diǎn)間的距離求出函數(shù)的周期，從而得到ω，然后利用五點(diǎn)作圖法求得φ，即可得出函數(shù)圖象的解析式，可根據(jù)誘導(dǎo)公式判斷C、D練11(2022·湖北省荊州市聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)f(x1)=f(xA.-34B.-74

C.練12(2021·全國甲卷理科)已知函數(shù)f(x)=2cos(ωx+φ)的部分圖象，如圖所示，則滿足條件(f(x)-f(-7π4))(f(x)-f(4π3))>0【規(guī)律方法】對形如f(x)=Asin準(zhǔn)確識別和利用題干中函數(shù)圖像的信息（如周期、振幅、最值、特征點(diǎn)等），列出方程（組）或不等式（組），常規(guī)方法有：（1）由振幅或最值，可確定A和（2）由周期的值或取值范圍，可確定ω的值或取值范圍.（3）由特征點(diǎn)確定φ的取值.2.充分挖掘題干中所給的函數(shù)性質(zhì)（如周期、單調(diào)性、最值、奇偶性、對稱性等），列出方程（組）或不等式（組）.特別地，正弦型函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ兩個(gè)相鄰最低（高）點(diǎn)的距離，即為T;兩個(gè)相鄰對稱軸的距離，即為T2兩個(gè)相鄰對稱中心的距離，即為T2相鄰對稱中心與對稱軸的距離，即為T4探究2：三角函數(shù)的性質(zhì)【典例剖析】例2.(2022·新高考2卷·多選)已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2π3A.f(x)在(0,5π12)單調(diào)遞減

B.f(x)在(-π12,11π12)有兩個(gè)極值點(diǎn)

C.直線x=選題意圖選題意圖：高考真題，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)每年必考，難度中等偏易，考查的熱點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性、對稱性、周期性，及極值與最值.考查直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng).思維引導(dǎo)：首先由三角函數(shù)的對稱性求出φ.直接根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷A選項(xiàng);根據(jù)極值的性質(zhì)判斷B選項(xiàng);根據(jù)正弦函數(shù)的對稱軸判斷C選項(xiàng);利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D選項(xiàng).【變式訓(xùn)練】練21(2022·湖北省武漢市聯(lián)考)函數(shù)f(x)=2cos2x-sin2x+1在0,練22(2022·新高考1卷)記函數(shù)f(x)=sin(ωx+π4)+b(ω>0)的最小正周期為T.若2π3<T<π，且y=f(x)A.1 B.32 C.52 練23(2020·全國新課標(biāo)Ⅲ理科)關(guān)于函數(shù)f(x)=sinx+①f(x)的②f(x③f(x)的④f(x其中所有真命題的序號是

．練24(2022·廣東省聯(lián)考·多選)已知函數(shù)f(x)=sin(4x+π3A.f(x)的最大值為2

B.f(x)在[-π8,π12]上單調(diào)遞增

C.f(x)在[0,π]上有4個(gè)零點(diǎn)

D.把【規(guī)律方法】1.研究三角函數(shù)的性質(zhì)（如周期性、單調(diào)性、最值、奇偶性、對稱性等）的前提是用公式把已給函數(shù)化成同一個(gè)角同一種類型的三角函數(shù)形式（簡稱：同角同函）y=Asin(ω（1）用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式或誘導(dǎo)公式將已給函數(shù)化成同名三角函數(shù)；（2）用倍角公式（升冪或降冪）將已給函數(shù)化成同角；（3）用兩角和、差公式或輔助角公式asinωx+b2.二次函數(shù)型：y=asin2x+bsin若將已給函數(shù)化簡為更高次的函數(shù)，如y=(1+sinx)cos2x=(1+sinx)(1-sin2x探究3：三角函數(shù)中的最值與范圍問題【典例剖析】例3.(2022·全國甲卷文科)將函數(shù)f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)的圖像向左平移π2個(gè)單位長度后得到曲線C，若C關(guān)于y軸對稱，則A.16 B.14 C.1選題意圖選題意圖：高考真題，本題以三角函數(shù)圖象問題為背景，考查了圖象的平移，對稱等知識點(diǎn)以及轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，要求學(xué)生能夠整體把握問題的本質(zhì)，深刻理解數(shù)學(xué)的基本概念和基本思想方法.思維引導(dǎo)：由函數(shù)圖象平移變換規(guī)律得到g(x)，再由正弦函數(shù)關(guān)于y軸對稱得到ω【變式訓(xùn)練】練31(2022·河北省名校聯(lián)考)設(shè)ω>0,若函數(shù)f(x)=2cos(ωx-π2)在[-π4,π2A.(0,12] B.(1,3練32(2022·遼寧省沈陽市聯(lián)考)函數(shù)f(x)=2cosx-cos2x的最大值為

．練33(2022·全國乙卷文科)函數(shù)f(x)=cosx+(x+1)sinx+1在區(qū)間[0,2π]的最小值，最大值分別為A.-π2，π2 B.-3π2，π2 C.-π練34(2022·湖北省武漢市聯(lián)考)已知函數(shù)fx=2sinx+sin2x，則f【規(guī)律方法】三角函數(shù)中的范圍與最值問題是高考中的一個(gè)難點(diǎn)，題型千變?nèi)f化，解法靈活多樣.求解三角函數(shù)的最值范圍時(shí)一定要注意自變量的取值范圍，要把這兩個(gè)最值點(diǎn)弄清楚，求解最值與范圍問題一般有以下四種方法：1.有界性：正弦函數(shù)與余弦函數(shù)具有相同的值域,這兩個(gè)函數(shù)的有界性是求解三角函數(shù)最值或參數(shù)取值范圍的最基本方法.2.輔助角法：當(dāng)三角函數(shù)式比較復(fù)雜時(shí),我們可以利用公式進(jìn)行化簡,先化成f(x)=asinωx+bcosωx+c的形式,3.換元法：當(dāng)題目的已知條件中sinx±cos(sinx±cosx)4.導(dǎo)數(shù)法：導(dǎo)數(shù)是求解函數(shù)最值問題的“神器”.當(dāng)三角函數(shù)的函數(shù)名與角無法“統(tǒng)一”時(shí)，導(dǎo)數(shù)法最有效.探究4：平面向量與三角函數(shù)【典例剖析】例4.(2022·湖北省武漢市聯(lián)考)已知向量m=(sinx,1),n=3cosx,-12.設(shè)函數(shù)f(x)=(m+n)?m．

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；

(2)在ΔABC中，角A，B，C的對邊分別為a、b、選題意圖選題意圖：武漢市聯(lián)考題,本題以三角函數(shù)為背景，考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，正弦定理，三角形的面積公式，利用基本不等式求最值，綜合性較強(qiáng)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理的核心素養(yǎng).思維引導(dǎo)：（1）首先根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和三角恒等變換化簡得到f(x)，從而求出f(（2）法一：首先由正弦函數(shù)的最值求C，根據(jù)正弦定理用sinA,sinB表示3a+b，最后利用基本不等式求最值.法二：首先由正弦函數(shù)的最值求C，利用等面積法和面積公式得到a,b之間的關(guān)系式，設(shè)a-【變式訓(xùn)練】練41(2022·江蘇省無錫市模擬)已知函數(shù)g(x)=3sin(ωx+φ)，g(x)圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的12，得到f(x)的圖象，f(x)的部分圖象如圖所示，若AB?BC=|A.π12 B.π6 C.π練42(2022·江蘇省百校大聯(lián)考)已知向量a=(12,sinx)，b=(cosx,32)，函數(shù)f(x)=a?b．

(1)若f(α)=35，且π2<α<π，求f(α-π6)的值；

(2)將y=f(x)圖象【規(guī)律方法】1.三角函數(shù)平移與向量平移的綜合三角函數(shù)與平面向量中都涉及到平移問題，雖然平移在兩個(gè)知識系統(tǒng)中講法不盡相同，但它們實(shí)質(zhì)是一樣的，它們都統(tǒng)一于同一坐標(biāo)系的變化前后的兩個(gè)圖象中.解答平移問題主要注意兩個(gè)方面的確定：(1)平移的方向；(2)平移的大小.這兩個(gè)方面就是體現(xiàn)為在平移過程中對應(yīng)的向量坐標(biāo).2.三角函數(shù)與平面向量平行(共線)的綜合此題型的解答一般是從向量平行(共線)條件入手，將向量問題轉(zhuǎn)化為三角問題，然后再利用三角函數(shù)的相關(guān)知識再對三角式進(jìn)行化簡，或結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行求解.3.三角函數(shù)與平面向量垂直的綜合此題型在高考中是一個(gè)熱點(diǎn)問題,解答時(shí)與題型二的解法差不多,也是首先利用向量垂直的充要條件將向量問題轉(zhuǎn)化為三角問題，再利用三角函數(shù)的相關(guān)知識進(jìn)行求解.此類題型解答主要體現(xiàn)