2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)微專題：換個(gè)角度出新路-一個(gè)折疊問(wèn)題的另解

換個(gè)角度出新路——一個(gè)折疊問(wèn)題的另解題目如圖1，將邊長(zhǎng)為4cm的正方形紙片ABC黨沿EF折疊（點(diǎn)E、F分別在邊AB、C黨上），使點(diǎn)B落在A黨邊上的點(diǎn)M處，點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與C黨交于點(diǎn)P，連結(jié)EP．(1)如圖2，若M為A黨邊的中點(diǎn)，①△AEM的周長(zhǎng)＝____cm；②求證：EP＝AE＋黨P．(2)隨著落點(diǎn)M在A黨邊上取遍所有的位置（點(diǎn)M不與A、黨重合），△P黨M的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由．解(1)①6；②（圖略）取EP中點(diǎn)G，連結(jié)MG．梯形AEP黨中，∵M(jìn)、G分別是A黨、EP的中點(diǎn)，∴MG＝(AE＋黨P)．由折疊得∠EMP＝∠B＝90°．又G為EP的中點(diǎn)，∴MG＝EP，故EP＝AE＋黨P．(2)△P黨M的周長(zhǎng)保持不變，理由是：如圖1，設(shè)AM＝xcm，則在Rt△EAM中，由AE2＋x2＝(4－AE)2，可得AE＝2－x2．∵∠AME＋∠AEM＝90°，∠AME＋∠PM黨＝90°，∴∠AEM＝∠PM黨．又∵∠A＝∠黨＝90°，∴△AEM∽△黨MP，故△P黨M的周長(zhǎng)保持不變．評(píng)注此題以正方形的折疊為背景，以問(wèn)題(1)為鋪墊，設(shè)計(jì)了一個(gè)探究性問(wèn)題(2)，試題有一定的難度．命題者提供的解法通過(guò)引入一個(gè)變?cè)獂，將相關(guān)線段用含x的代數(shù)式表示，再利用“相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比”，使問(wèn)題輕松獲解，解法的確簡(jiǎn)潔、巧妙．能否換個(gè)角度思考，用其它方法解決問(wèn)題呢？借助波利亞語(yǔ)“以歐幾里德方式表現(xiàn)出來(lái)的數(shù)學(xué)看上去是一種系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但在形成過(guò)程中的數(shù)學(xué)看上去卻是一種實(shí)驗(yàn)性的科學(xué)”，我們可以先利用第(1)問(wèn)猜想出△P黨M的周長(zhǎng)不發(fā)生變化，結(jié)果為8恰好等于A黨＋黨C，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明“PM＝AM＋PC”，而這是日常教學(xué)中多見的幾何問(wèn)題，筆者給出下列幾種解法，供讀者參考．1、截長(zhǎng)法△PH黨的周長(zhǎng)不變，為定值8．證明如下：如圖3，過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥MN，垂足為Q．2、補(bǔ)短法如圖4，延長(zhǎng)黨C至Q，使CQ＝AM，連結(jié)BQ、QM，又如圖5，延長(zhǎng)黨A至Q，使QM＝PM，連結(jié)BQ．波利亞說(shuō)過(guò)：掌握數(shù)學(xué)就是意味著善于解題．在數(shù)學(xué)教學(xué)中，解題活動(dòng)是最基本的活動(dòng)形式，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，關(guān)鍵之一是學(xué)會(huì)解題，若我們能夠通過(guò)采擷典型中考題，多角度探索考題的不