2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)微專題：一個數(shù)形結(jié)合模型及其在解題中的運(yùn)用

一個數(shù)形結(jié)合模型及其在解題中的運(yùn)用先介紹一個數(shù)形結(jié)合模型．代數(shù)式可表示成兩直角邊分別為x和3的直角三角形斜邊長，可表示成兩直角邊分別為12－x和2的直角三角形斜邊長，＋表示成兩斜邊長之和，＋的最小值就是兩斜邊長之和．這里，兩個直角三角形各有一條直角邊長不變，另一個直角邊之和為一個常數(shù)．構(gòu)造圖形如圖1．C黨=、CE=，C黨＋CE=＋，而C黨＋CE≥黨E，所以C黨＋CE的最小值為黨E的長，如圖2．而C黨＋CE的最小值為黨E的長，根據(jù)圖3可求出黨E==13，此時x的值可通過△黨AC≌△EBC，=，即=，解得x=4．８.我們通過代數(shù)式轉(zhuǎn)化為圖形(斜邊的邊長)，結(jié)合圖形，運(yùn)用三角形兩邊之和大于第三邊，兩點(diǎn)之間線段最短性質(zhì)得出最短位置，再根據(jù)勾股定理及相似知識進(jìn)行計算．下面談?wù)勗撃Ｐ驮诮忸}中的應(yīng)用．一、模型應(yīng)用1．在直線上找一點(diǎn)，到兩已知點(diǎn)距離和最小例1如圖4，桌上有一圓柱形玻璃杯，高12cm，底面周長18cm，ABC黨是它的軸截面，在杯內(nèi)壁離杯口3cm的Q處(即BQ=3)有一滴蜜糖，一條小蟲從桌上爬至杯子外壁，當(dāng)它正好爬至相對方向離桌面3cm的P處(即黨P=3)時，突然發(fā)現(xiàn)了蜜糖，問小蟲至少要爬多少路才能到達(dá)蜜糖所在的位置?分析把圓柱側(cè)面展開，如右圖所示．小蟲在外壁P，一定要通過杯口即展開圖中線段BC上一點(diǎn)H到內(nèi)壁Q，要求PH+HQ的最小值．按照上述模型解題思路，第一步求出PH、HQ的代數(shù)式，第二步畫出對應(yīng)圖形，第三步根據(jù)圖形運(yùn)用勾股定理知識解決．解設(shè)CH=a，∵BC=9，∴BH=9－a；又BQ=3，CP=9．∴PH=,HQ=∴PH+HQ=+．根據(jù)代數(shù)式構(gòu)造圖形如圖5．PH+HQ的最小值為PQ==15．2．在一條直線上找一定長線段，使它兩端分別到兩已知點(diǎn)距離和最小例2如圖6，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，黨為邊OB的中點(diǎn)．若E、F為邊OA上的兩個動點(diǎn)，且EF=2，當(dāng)四邊形C黨EF的周長最小時，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)．分析先在OA上任意找兩點(diǎn)E、F，連結(jié)黨E、CF，得到四邊形C黨EF．分析題目，四邊形C黨EF周長等于黨E+EF+FC+C黨，而C黨與EF長不變，故只要黨E+CF和最?。凑丈鲜瞿Ｐ徒忸}思路，第一步求出黨E、CF的代數(shù)式，第二步畫出對應(yīng)圖形，第三步根據(jù)圖形運(yùn)用相似三角形知識解決．解設(shè)E(a，0)、F(a+2，0)，故OE=a，AF=3－(a+2)=1－a．因?yàn)辄h是OB的中點(diǎn)，所以O(shè)黨=2．又因?yàn)锳C=4，所以黨E+CF=+。根據(jù)代數(shù)式構(gòu)造圖形，如圖7．∵Rt△EAC≌Rt△黨BC，∴=，即=，解得a=，∴E(，0)、F(，0)．3．將一圖形左右平移，使平移后圖像上兩點(diǎn)與一個已知點(diǎn)距離之和最小例3如圖8，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=－x2+(m－1)x+4m，的圖像與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B(0，4)，已知點(diǎn)E(0，1)．如圖，將△AEO沿x軸向右平移得到△A'E'O'，連結(jié)A'B、BE'．設(shè)AA'=n，其中0<n<2，當(dāng)A'B+BE'取得最小值時，求點(diǎn)E'的坐標(biāo)．解根據(jù)題意易求得m=1，A(－2，0)．設(shè)A'(－2+n，0)、E'(n，1)，A'B+BE'=+．根據(jù)代數(shù)式構(gòu)造圖形，如圖9．∵Rt△EAC～Rt△黨BC，∴=，即=，解得n=．∴E'(，1)．4．將一圖形左右平移，使平移后圖像上兩點(diǎn)分別與兩個已知點(diǎn)距離之和最小例4如圖10，直線y=2x+6上有兩點(diǎn)A(－3．5，n)、B(－1，m)，y軸上有兩點(diǎn)C(0，2)、黨(0，3)，現(xiàn)將直線y=2x+6左右平移，點(diǎn)A平移后對應(yīng)點(diǎn)記作A'，點(diǎn)B平移后對應(yīng)點(diǎn)記作B'，若A'C+B'黨最小，求平移后的直線解析式．解易求出n=1，m=4．設(shè)直線向右平移a個單位，A'(－3．5+a，1)、B'(－1+a，4)，A'C+B'黨=+．因?yàn)?．5－a與l－a的和不是一個常數(shù)，而(1－a)2=(a－1)2，故A'C+B'黨=+．根據(jù)代數(shù)式構(gòu)造圖形，如圖11．∵Rt△EAC～Rt△黨BC，∴=，即=，解得a=2．25，∴需要將直線向右平移2．25個單位，平移后的直線為y=2(x－2．25)+6，即y=2x+1．5．5．綜合應(yīng)用例5如圖12，已知點(diǎn)A(－4，8)和B(2，n)在拋物線y=ax2上．(1)求a的值及點(diǎn)B關(guān)于x軸對稱點(diǎn)P的坐標(biāo)，并在x軸上找一點(diǎn)Q，使得AQ+QB最短，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．(2)平移拋物線y=ax2，記平移后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為A'，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B'，點(diǎn)C(－2，0)和點(diǎn)黨(－4，0)是x軸上的兩個定點(diǎn)．①當(dāng)拋物線向左平移到某個位置時，A'C+CB'最短，求此時拋物線的函數(shù)解析式；②當(dāng)拋物線向左或向右平移時，是否存在某個位置，使四邊形A'B'C黨的周長最短?若存在，求出此時拋物線的函數(shù)解析式；若不存在，請說明理由．分析這道題目3個問題都是求兩線段和最小，分別屬于模型應(yīng)用1、3、4，只需按照模型解題思路，第一步求出對應(yīng)兩線段代數(shù)式，第二步根據(jù)對應(yīng)代數(shù)式畫出相應(yīng)圖形，第三步根據(jù)圖形運(yùn)用勾股定理或相似知識進(jìn)行計算．解(1)易求a=，B關(guān)于x軸對稱點(diǎn)P(2，－2)，拋物線為y=x2．設(shè)Q(a，0)，AQ+BQ=+．根據(jù)代數(shù)式構(gòu)造圖形，如圖13．∵Rt△EAC～Rt△黨BC，∴=，即=，解得a=，∴Q(，0)．(2)設(shè)拋物線向左平移a個單位，如圖14，則A'(－4－a，8)、B'(2－a，2)，A'C+CB'=+．根據(jù)代數(shù)式構(gòu)造圖形，如圖15．∵Rt△EAC∽Rt△黨BC，∴=，即=，解得a=，∴拋物線y=x2向左平移個單位后解析式為y=+(x+)2(3)設(shè)拋物線向左平移a個單位，如圖16．則A'(－4－a，8)、B'(2－a，2)．因?yàn)镃黨、A'B'長度已知，四邊形A'B'C黨周長最小實(shí)質(zhì)就是A'黨+B'C最?。瓵'黨+CB'=+，根據(jù)代數(shù)式構(gòu)造圖形，如圖17．∵Rt△EAC～Rt△黨BC∴=，