系統(tǒng)仿真 第 7 章 仿真的輸出分析

第7章

仿真的輸出分析§7-1引言§7-2性能測(cè)度及其估計(jì)§7-3終態(tài)仿真的輸出分析§7-4穩(wěn)態(tài)仿真的輸出分析什么是輸出分析？為什么要進(jìn)行輸出分析？輸出分析的兩種狀態(tài)系統(tǒng)（結(jié)構(gòu)數(shù)量是確定的）（結(jié)構(gòu)參數(shù)是隨機(jī)的）輸入（參數(shù)是隨機(jī)的）輸出？確定的輸入激勵(lì)一個(gè)確定的系統(tǒng)，得到的輸出就是一個(gè)確定的輸出。通過一次確定的仿真便可得出解。隨機(jī)的輸入激勵(lì)一個(gè)隨機(jī)的系統(tǒng)，得到的輸出是……?輸出的表達(dá)形式如何？需要經(jīng)過多少次的仿真才能說明輸出結(jié)果？輸出分析的目的在于預(yù)測(cè)一個(gè)系統(tǒng)的性能，或比較兩個(gè)或多個(gè)不同系統(tǒng)設(shè)計(jì)的性能。估計(jì)系統(tǒng)的性能參數(shù)，以及性能參數(shù)估計(jì)的有效范圍。用仿真統(tǒng)計(jì)得到的‘作為觀察值的估計(jì)量。統(tǒng)計(jì)得到的方差S2

就是估計(jì)量的偏差范圍?；虼_定出達(dá)到給定精度所需的觀察次數(shù)。在離散事件仿真中，大多數(shù)仿真輸出數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出自相關(guān)的特征，即：前面的輸出往往會(huì)影響到后面的輸出數(shù)據(jù)。如：庫存系統(tǒng)中的初期庫存、生產(chǎn)系統(tǒng)中的初始狀態(tài)、排隊(duì)系統(tǒng)中初始排隊(duì)狀態(tài)和初始服務(wù)狀態(tài)等。接下頁7-1引言輸出分析的輸出狀態(tài)暫態(tài)（終態(tài)）穩(wěn)態(tài)（非終態(tài)）終態(tài)仿真就是指在某個(gè)持續(xù)時(shí)間TE之內(nèi)系統(tǒng)的仿真，這里E是停止仿真的一個(gè)指定的事件，這樣被仿真系統(tǒng)在指定初始條件下于時(shí)刻0“打開”，并在停止時(shí)刻TE“閉合”。非終態(tài)系統(tǒng)常被用來研究系統(tǒng)的固有特性，它與系統(tǒng)的初始條件無關(guān)，即：不會(huì)因?yàn)槌跏紬l件的改變而變化。非終態(tài)系統(tǒng)是指系統(tǒng)在持續(xù)循環(huán)運(yùn)行時(shí)間內(nèi)，前一時(shí)間結(jié)束的仿真結(jié)果影響到后一時(shí)間的仿真條件。非終態(tài)系統(tǒng)是連續(xù)運(yùn)行的系統(tǒng)，至少在很長(zhǎng)一段時(shí)期內(nèi)運(yùn)行。暫態(tài)系統(tǒng)仿真常被用來研究系統(tǒng)對(duì)外界條件變化的響應(yīng)能力。7-1引言例題某一個(gè)通信系統(tǒng)由幾個(gè)部件加上幾個(gè)備用部件組成。其中一個(gè)分支環(huán)節(jié)由A、B、C、D四個(gè)部分組成，B和C呈并聯(lián)方式連接。在系統(tǒng)失效為止的時(shí)間周期TE內(nèi)考慮系統(tǒng)。停止事件E定義為

E={A失效，或D失效，或B與C同時(shí)失效}初始條件為各部件在時(shí)刻0都是新的（系統(tǒng)處于理想狀態(tài)）。7-1引言

例題如果研究的是系統(tǒng)電器元件的平均壽命情況。即在相同的實(shí)驗(yàn)條件下，進(jìn)行元件的壽命測(cè)量，即：從同樣實(shí)驗(yàn)條件下，從時(shí)刻0開始，一直進(jìn)行到E事件變真。對(duì)于這樣的研究，采用的是終態(tài)仿真。如果研究的是系統(tǒng)的特性，如通訊能力、通訊容量的峰值等，我們采用的是非終態(tài)仿真。因此終態(tài)或非終態(tài)仿真是隨研究要求的變化而改變。7-1引言性能測(cè)度估計(jì)的方法假設(shè)系統(tǒng)性能可用參數(shù)θ(或φ)表示，通過系統(tǒng)仿真，我們希望得到θ(或φ)的值。如何得到或統(tǒng)計(jì)此值？我們可以運(yùn)用參數(shù)的估計(jì)方法：既要得到這個(gè)值，又要得到這個(gè)值的精度范圍——點(diǎn)估計(jì)及其區(qū)間估計(jì)。區(qū)間估計(jì)的長(zhǎng)度是點(diǎn)估計(jì)準(zhǔn)確度的一個(gè)測(cè)度。同樣，仿真的數(shù)據(jù)也有兩種：第一種仿真輸出數(shù)據(jù)具有離散形式{Y1，Y2，…，Yn}，用來估計(jì)θ

第二種仿真輸出數(shù)據(jù)具有連續(xù)形式{Y(t)，0≤t≤T}，用來估計(jì)φ

7.2性能測(cè)度及其估計(jì)點(diǎn)估計(jì)（離散隨機(jī)變量）基于數(shù)據(jù){Y1，Y2，…，Yn}的θ的點(diǎn)估計(jì)定義為式中是基于樣本量n的樣本均值。如果的數(shù)學(xué)期望是θ，即則是θ的無偏估計(jì)。θ稱為離散仿真系統(tǒng)性能的平均測(cè)度(即：期望值)。該樣本的數(shù)學(xué)方差的估計(jì)值為：稱為樣本的方差估計(jì)值。=θ

7.2性能測(cè)度及其估計(jì)點(diǎn)估計(jì)（連續(xù)隨機(jī)變量）基于數(shù)據(jù){Y(t)，0≤t≤T}的φ的點(diǎn)估計(jì)定義為式中T是仿真的運(yùn)行長(zhǎng)度，稱為Y(t)在〔0，T〕上的時(shí)間平均值。φ稱為連續(xù)仿真系統(tǒng)性能的平均測(cè)度。在離散型仿真中，也存在著連續(xù)型隨即變量，如：動(dòng)態(tài)實(shí)體在系統(tǒng)中的排隊(duì)等待時(shí)間。該樣本的數(shù)學(xué)方差的估計(jì)值為：稱為樣本的方差估計(jì)值。=φ

是φ的無偏估計(jì)。7.2性能測(cè)度及其估計(jì)區(qū)間估計(jì)首先，確定在無偏估計(jì)下，估計(jì)點(diǎn)估計(jì)(或)的方差。令表示點(diǎn)估計(jì)的真實(shí)方差令表示基于數(shù)據(jù){Y1，Y2，…，Yn}的方差的估計(jì)值。稱為數(shù)據(jù){Y1，Y2，…，Yn}所描述的隨即過程的方差估計(jì)值。假設(shè)B稱為在方差估計(jì)中的偏差系數(shù)。如果是近似無偏的(B≈1.0)，那么取統(tǒng)計(jì)量，根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的定理，可知，統(tǒng)計(jì)量

當(dāng)B=1，為點(diǎn)估計(jì)方差的一個(gè)無偏估計(jì)。7.2性能測(cè)度及其估計(jì)區(qū)間估計(jì)為了使θ達(dá)到近似的100（1-

）%置信區(qū)間，必須滿足

P(|t|>t,)=

f=n-1為t檢驗(yàn)的自由度數(shù)。n為樣本數(shù)。通過t分布的標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)計(jì)表，可以查得自由度為f，滿足置信區(qū)間的t,值根據(jù)問題：如何求得上式中的到點(diǎn)估計(jì)方差的近似無偏估計(jì)？7.2性能測(cè)度及其估計(jì)區(qū)間估計(jì)如果{Y1，Y2，…，Yn}是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的觀察值

由點(diǎn)估計(jì)定義式計(jì)算，然后計(jì)算樣本方差

當(dāng)Yi是獨(dú)立的、相同分布時(shí)，那么樣本方差S2是總體方差σ2=var(Yi)(對(duì)所有i=1，2，…，n，皆為常數(shù))的無偏估計(jì)。由于的方差為，那么σ2()的無偏估計(jì)具有f=n-1的自由度只要點(diǎn)估計(jì)是無偏的，那么置信區(qū)間便是近似正確的稱為點(diǎn)估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)偏差。標(biāo)準(zhǔn)偏差是點(diǎn)估計(jì)準(zhǔn)確度的測(cè)度。7.2性能測(cè)度及其估計(jì)區(qū)間估計(jì)如果{Y1，Y2，…，Yn}不是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的觀察值那么是點(diǎn)估計(jì)真實(shí)方差的有偏估計(jì)。當(dāng){Y1，Y2，…，Yn}是從一次單獨(dú)運(yùn)行中得到的輸出觀察序列時(shí)，Y1，Y2，…，Yn是一個(gè)自相關(guān)序列（稱之為時(shí)間序列）。為了定量表示自相關(guān)對(duì)方差估計(jì)的影響，假設(shè)時(shí)間序列Y1，Y2，…，Yn是均值為θ的協(xié)方差平穩(wěn)的時(shí)間序列（穩(wěn)態(tài)過程），對(duì)協(xié)方差平穩(wěn)時(shí)間序列Y1，Y2，…，Yn用表示滯后k的協(xié)方差。7.2性能測(cè)度及其估計(jì)區(qū)間估計(jì)依據(jù)協(xié)方差的定義是Y的自相關(guān)函數(shù)又其對(duì)應(yīng)的是平穩(wěn)過程（或近似平穩(wěn)過程），協(xié)方差函數(shù)與i無關(guān)協(xié)方差函數(shù)是一個(gè)對(duì)稱的函數(shù)當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)取最大值

0是序列的總體方差定義（-1

k

1）k=1,2,…,n當(dāng)對(duì)所有的k，

k>0，序列是正自相關(guān)的。大部分仿真序列是正相關(guān)的。當(dāng)對(duì)所有的k，

k<0，序列是負(fù)自相關(guān)的。7.2性能測(cè)度及其估計(jì)對(duì)具有式所定義的采祥均值的平穩(wěn)時(shí)間序列來講，的方差由下式給出7.2性能測(cè)度及其估計(jì)如果Yi是獨(dú)立觀察值，那么當(dāng)k=1，2，3，…時(shí)，=0，，上式為如果Yi是非獨(dú)立的觀察值，將其表示為如同獨(dú)立觀察值的形式，其期望值由下式給出與獨(dú)立觀察值的估計(jì)區(qū)間比較，其取值范圍的表示方式與B的值有關(guān)，B有可能大于1或小于17.2性能測(cè)度及其估計(jì)

如果相關(guān)系數(shù)大體上是正的，那么c>1，這樣n/c<n，因此B<1。這時(shí)，用來估計(jì)則偏低。那么所算出的名義的100(1-α)%置信區(qū)間將是太小，其實(shí)際結(jié)果將使仿真置信區(qū)間較小而失去點(diǎn)估計(jì)的準(zhǔn)確度。

7.2性能測(cè)度及其估計(jì)如果相關(guān)系數(shù)大體上是負(fù)的，這使得c<1(c總是≥0)，這樣得出B>1，在這種情況下，用來估計(jì)則偏高。由不等式計(jì)算出的名義的100(1-α)%置信區(qū)間將是太大，它的真實(shí)置信度將大于(1-α)。換句話說，點(diǎn)估計(jì)的真實(shí)精度將比用它的方差估計(jì)表示的精度來得高，即這個(gè)誤差不像第一種情況的誤差那么嚴(yán)重，因?yàn)楫?dāng)呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)時(shí)，估計(jì)值的準(zhǔn)確度將傾向于比用方差估計(jì)表示的準(zhǔn)確度更好。7.2性能測(cè)度及其估計(jì)輸出分析例題獨(dú)立重復(fù)運(yùn)行法一個(gè)終態(tài)仿真，它在仿真時(shí)間區(qū)間[0，TE]中運(yùn)行，并由此得到觀察值Y1，Y2，…，Yn。樣本量n可以是固定數(shù)，也可以是隨機(jī)變量。終態(tài)仿真的目的是估計(jì)設(shè)仿真共重復(fù)R次，每次運(yùn)行都利用不同的隨機(jī)數(shù)流和獨(dú)立選擇的初始條件(也包含所有含有相同初始條件的情況)。令Yri是第r次重復(fù)運(yùn)行的第i次觀察i=1，2，…，n，以及T=1，2，…，R。當(dāng)固定r時(shí)，Yr1，Yr2，…是自相關(guān)序列，但對(duì)不同的響應(yīng)r和s，r≠s，Yri和Ysi是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。對(duì)每一次運(yùn)行r，其樣本均值為r=1，2，…，R

7.3終態(tài)(暫態(tài))仿真的輸出分析獨(dú)立重復(fù)運(yùn)行法R個(gè)樣本均值。，，…，是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，具有同一分布，并且是θ的無偏估計(jì)，于是可以應(yīng)用經(jīng)典的置信區(qū)間估計(jì)的方法。假設(shè)做了R次獨(dú)立的重復(fù)運(yùn)行，用來計(jì)算整個(gè)的點(diǎn)估計(jì)。用來估計(jì)的方差則其100(1-α)%的置信區(qū)間為自由度f=R-1量=稱為點(diǎn)估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)偏差，它的大小反映了θ的點(diǎn)估計(jì)的準(zhǔn)確度。當(dāng)R增加時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)誤差傾向于變得越來越小而趨于0。7.3終態(tài)(暫態(tài))仿真的輸出分析穩(wěn)態(tài)仿真的作用一個(gè)仿真模型的單次運(yùn)行的目的在于估計(jì)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)或長(zhǎng)期特征。設(shè)該單次運(yùn)行得到的觀察值是Y1，Y2，…，一般情況下，它是一個(gè)自相關(guān)時(shí)間序列的采樣值。所要估計(jì)的穩(wěn)態(tài)(或長(zhǎng)期)的均值性能測(cè)度由下式定義該式意味著仿真模型利用不同隨機(jī)數(shù)的所有仿真都將產(chǎn)生樣本均值收斂于θ的序列Yi，i=1，2，…，θ的值與初始條件無關(guān)。7.4穩(wěn)態(tài)仿真的輸出分析穩(wěn)態(tài)仿真中初始條件所引起的偏差穩(wěn)態(tài)仿真運(yùn)行一般可以分成兩段(目的是為了消除初始條件的影響)第一段從時(shí)刻0到時(shí)刻T0為初始階段；第二段接著從T0到停止時(shí)刻T0+TE為數(shù)據(jù)收集階段。T0的選擇是十分重要的，因?yàn)橛肐來表示系統(tǒng)在時(shí)刻T0的狀態(tài)比用時(shí)刻0原來的初始條件I。更能反映出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)行為。暫態(tài)穩(wěn)態(tài)I0IT0T0+TE指定初始條件穩(wěn)態(tài)初始條件長(zhǎng)度為T0的初始段長(zhǎng)度為TE的數(shù)據(jù)收集段系統(tǒng)在時(shí)間T0的狀態(tài)I是隨機(jī)變量，系統(tǒng)在此點(diǎn)已達(dá)到近似穩(wěn)態(tài)，指在時(shí)刻T0的系統(tǒng)狀態(tài)的概率分布充分接近穩(wěn)態(tài)概率分布，從而使響應(yīng)變量點(diǎn)估計(jì)的動(dòng)態(tài)偏差可以忽略不計(jì)。數(shù)據(jù)收集階段的長(zhǎng)度TE

應(yīng)足夠長(zhǎng)以保證得到充分準(zhǔn)確的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)行為的估計(jì)。7.4穩(wěn)態(tài)仿真的輸出分析穩(wěn)態(tài)仿真重復(fù)運(yùn)行方法我們已經(jīng)看到通過設(shè)定T0、TE可以將點(diǎn)估計(jì)中初始條件引起的偏差已被減少到可忽略的程度，另外，獨(dú)立重復(fù)運(yùn)行的方法同樣可用來估計(jì)點(diǎn)估計(jì)值變化范圍（適用于無動(dòng)態(tài)偏差），并構(gòu)造置信區(qū)間。如果，在點(diǎn)估計(jì)中有明顯的動(dòng)態(tài)偏差，那么采用大量的重復(fù)運(yùn)行來減少點(diǎn)估計(jì)值的變化范圍，就會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的置信區(qū)間。大量的重復(fù)運(yùn)行會(huì)使得置信區(qū)間圍繞點(diǎn)發(fā)生“偏移”，使原本圍繞著θ變短的置信區(qū)間“偏移”到圍繞著“錯(cuò)誤的點(diǎn)”(θ+b)變短。7.4穩(wěn)態(tài)仿真的輸出分析在穩(wěn)態(tài)仿真中樣本量與準(zhǔn)確度的關(guān)系提高在100(1-

)%置信區(qū)間內(nèi)的系統(tǒng)估計(jì)性能測(cè)度θ的準(zhǔn)確度在ε之內(nèi)的方法主要有2種：增加重復(fù)運(yùn)行數(shù)R增加運(yùn)行長(zhǎng)度TE

7.4穩(wěn)態(tài)仿真的輸出分析增加重復(fù)運(yùn)行數(shù)R提高準(zhǔn)確度置信區(qū)間不等式是均值θ的基于t分布的置信區(qū)間，其半長(zhǎng)是S是樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差，R是重復(fù)運(yùn)行次數(shù)。=設(shè)給定一個(gè)準(zhǔn)確度臨界值ε，我們希望用來估計(jì)θ(具有準(zhǔn)確度ε)這個(gè)事件的發(fā)生具有較高的概率，比如說至少為。即：需要取足夠大的樣本量R來滿足7.4穩(wěn)態(tài)仿真的輸出分析增加重復(fù)運(yùn)行數(shù)R提高準(zhǔn)確度仿真初期，假設(shè)初始仿真樣本量R0（已經(jīng)運(yùn)行并得到了觀察記錄），即仿真者最初已做了R0次獨(dú)立的重復(fù)運(yùn)行。R0次重復(fù)運(yùn)行將用來得到總體方差

2的初始估計(jì)S02

。為符合半長(zhǎng)臨界值

必須選擇更大的樣本量R，使得R

R0，且R是滿足R

R0，以及的正整數(shù)。

7.4穩(wěn)態(tài)仿真的輸出分析增加重復(fù)運(yùn)行數(shù)R提高準(zhǔn)確度（算法）由于t

/2,R-1R

Z

/2(這里Z

/2為R→∞的t

/2，可查表得到)，那么對(duì)R的初始估計(jì)量在確定出最終樣本量R之后，再做R-R0次附加的觀察，并得到

的100(1-

)%置信區(qū)間和S是基于所有R次重復(fù)運(yùn)行而計(jì)算出來的7.4穩(wěn)態(tài)仿真的輸出分析若按上一種方法計(jì)算，需要附加重復(fù)運(yùn)行次數(shù)R-R0，那么，我們可按同一比例R/R0把運(yùn)行長(zhǎng)度T0+TE增加到新的運(yùn)行長(zhǎng)度(R/R0)(T0+TE)。于是，要把附加的數(shù)據(jù)從時(shí)刻0刪除到時(shí)刻(R/R0)T0，這樣有更多的數(shù)據(jù)可用來計(jì)算點(diǎn)估計(jì)值。增加仿真運(yùn)行的時(shí)間長(zhǎng)度T0+TE增加每次重復(fù)運(yùn)行的總運(yùn)行長(zhǎng)度并刪除總運(yùn)行長(zhǎng)度中固定比例T0/(T0+TE)部分的好處是：在點(diǎn)估計(jì)中，任何殘留的動(dòng)態(tài)偏差將由于附加刪除了運(yùn)行的初始階段的數(shù)據(jù)而進(jìn)一步減少。而該方法可能具有的缺點(diǎn)是：為了繼續(xù)進(jìn)行全部R次響應(yīng)的仿真（從時(shí)刻T0+TE運(yùn)行到(R/R0