《復(fù)變函數(shù)與積分變換》§6.3 惟一決定分式線性映射的條件

§6.3惟一決定分式線性映射的條件三對對應(yīng)點惟一決定分式線性映射一一個分式線性映射形式上有四個參數(shù)，少有一個不為零，因此只需分子分母同除以這個參數(shù)，這樣分式線性映射只依賴于三個獨立常數(shù)．但四個參數(shù)中至定理6.9的點，在平面上，任意給定三個相異在平面上，也任意給定則存在三個相異的點，惟一的分式線性映射將分別映成．的部分改為1即可．三對對應(yīng)點惟一決定分式線性映射一證略．滿足條件的分式線性映射為：若或中出現(xiàn)，則在公式中將包含例如，若，則上式變?yōu)椋鹤⑷龑?yīng)點惟一決定分式線性映射一例1求將變到的分式線性映射．解：由公式得化簡得三對對應(yīng)點惟一決定分式線性映射一由定理可以看出，若在平面及平面的已知圓周及上，分別選不同的三點及，的分式線性映射，就把圓周映射為圓周．則將依次映射為定理6.10擴充平面上任何一個圓周，性映射映射為擴充平面上的任何一個圓周．可以用一個分式線注本定理中的圓周包括直線．三對對應(yīng)點惟一決定分式線性映射一下面說明當分式線性映射將圓周映成圓周時，的外部．而的內(nèi)部中另一部分映成設(shè)為內(nèi)部的兩點，分別映成，且在不可能將的內(nèi)部中一部分映成的內(nèi)部，外部，在內(nèi)部．三對對應(yīng)點惟一決定分式線性映射一將用線段連接，線段映射為圓弧，則圓弧與這樣就有兩個不同的點被映射為點，一個在圓周上，另一個在線段上，這樣就與分式線性映射的一一對應(yīng)性矛盾．交于，三對對應(yīng)點惟一決定分式線性映射一這樣當分式線性映射將圓周映成圓周時，圓周的內(nèi)部在內(nèi)任取一點，若的像在的內(nèi)部，則的內(nèi)部就映反之，則的內(nèi)部就映射成的外部．還可通過下面的方法來判斷：上任取三點，在圓周映射為上的三點在上的繞向相同，若在上的繞向與則的內(nèi)部就映射成的內(nèi)部，反之映射成或者映射為的內(nèi)部，或者映射為的外部．射成的內(nèi)部；外部．三對對應(yīng)點惟一決定分式線性映射一例2圓心分別在與，半徑均為的兩圓弧所圍成的映射成什么區(qū)域？區(qū)域在解:因此兩圓弧映射成兩條從原點出發(fā)的射線．三對對應(yīng)點惟一決定分式線性映射一平面上兩圓弧交點為i和，映射將i映成，映射成0，如圖三對對應(yīng)點惟一決定分式線性映射一兩圓弧在

處夾角為，兩圓弧與軸正向夾角均為，由于分別映射成，綜上，陰影部分被映射為以下角形如圖．區(qū)域．三類重要的分式線性映射二由于分式線性映射的保圓性，因此它在處理邊界為圓周的區(qū)域映射上起很大作用．下面介紹三類重要的分式線性映射：（1）上半平面映射成上半平面設(shè)分式線性映射將映射成三類重要的分式線性映射二則該分式線性映射將平面的實軸，保持同向．因此該映射將平面實軸上三點實軸上三點，即旋轉(zhuǎn)角為0，則映射為平面的實軸分別映射成平面三類重要的分式線性映射二由可解得均為實數(shù)，因此．由于三類重要的分式線性映射二因此，當時，有．因此分式線性映射將映為的充分必要條件為均為實數(shù)，且．三類重要的分式線性映射二例3求出將上半平面映射為上半平面，且將映射成映射成的分解：設(shè)，由得由得解得，因此式線性映射．三類重要的分式線性映射二例4求出將上半平面映射為上半平面，且將依次映射為的分式線性映射．解：設(shè)，由得由得，即由得，即因此，且滿足為實數(shù)，．本題也可用定理6.9解，略．三類重要的分式線性映射二（2）上半平面映射成單位圓由分式線性映射的保圓性知，映射為單位圓的圓周．該映射必將實軸三類重要的分式線性映射二由于上半平面的某一點映射為圓心，根據(jù)分式線性映得關(guān)于實軸的對稱點映射為關(guān)于單位圓的對稱點，因此所求的分式線性映射具有下列形式：當取實數(shù)時，，因此射的保對稱性，三類重要的分式線性映射二因此可取，則所求分式線性映射的一般形式為：反之，上面的分式線性映射必將上半平面映射為單位圓的內(nèi)部．該映射中可以任意取值，如要確定，還需附加條件，通常是指定實軸與單位圓上的一組對應(yīng)點，或在處的旋注．轉(zhuǎn)角三類重要的分式線性映射二例5求一分式線性映射，將上半平面映射成單位圓內(nèi)部，，且(1)點映射成；(2)．解：由條件(1)可設(shè)三類重要的分式線性映射二由條件(2)可得即因此三類重要的分式線性映射二例6求將上半平面映射為單位圓

且滿足條件，的分式線性映射．解：由條件設(shè)因為則得因此三類重要的分式線性映射二（3）單位圓映射成單位圓的分式線性映射將平面上單位圓內(nèi)的一點映射為平面單位圓圓心，由保對稱性則：因此又由該映射將映射到上，則該映射．三類重要的分式線性映射二由，得可設(shè)，因此反之，上面的分式線性映射必將單位圓內(nèi)部映射為單位圓的內(nèi)部．三類重要的分式線性映射二例7的分式線性映射．求將單位圓映射成單位圓且滿足，解：由條件設(shè)三類重要的分式線性映射二可得，由于則為正實數(shù)，從而；因此所求的分式線性映射為：求將單位圓映射成單位圓且滿足三類重要的分式線性映射二例8的分式線性映射．解：由條件得映射為的圓心；該映射將關(guān)于的對稱點則，即，三類重要的分式線性映射二因此設(shè)又由得因此則雜例三例9求將映射成且滿足條件，的分式線性映射．解:注意到將映射為單位圓，且滿足．因此可將先映射為，再映射為,且雜例三求到的映射，且則因此求導(dǎo)得則即雜例三由條件，得因此所求映射為即如圖雜例三例10求將映射成且使的分式線性映射．解：令，則可先將映射為，再映射為，且雜例三由于已知，則求到的映射較容易．則由，得則，即，因此．雜例三例11求區(qū)域在映射下的像域．解：設(shè)，則可化為區(qū)域的一條邊界為（1）代入（1）式得即，雜例三如圖區(qū)域的另一條邊界為代入（1）式得即，雜例三消去即得即如圖雜例三在區(qū)域的點因此區(qū)域映射為如圖雜例三例12求將圓映射成平面上的半平面且滿足，的分式線性映射．解：由是的圓心，且得關(guān)于的對稱點，被映射為關(guān)于的對稱點，則得關(guān)于的對稱點，雜例三由公式得解得雜