人教版數(shù)學八年級上冊-14.2-乘法公式

人教版數(shù)學八年級上冊14.2乘法公式14.2.1

平方差公式多項式與多項式是如何相乘的？(x

＋3)(x＋5)=x2＋5x＋3x＋15=x2＋8x＋15.

(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn復習引入探究發(fā)現(xiàn)面積變了嗎？a米5米5米a米(a-5)米相等嗎？平方差公式①(x＋1)(x－1)；②(m＋2)(m－2)；

③(2m＋1)(2m－1)；

④(5y＋z)(5y－z).計算下列多項式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？算一算：看誰算得又快又準.想一想：這些計算結果有什么特點？x2－12m2－22(2m)2－12(5y)2－z2(a

+b)(a?

b)

=a2

?

b2.兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于這兩數(shù)的平方差.公式變形：1.(a–b)(a+b)=a2

–

b2；2.(b+a)(–b+a)=a2

–

b2.知識要點平方差公式平方差公式注意：這里的兩數(shù)可以是兩個單項式，也可以是兩個多項式等．(a+b)(a-

b)=a2-

b2相同為

a

相反為

b適當交換合理加括號填一填：

aba2－b21x－3a12－x2(－3)2－a2a1a2－120.3x1(0.3x)2－12(a+b)(a-b)(1+x)(1-

x)(-3+a)(-3-

a)(0.3x-

1)(1+0.3x)(1+a)(-1+a)練一練：口答下列各題：(l)(－a+b)(a+b)=_________.(2)(a－b)(b+a)=_________.(3)(－a－b)(－a+b)=________.(4)(a－b)(－a－b)=_________.a2－b2a2－b2b2－a2b2－a2典例精析例1計算：(1)(3x＋2)(3x－2)；(2)(－x＋2y)(－x－2y).(2)

原式＝(－x)2－(2y)2＝x2－4y2.解：(1)原式＝(3x)2－22＝9x2－4.方法總結：應用平方差公式計算時，應注意以下幾個問題：(1)

左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)；(2)

右邊是相同項的平方減去相反項的平方；(3)

公式中的

a

和

b

可以是具體的數(shù)，也可以是單項式或多項式．利用平方差公式計算：(1)(3x－5)(3x＋5)；

(2)(－2a－b)(b－2a)；(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)．針對訓練解：(1)原式＝(3x)2－52＝9x2－25.(2)原式＝(－2a)2－b2＝4a2－b2.(3)原式＝(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2.例2

計算：(1)102×98;(2)(y+2)(y–2)–(y–1)(y+5).解：(1)102×98(2)(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)=1002－22=10000－4=(100＋2)(100－2)=9996.=y2－22－(y2＋4y－5)=y2－4－y2－4y＋5=－4y＋1.通過合理變形，利用平方差公式，可以簡化運算.不符合平方差公式運算條件的，按乘法法則進行運算.針對訓練計算：(1)51×49；(2)

(3x

+

4)(3x

-

4)

-

(2x

+

3)(3x

-

2).解：(1)原式

=(50＋1)(50－1)=502－12=2500－1=2499.

(2)原式

=(3x)2－42－(6x2＋5x－6)=9x2－16－6x2－5x＋6=3x2－5x－10.例3

先化簡，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中

x＝1，y＝2.原式＝5×12－5×22＝－15.解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.當

x＝1，y＝2時，例4

對于任意的正整數(shù)

n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整數(shù)倍嗎？

即整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整數(shù)倍.解：原式＝9n2－1－(9－n2)＝10n2－10.∵(10n2－10)÷10＝n2－1，n為正整數(shù)，∴n2－1一定為整數(shù).方法總結：對于平方差中的

a和

b可以是具體的數(shù)，也可以是單項式或多項式，在探究整除性或倍數(shù)問題時，一般先將整式化為最簡，然后根據(jù)結果的特征，判斷其是否具有整除性或倍數(shù)關系．例5

王大伯家把一塊邊長為

a米的正方形土地租給了鄰居李大媽．今年王大伯對李大媽說：“我把這塊地一邊減少4米，另外一邊增加4米，繼續(xù)原價租給你，你看如何？”李大媽一聽，就答應了．你認為李大媽吃虧了嗎？為什么？解：李大媽吃虧了．理由如下：原正方形的面積為

a2，

改變邊長后面積為

(a＋4)(a－4)＝a2－16.∵a2－16＜a2，∴李大媽吃虧了．方法總結：解決此實際問題的關鍵是根據(jù)題意列出算式，然后根據(jù)公式化簡算式，進而解決問題.1.下列運算中，可用平方差公式計算的是(

)A．(x＋y)(x＋y)B．(－x＋y)(x－y)C．(－x－y)(y－x)D．(x＋y)(－x－y)C2.計算(2x＋1)(2x－1)等于(

)A．4x2－1B．2x2－1C．4x－1D．4x2＋1A3.兩個正方形的邊長之和為5，邊長之差為2，那么用較大的正方形的面積減去較小的正方形的面積，差是______．10（1）(a+3b)(a-

3b)；=

4a2－9.=4x4－y2.解：原式

=(2a+3)(2a－3)=a2－9b2.=

(2a)2－32解：原式

=(-2x2)2－y2解：原式

=a2－(3b)2（2）(3+2a)(－3+2a)；（3）(－2x2－y)(－2x2

+y).4.利用平方差公式計算：5.計算：

20222－2021×2023.解：20222－2021×2023=20222－(2022－1)(2022+1)=20222－(20222－12)=20222－20222+

12=1.6.利用平方差公式計算：（1）(a－2)(a＋2)(a2＋4)；

解：原式

=(a2－4)(a2＋4)=a4－16.(2)(x－y)(x＋y)(x2＋y2)(x4＋y4).解：原式

=(x2－y2)(x2＋y2)(x4＋y4)=(x4－y4)(x4＋y4)=x8－y8.7.先化簡，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3，其中

x=2.解：原式=x2－1＋x2－x3＋x3=2x2－1.將

x=2代入上式，得原式=2×22－1=7.8.已知

x≠1，計算：(1＋x)(1－x)＝1－x2，(1－x)(1＋x＋x2)＝1－x3，(1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝1－x4……(1)觀察以上各式并猜想：(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝________(n為正整數(shù))；(2)根據(jù)你的猜想計算：①(1－2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝______；②2＋22＋23＋…＋2n＝__________(n為正整數(shù))；③(x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________；拓展提升1－xn+1－632n＋1－2x100－1(3)通過以上規(guī)律請你進行下面的探索：①(a－b)(a＋b)＝_______；②(a－b)(a2＋ab＋b2)＝________；③(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝________．a(chǎn)2－b2

a3－b3

a4－b4

平方差公式內容注意兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差1.字母表示：(a+b)(a－b)=a2－b22.緊緊抓住“一同一反”這一特征，在應用時，只有兩個二項式的積才有可能應用平方差公式；不能直接應用公式的，要經(jīng)過適當變形才可以應用人教版數(shù)學八年級上冊14.2乘法公式14.2.2

完全平方公式你發(fā)現(xiàn)了什么？

一塊邊長為

a米的正方形實驗田，因需要將其邊長增加

b米，形成四塊實驗田，以種植不同的新品種(如圖).用不同的形式表示實驗田的總面積，并進行比較.你發(fā)現(xiàn)了什么？情境引入aabb直接求：總面積

=(a+b)(a+b).間接求：總面積

=a2+ab+ab+b2.(a+b)2=a2+2ab+b2.計算下列多項式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？(1)

(p+1)2=(p+1)(p+1)=

.p2+2p+1(2)

(m+2)2=(m+2)(m+2)=

.m2+4m+4(3)

(p－1)2=(p－1)(p－1)=

.p2－2p+1(4)

(m－2)2=(m－2)(m－2)=

.m2－4m+4根據(jù)上面的規(guī)律，你能直接寫出下列式子的運算結果嗎？(a＋b)2

=

.a2+2ab+b2(a－b)2

=

.

a2－2ab+b2合作探究完全平方公式知識要點(a+b)2=

；a2+2ab+b2(a-

b)2=

.a2-

2ab+b2文字敘述為：兩個數(shù)的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的

2倍.這兩個公式叫做（乘法的）完全平方公式.

簡記為：“首平方，尾平方，積的2倍放中央.”完全平方公式你能根據(jù)圖

1和圖

2中的面積解釋完全平方公式嗎?baabbaba圖

1圖

2想一想：幾何解釋：aabb=+++a2ababb2(a+b)2=

.a2+2ab+b2和的完全平方公式：a2?ab?b(a?b)=

a2?2ab+b2=(a?b)2a?baaabb(a?b)bb(a?b)2幾何解釋：(a-

b)2=

.a2-

2ab+b2差的完全平方公式：a?b(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-

b)2=a2

-

2ab+b2.問題

觀察下面兩個完全平方式，比一比，回答下列問題：1.說一說積的次數(shù)和項數(shù)；2.兩個完全平方式的積有相同的項嗎？與

a，b有

什么關系？3.兩個完全平方式的積中不同的是哪一項？與a，b有什么關系？它的符號與什么有關？

公式特征：4.公式中的字母

a，b可以表示數(shù)，單項式和多項式.1.積為二次三項式；2.積中兩項為兩數(shù)的平方和；3.另一項是兩數(shù)積的2倍，且與兩數(shù)中間的符號相同；想一想：下面各式的計算是否正確？如果不正確，應當怎樣改正？(1)(x+y)2=x2+y2(2)(x－y)2=x2－y2(3)(－x+y)2=x2+2xy+y2(4)(2x+y)2=4x2+2xy+y2××××x2+2xy+y2x2－2xy+y2

x2－2xy+y24x2+4xy+y2典例精析例1

運用完全平方公式計算：解：(4m+n)2==16m2(1)(4m+n)2；(a+b)2=a2+2ab+b2(4m)2+2?(4m)?n+n2+8mn+n2.(a

-

b)2

=a2

-2ab+b2y2=y2-

y+解：

=+-2?y?(2).利用完全平方公式計算：(1)(5－a)2；(2)(－3m－4n)2；(3)(－3a＋b)2.針對訓練(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2.(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2.(1)1022；解：1022=(100+2)2=10000+400+4=10404.(2)992.解：992=(100–1)2=10000-

200+1=9801.

例2

運用完全平方公式計算：方法總結：運用完全平方公式進行簡便計算，要熟記完全平方公式的特征，將原式轉化為能利用完全平方公式的形式．利用乘法公式計算：(1)982－101×99；(2)20222－2022×4042＋20212.針對訓練＝(2022－2021)2＝1.解：(1)原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)＝1002－400＋4－1002＋1＝－395.(2)原式＝20222－2×2022×2021＋20212例3

已知

x－y＝6，xy＝－8.求：(1)x2＋y2

的值；(2)(x＋y)2

的值.＝36－16＝20.解：(1)∵x－y＝6，xy＝－8，(x－y)2＝x2＋y2－2xy，∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy(2)∵x2＋y2＝20，xy＝－8，∴(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy＝20－16＝4.方法總結：本題要熟練掌握完全平方公式的變式：x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝(x＋y)2－2xy，(x－y)2＝(x＋y)2－4xy.a+(b+c)=a+b+c；

a–(b+c)=a

–

b–c.a+b+c=a+(b+c)；a–b–c=a–(b+c).去括號：把上面兩個等式的左右兩邊反過來，就得到添括號法則：添括號法則

添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號（簡記為“負變正不變”）.知識要點添括號法則例4

運用乘法公式計算：(1)(x+2y-3)(x-2y+3)；(2)(a+b+c)2.原式

=[x+(2y–3)][x–(2y–3)]解：(1)典例精析(2)原式=[(a+b)+c]2=x2–(2y–3)2=x2–(4y2–12y+9)=x2–4y2+12y–9.=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.方法總結：第(1)小題先用平方差公式進行計算，需要分組，分組方法是“符號相同的為一組，符號相反的為另一組”；

第(2)小題要把其中兩項的和看成一個整體，再按照完全平方公式進行計算.

計算：(1)(a－b＋c)2；(2)(1－2x＋y)(1＋2x－y)．針對訓練＝1－4x2＋4xy－y2.解：(1)原式＝[(a－b)＋c]2＝(a－b)2＋c2＋2(a－b)c＝a2－2ab＋b2＋c2＋2ac－2bc.(2)原式＝[1－(2x－y)][1＋(2x－y)]＝12－(2x－y)22.下列計算結果為2ab－a2－b2的是()A．(a－b)2B．(－a－b)2C．－(a＋b)2D．－(a－b)21.運用乘法公式計算

(a

-

2)2的結果是（

）

A．a(chǎn)2-

4a

+

4

B．a(chǎn)2-

2a

+

4

C．a(chǎn)2-

4

D．a(chǎn)2-

4a

-

4AD3.運用完全平方公式計算：(1)(6a+5b)2=__________________；(2)(4x-3y)2=__________________；(3)(2m-1)2=__________________；(4)(-2m-1)2=_________________.36a2+60ab+25b216x2-

24xy+9y24m2+4m+14m2

-4m+14.

由完全平方公式可知：32＋