專題05 平行線中的三種幾何模型全攻略（解析版）

專題05平行線中的三種幾何模型全攻略類型一、“M”模型例．如圖l，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，點(diǎn)在直線之間，連接．（1）直接寫出的度數(shù)為；（2）如圖2，平分，交的延長線于點(diǎn)證明：（3）如圖3，點(diǎn)在的延長線上，點(diǎn)在上，點(diǎn)在內(nèi)，連，則的值為．【答案】（1）108°；（2）見解析；（3）72°【詳解】（1）過點(diǎn)F作FG∥AB，∵CD∥AB，∴FG∥CD∥AB，∴∠AEF+∠EFG=180，∠CHF+∠GFH=180，∴∠AEF+∠CHF+∠EFH=360，又∵∠AEF+∠CHF=∠EFH，∴∠EFH+∠EFH=360，解得：∠EFH=108；故答案為：108；（2）過點(diǎn)F作∥AB，過點(diǎn)M作∥，設(shè)∠FHD=，∵AB∥CD，∴∥∥AB∥CD，∴∠=，∴∠3=∠EFH-∠=108°-，∴∠=∠3=108°-，∵∠1=∠2，∴∠1=，∵∥CD，∴∠=∠1，∴∠FMH+108°-=，∴2∠FMH+2108°-=180°-，∴-2∠FMH=36°，即∠FHD-2∠FMH=36°；（3）過點(diǎn)F作FG∥AB，延長NK交CD于Q，設(shè)∠FHD=，同理CD∥AB∥FG，∴∠GFH=∠FHD=，∴∠BEF=∠EFG=108-，∴∠PEB=180-∠BEF=180-108+=72+，∵，∴∠NEB=∠PEB=(72+)，∵NK∥FH，∴∠NQD=∠FHD=，∵CD∥AB，∴∠NKB=∠NQD=，∵∠NKB=∠NEB+∠ENK，∴=(72+)+∠ENK，∴=72+3∠ENK，故∠FHD-3∠ENK=72．例2.（1）如圖①，已知，圖中，，之間有什么關(guān)系？（2）如圖②，已知，圖中，，，之間有什么關(guān)系？（3）如圖③，已知，請直接寫出圖中，，，，之間的關(guān)系（4）通過以上3個(gè)問題，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？【答案】（1）∠2=∠1+∠3；（2）；（3）；（4）當(dāng)時(shí)，∠1+∠3+∠5+…+∠2n-1=∠2+∠4+…+∠2n．【詳解】解：（1）∠2=∠1+∠3，理由是：過E作EMAB，推出ABEMCD，過E作，∵ABCD，∴ABEMCD，∴∠1=∠NEM，∠3=∠MEO，∴∠NEO=∠NEM+∠MEO=∠1+∠3；∴∠2=∠1+∠3，（2）;理由如下：過E作，過F作∵，，∴∴同理：∴即：即：已知，圖中，，，之間關(guān)系：．（3）；理由如下：過點(diǎn)G，作由（2）可知：∵∴∴、即：（4）通過以上3個(gè)問題，發(fā)現(xiàn)：當(dāng)時(shí)，∠1+∠3+∠5+…+∠2n-1=∠2+∠4+…+∠2n．【變式訓(xùn)練1】已知直線，直線EF分別與直線a，b相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)A，B分別在直線a，b上，且在直線EF的左側(cè)，點(diǎn)P是直線EF上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)E，F(xiàn)重合），設(shè)∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動時(shí)，試說明∠1＋∠3＝∠2；(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段EF外運(yùn)動時(shí)有兩種情況．①如圖2寫出∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系并給出證明；②如圖3所示，猜想∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系（不要求證明）．【答案】(1)證明見詳解(2)①；證明見詳解；②；證明見詳解【詳解】（1）解：如圖4所示：過點(diǎn)作，∵∴∴，，∵，∴；（2）解：①如圖5過點(diǎn)作，∵∴∴，，∵，∴；②如圖6過點(diǎn)作，∵∴∴，，∵，∴．【變式訓(xùn)練2】如圖所示，，是兩直線內(nèi)部一點(diǎn).（1）與的平分線交于點(diǎn)，探究和之間的的數(shù)量關(guān)系.（2）如圖所示，，，與之間又有何數(shù)量關(guān)系？（3）若，，與之間又有又有何數(shù)量關(guān)系？【答案】（1）；（2）；（3）.【詳解】（1）.側(cè)M圖ABFDC知，由側(cè)M圖ABEDC知，所以.（2）.側(cè)M圖ABFDC知，因?yàn)?，，所以，由?cè)M圖ABEDC知，所以.（3）.側(cè)M圖ABFDC知，因?yàn)?，，所以，由?cè)M圖ABEDC知，所以.【變式訓(xùn)練3】如圖1，AB//CD，E是AB，CD之間的一點(diǎn)．(1)判定∠BAE，∠CDE與∠AED之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)如圖2，若∠BAE，∠CDE的角平分線交于點(diǎn)F，直接寫出∠AFD與∠AED之間的數(shù)量關(guān)系；(3)將圖2中的射線DC沿DE翻折交AF于點(diǎn)G得圖3，若∠AGD的余角等于2∠E的補(bǔ)角，求∠BAE的大?。敬鸢浮?1)；(2)；(3)【詳解】（1）∠BAE+∠CDE=∠AED理由如下：作EF∥AB，如圖1∵AB∥CD，∴EF∥CD∴∠1=∠BAE，∠2=∠CDE，∴∠BAE+∠CDE=∠AED（2）如圖2，由（1）的結(jié)論得∠AFD=∠BAF+∠CDF∵∠BAE、∠CDE的兩條平分線交于點(diǎn)F∴∠BAF=∠BAE，∠CDF=∠CDE，∴∠AFE=（∠BAE+∠CDE）∵∠BAE+∠CDE=∠AED∴∠AFD=∠AED（3）由（1）的結(jié)論得∠AGD=∠BAF+∠CDG而射線DC沿DE翻折交AF于點(diǎn)G∴∠CDG=4∠CDF∴∠AGD=∠BAF+4∠CDF=∠BAE+2∠CDE=∠BAE+2（∠AED-∠BAE）=2∠AED-∠BAE∵90°-∠AGD=180°-2∠AED∴90°-2∠AED+∠BAE=180°-2∠AED，∴∠BAE=60°【變式訓(xùn)練4】如圖，，點(diǎn)，為直線，上兩定點(diǎn)，．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在左側(cè)時(shí)，，，滿足數(shù)量關(guān)系為；(2)若平分，平分，；①如圖2，點(diǎn)在左側(cè)時(shí)，求的角度；②如圖3，點(diǎn)在右側(cè)，求的角度；(3)如圖4，平分，平分，，點(diǎn)在右側(cè)，若與的角平分線交于點(diǎn)，與的角平分線交于點(diǎn)；此次類推，則=．（直接寫出結(jié)果）【答案】(1)(2)①；②(3)【解析】（1）解：如圖，過點(diǎn)，，，，，，，，故答案為：；（2）①如圖，點(diǎn)在左側(cè)時(shí)，由（1）可得，，平分，平分，，，；②如圖，點(diǎn)在右側(cè)時(shí)，過點(diǎn)作，則，，，，平分，平分，，；（3）依題意由（2）②可知，，，，由（2）①可知，；同理可得，……，．類型二、鉛筆模型例．問題情景：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，求∠APC的度數(shù)．（1）麗麗同學(xué)看過圖形后立即口答出：∠APC＝85°，請補(bǔ)全她的推理依據(jù)．如圖2，過點(diǎn)P作PE∥AB，因?yàn)锳B∥CD，所以PE∥CD．（）所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（）因?yàn)椤螾AB＝140°，∠PCD＝135°，所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．問題遷移：（2）如圖3，AD∥BC，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動時(shí)，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD與∠α、∠β之間有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由．（3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請直接寫出∠CPD與∠α、∠β之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）平行于同一條直線的兩條直線平行（或平行公理推論），兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（2），理由見解析；（3）或【詳解】解：（1）如圖2，過點(diǎn)P作PE∥AB，因?yàn)锳B∥CD，所以PE∥CD．（平行于同一條直線的兩條直線平行）所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)）因?yàn)椤螾AB＝140°，∠PCD＝135°，所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．故答案為：平行于同一條直線的兩條直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（2）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：如圖3所示，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；（3）當(dāng)P在BA延長線時(shí)，如圖4所示：過P作PE∥AD交CD于E，同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠β-∠α；當(dāng)P在AB延長線時(shí)，如圖5所示：同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠α-∠β．綜上所述，∠CPD與∠α、∠β之間的數(shù)量關(guān)系為：∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β．【變式訓(xùn)練1】(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，直線????//????，E是AB與AD之間的一點(diǎn)，連接BE，CE，可以發(fā)現(xiàn)∠??+∠??=∠??????．請把下面的證明過程補(bǔ)充完整：證明：過點(diǎn)E作????//????，∵????//????(已知)，????//????(輔助線的作法)．∴????//????()．∴∠??=∠??????()∵????//????，∴∠??=∠??????(同理)．∴∠??+∠??=(等量代換)即∠??+∠??=∠??????．(2)拓展探究：如果點(diǎn)E運(yùn)動到圖②所示的位置，其他條件不變，進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)：∠??+∠??=360°?∠??????，請說明理由．(3)解決問題：如圖③，????//????，∠??=120°，∠??????=80°，請直接寫出∠??的度數(shù)．【答案】（1）平行于同一直線的兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；∠BEF+∠CEF；（2）見解析；（3）20°【詳解】解：（1）證明：如圖①，過點(diǎn)E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（輔助線的作法），∴EF∥DC（平行于同一直線的兩直線平行），∴∠C=∠CEF．（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵EF∥AB，∴∠B=∠BEF（同理），∴∠B+∠C=∠BEF+∠CEF（等量代換）即∠B+∠C=∠BEC，故答案為：平行于同一直線的兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；∠BEF+∠CEF；（2）證明：如圖②，過點(diǎn)E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（輔助線的作法），∴EF∥DC（平行于同一直線的兩直線平行），∴∠C+∠CEF=180°，∠B+∠BEF=180°，∴∠B+∠C+∠AEC=360°，∴∠B+∠C=360°-∠BEC；（3）解：如圖③，過點(diǎn)E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（輔助線的作法），∴EF∥DC（平行于同一直線的兩直線平行），∴∠C+∠CEF=180°，∠A=∠BEF，∵∠C=120°，∠AEC=80°，∴∠CEF=180°-120°=60°，∴∠BEF=80°-60°=20°，∴∠A=∠AEF=20°．故答案為：20°．【變式訓(xùn)練2】問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度數(shù)．思路點(diǎn)撥：小明的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)，可分別求出∠APE、∠CPE的度數(shù)，從而可求出∠APC的度數(shù)；小麗的思路是：如圖3，連接AC，通過平行線性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和的知識可求出∠APC的度數(shù)；小芳的思路是：如圖4，延長AP交DC的延長線于E，通過平行線性質(zhì)以及三角形外角的相關(guān)知識可求出∠APC的度數(shù)．問題解決：請從小明、小麗、小芳的思路中任選一種思路進(jìn)行推理計(jì)算，你求得的∠APC的度數(shù)為°；問題遷移：（1）如圖5，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動時(shí)，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；（2）在（1）的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請你直接寫出∠CPD、∠α、∠β間的數(shù)量關(guān)系．【答案】問題解決：110°；問題遷移：（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由見解析；（2）∠CPD＝∠β﹣∠α，理由見解析【詳解】解：小明的思路：如圖2，過P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE＝180°﹣∠A＝50°，∠CPE＝180°﹣∠C＝60°，∴∠APC＝50°+60°＝110°，故答案為：110；（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如圖5，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（2）當(dāng)P在BA延長線時(shí)，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如圖6，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；當(dāng)P在BO之間時(shí)，∠CPD＝∠α﹣∠β．理由：如圖7，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．【變式訓(xùn)練3】（1）問題情境：如圖1，AB//CD，∠PAB=120°，∠PCD=130°，求∠APC的度數(shù)．小辰的思路是：如圖2，過點(diǎn)P作PE//AB，通過平行線性質(zhì)，可求得∠APC的度數(shù)，請寫出具體求解過程．（2）問題遷移：①如圖3，AD//BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P在A，B兩點(diǎn)之間運(yùn)動時(shí)，設(shè)∠CPD=∠，∠ADP=，∠BCP=∠，問：∠、、∠之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由．②在①的條件下，如果點(diǎn)P不在A，B兩點(diǎn)之間運(yùn)動（點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，O三點(diǎn)不重合），請直接寫出∠、、∠間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)110°；（2）①；②或【詳解】解：（1）如圖，過點(diǎn)P作PE//AB，則由平行線的性質(zhì)可得PE//CD，所以：，所以：，所以，；（2）①，理由如下：如圖，過P作PQ//AD交DC于Q，則由平行線的性質(zhì)得PQ//BC，所以：，∵，∴；②分兩種情況討論：第一種情況，P在射線AM上，如圖，過P作PQ//AD交射線DN于Q，則由平行線的性質(zhì)得PQ//BC，所以：；第二種情況，點(diǎn)P在OB之間，如圖，過P作PQ//AD交射線OD于Q，則由平行線的性質(zhì)得PQ//BC，所以：類型三、鋤頭模型例．已知，AB∥CD．點(diǎn)M在AB上，點(diǎn)N在CD上．（1）如圖1中，∠BME、∠E、∠END的數(shù)量關(guān)系為：；（不需要證明）如圖2中，∠BMF、∠F、∠FND的數(shù)量關(guān)系為：；（不需要證明）（2）如圖3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度數(shù)；（3）如圖4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，則∠FEQ的大小是否發(fā)生變化，若變化，請說明理由，若不變化，求出∠FEQ的度數(shù)．【答案】（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不變，30°【詳解】解：（1）過E作EH∥AB，如圖1，∴∠BME＝∠MEH，∵AB∥CD，∴HE∥CD，∴∠END＝∠HEN，∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，即∠BME＝∠MEN﹣∠END．如圖2，過F作FH∥AB，∴∠BMF＝∠MFK，∵AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠FND＝∠KFN，∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．故答案為∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，∵2∠MEN＋∠MFN＝180°，∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF﹣∠FND＝180°，∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF﹣∠FND＝180°，即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF﹣∠FND＝180°，解得∠BMF＝60°，∴∠FME＝2∠BMF＝120°；（3）∠FEQ的大小沒發(fā)生變化，∠FEQ＝30°．由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END，∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，∴∠FEN＝∠MEN＝（∠BME＋∠END），∠ENP＝∠END，∵EQ∥NP，∴∠NEQ＝∠ENP，∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝（∠BME＋∠END）﹣∠END＝∠BME，∵∠BME＝60°，∴∠FEQ＝×60°＝30°．【變式訓(xùn)練1】（1）如圖，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度數(shù)；（2）如圖，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍與∠E的補(bǔ)角的和為190°，求∠ABE的度數(shù)．（3）如圖，P為（2）中射線BE上一點(diǎn)，G是CD上任一點(diǎn)，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度數(shù)．【答案】（1）∠ABE=40°；（2）∠ABE=30°；（3）∠MGN=15°．【詳解】解：（1）過E作EMAB，∵ABCD，∴CDEMAB，∴∠ABE＝∠BEM，∠DCE＝∠CEM，∵CF平分∠DCE，∴∠DCE＝2∠DCF，∵∠DCF＝30°，∴∠DCE＝60°，∴∠CEM＝60°，又∵∠CEB＝20°，∴∠BEM＝∠CEM﹣∠CEB＝40°，∴∠ABE＝40°；（2）過E作EMAB，過F作FNAB，∵∠EBF＝2∠ABF，∴設(shè)∠ABF＝x，∠EBF＝2x，則∠ABE＝3x，∵CF平分∠DCE，∴設(shè)∠DCF＝∠ECF＝y(tǒng)，則∠DCE＝2y，∵ABCD，∴EMABCD，∴∠DCE＝∠CEM＝2y，∠BEM＝∠ABE＝3x，∴∠CEB＝∠CEM﹣∠BEM＝2y﹣3x，同理∠CFB＝y(tǒng)﹣x，∵2∠CFB+（180°﹣∠CEB）＝190°，∴2（y﹣x）+180°﹣（2y﹣3x）＝190°，

∴x＝10°，∴∠ABE＝3x＝30°；（3）過P作PLAB，∵GM平分∠DGP，∴設(shè)∠DGM＝∠PGM＝y(tǒng)，則∠DGP＝2y，∵PQ平分∠BPG，∴設(shè)∠BPQ＝∠GPQ＝x，則∠BPG＝2x，∵PQGN，∴∠PGN＝∠GPQ＝x，∵ABCD，∴PLABCD，

∴∠GPL＝∠DGP＝2y，∠BPL＝∠ABP＝30°，∵∠BPL＝∠GPL﹣∠BPG，∴30°＝2y﹣2x，∴y﹣x＝15°，∵∠MGN＝∠PGM﹣∠PGN＝y(tǒng)﹣x，∴∠MGN＝15°．【變式訓(xùn)練2】已知，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，于．（1）如圖1，點(diǎn)在兩條平行線外，則與之間的數(shù)量關(guān)系為______；（2）點(diǎn)在兩條平行線之間，過點(diǎn)作于點(diǎn)．①如圖2，說明成立的理由；②如圖3，平分交于點(diǎn)平分交于點(diǎn)．若，求的度數(shù)．【答案】（1）∠A+∠C=90°；（2）①見解析；②105°【詳解】解：（1）如圖1，AM與BC的交點(diǎn)記作點(diǎn)O，∵AM∥CN，∴∠C=∠AOB，