第一章1.11.1.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算課件高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性

空間向量的數(shù)量積運(yùn)算第一章

空間向量及其運(yùn)算1.了解空間向量的夾角.2.掌握空間向量的數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律及計(jì)算方法.3.了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義.4.掌握兩個(gè)向量的數(shù)量積在判斷垂直中的應(yīng)用，掌握利用向量數(shù)量積求

空間兩點(diǎn)間的距離.學(xué)習(xí)目標(biāo)在平面向量中已經(jīng)學(xué)過兩個(gè)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，由于任意兩個(gè)空間向量都可以通過平移轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的向量，因此，兩個(gè)空間向量的夾角和數(shù)量積就可以像平面向量那樣來定義.導(dǎo)語隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練一、空間向量的夾角二、空間向量的數(shù)量積運(yùn)算三、利用空間向量數(shù)量積的性質(zhì)求模長內(nèi)容索引一、空間向量的夾角定義已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作則

叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉范圍________________向量垂直如果〈a，b〉＝

，那么向量a，b互相垂直，記作a

b知識(shí)梳理∠AOB⊥0≤〈a，b〉≤π例1

(1)對(duì)于空間任意兩個(gè)非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件√解析顯然〈a，b〉＝0?a∥b，但a∥b包括向量a，b同向共線和反向共線兩種情況，即當(dāng)a∥b時(shí)，〈a，b〉＝0或π，因此a∥b?〈a，b〉＝0.故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分條件.解連接BD(圖略)，則在正方體ABCD－A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′，反思感悟(1)只有兩個(gè)非零空間向量才有夾角，當(dāng)兩個(gè)非零空間向量共線同向時(shí)，夾角為0，共線反向時(shí)，夾角為π.(2)對(duì)空間任意兩個(gè)非零向量a，b有：①〈a，b〉＝〈b，a〉；②〈－a，b〉＝〈a，－b〉；③〈－a，－b〉＝〈a，b〉.A.30°

B.60°°

D.120°√二、空間向量的數(shù)量積運(yùn)算1.(1)空間向量的數(shù)量積已知兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝

.零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即0·a＝

.(2)運(yùn)算律|a||b|·cos〈a，b〉0知識(shí)梳理數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律(λa)·b＝

，λ∈R交換律a·b＝____分配律a·(b＋c)＝________λ(a·b)b·aa·b＋a·c2.向量的投影(1)如圖①，在空間，向量a向向量b投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個(gè)平面α內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉

向量c稱為向量a在向量b上的投影向量.類似地，可以將向量a向直線l投影(如圖②).(2)如圖③，向量a向平面β投影，就是分別由向量a的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B作平面β的垂線，垂足分別為A′，B′，得到向量

，向量

稱為向量a在平面β上的投影向量.這時(shí)，向量a，

的夾角就是向量a所在直線與平面β所成的角.注意點(diǎn)：(1)向量a，b的數(shù)量積記為a·b，而不能表示為a×b或者ab.(2)向量的數(shù)量積的結(jié)果為實(shí)數(shù)，而不是向量，它可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零，其符號(hào)由夾角θ的范圍決定.①當(dāng)θ為銳角時(shí)，a·b>0；但當(dāng)a·b>0時(shí)，θ不一定為銳角，因?yàn)棣纫部赡転?.②當(dāng)θ為鈍角時(shí)，a·b<0；但當(dāng)a·b<0時(shí)，θ不一定為鈍角，因?yàn)棣纫部赡転棣?(3)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算不滿足消去律和結(jié)合律.例2

如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，計(jì)算：反思感悟由向量數(shù)量積的定義知，要求a與b的數(shù)量積，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a與b的夾角與方向有關(guān)，一定要根據(jù)方向正確判定夾角的大小，才能使a·b計(jì)算準(zhǔn)確.跟蹤訓(xùn)練2

已知空間向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，則a·b＋b·c＋c·a的值為______.解析∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，－13三、利用空間向量數(shù)量積的性質(zhì)求模長問題類比平面向量數(shù)量積的性質(zhì)，給出空間向量數(shù)量積的性質(zhì).提示(1)若a，b為非零向量，則a⊥b?a·b＝0；(4)|a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a，b共線時(shí)等號(hào)成立).例3

如圖，已知一個(gè)60°的二面角的棱上有兩點(diǎn)A，B，AC，BD分別是在這兩個(gè)面內(nèi)且垂直于AB的線段.又知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的長.解∵CA⊥AB，BD⊥AB，反思感悟用數(shù)量積求兩點(diǎn)間距離的步驟(1)將兩點(diǎn)間的連線用向量表示；(2)用其他向量表示此向量；(3)用公式a·a＝|a|2，求|a|.跟蹤訓(xùn)練3已知在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝AD＝1，且這三條棱彼此之間的夾角都是60°，則AC1的長為√則|a|＝|b|＝|c|＝1，且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，1.知識(shí)清單：

(1)空間向量的夾角、投影.(2)空間向量數(shù)量積、性質(zhì)及運(yùn)算律.2.方法歸納：化歸轉(zhuǎn)化.3.常見誤區(qū)：(1)數(shù)量積的符號(hào)由夾角的余弦值決定.(2)當(dāng)a≠0時(shí)，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0.課堂小結(jié)隨堂演練1.(多選)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列各組向量的夾角為45°的是√1234√√12343.若a，b為空間夾角是60°的兩個(gè)單位向量，則|a－b|＝____.12341解析|a－b|2＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝1.∴|a－b|＝1.60°

11234解析方法一連接A1D(圖略)，1234即△PA1D為等邊三角形，從而∠PA1D＝60°，方法二

根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得1234課時(shí)對(duì)點(diǎn)練1.在正四面體A－BCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AC，AD的中點(diǎn)，

的夾角為A.30°°°°√基礎(chǔ)鞏固123456789101112131415162.已知向量a和b的夾角為120°，且|a|＝2，|b|＝5，則(2a－b)·a等于√123456789101112131415163.已知兩異面直線的方向向量分別為a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝

則兩直線的夾角為A.30°°°

D.150°√12345678910111213141516則兩個(gè)方向向量對(duì)應(yīng)的直線的夾角為180°－120°＝60°.4.(多選)如圖所示，已知空間四邊形每條邊和對(duì)角線長都為a，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，DC的中點(diǎn)，則下列向量的數(shù)量積等于a2的是√12345678910111213141516√5.平行六面體(底面為平行四邊形的四棱柱)ABCD－A1B1C1D1的所有棱長都為1，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，∠DAB＝45°，則BD1等于√12345678910111213141516123456789101112131415166.(多選)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列命題是真命題的是√12345678910111213141516√123456789101112131415167.已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，則|a－b|＝_____.22解析|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝132＋2a·b＋192＝242，∴2a·b＝46，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝530－46＝484，故|a－b|＝22.123456789101112131415168.已知a＋3b與7a－5b垂直，且a－4b與7a－2b垂直，則〈a，b〉＝_____.60°解析由條件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0，(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，兩式相減得46a·b＝23|b|2，12345678910111213141516所以〈a，b〉＝60°.9.已知在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E為側(cè)面AB1的中心，F(xiàn)為A1D1的中點(diǎn)，試計(jì)算：12345678910111213141516則|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.123456789101112131415161234567891011121314151610.如圖所示，在空間四面體OABC中，OA，OB，OC兩兩成60°角，且OA＝OB＝OC＝2，E為OA的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，試求E，F(xiàn)間的距離.1234567891011121314151611.如圖，在大小為45°的二面角A－EF－D中，四邊形ABFE，CDEF都是邊長為1的正方形，則B，D兩點(diǎn)間的距離是√12345678910111213141516綜合運(yùn)用12.如圖，已知在平行四邊形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，則PC＝_____.123456789101112131415167解析∵OA，OB，OC兩兩