專題13用相似三角形解決問題-備戰(zhàn)2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試真題匯編（蘇科版）（解析版）

專題13用相似三角形解決問題一．選擇題（共4小題）1．（2020秋?亭湖區(qū)校級期末）張華同學(xué)的身高為160厘米，某一時(shí)刻他在陽光下的影子長為200厘米，與他相鄰近的一棵樹的影子長為6米，則這棵樹的高為（）米．A．3.2 B．4.8 C．5.2 D．5.6【分析】設(shè)這棵樹高度為h，根據(jù)同一時(shí)刻物高與影長成正比列出關(guān)于h的方程，求出h的值即可．【解答】解：設(shè)這棵樹高度為hm，∵同一時(shí)刻物高與影長成正比，∴160200解得：h＝4.8．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，熟知同一時(shí)刻物高與影長成正比是解答此題的關(guān)鍵．2．（2022春?吳江區(qū)期末）如圖，小明在A時(shí)測得某樹的影長為8m，B時(shí)又測得該樹的影長為2m，若兩次日照的光線互相垂直，則樹的高度為（）m．A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根據(jù)題意，畫出示意圖，易得：△EDC∽△FDC，進(jìn)而可得EDDC=DCFD，即DC2＝【解答】解：根據(jù)題意，作△EFC，樹高為CD，且∠ECF＝90°，ED＝2m，F(xiàn)D＝8m；∵∠E+∠F＝90°，∠E+∠ECD＝90°，∴∠ECD＝∠F，∴△EDC∽△CDF，∴EDCD=DCDF，即DC2＝ED?FD＝2×解得CD＝4m．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，熟知相似三角形的對應(yīng)邊成比例是解答此題的關(guān)鍵．3．（2020秋?濱湖區(qū)期末）有一個(gè)三角形木架三邊長分別是15cm，20cm，24cm，現(xiàn)要再做一個(gè)與其相似的三角形木架，而只有長為12cm和24cm的兩根木條．要求以其中一根為一邊，從另一根截下兩段作為另兩邊（允許有余料），則不同的截法有（）A．一種 B．兩種 C．三種 D．四種【分析】分類討論：長24cm的木條與三角形木架的最長邊相等，則長24cm的木條不能作為一邊，設(shè)從24cm的一根上截下的兩段長分別為xcm，ycm（x+y≤24），易得長12cm的木條不能與15cm的一邊對應(yīng)，所以當(dāng)長12cm的木條與20cm的一邊對應(yīng)時(shí)有x15=y24=1220；當(dāng)長12cm的木條與24cm【解答】解：長24cm的木條與三角形木架的最長邊相等，要滿足兩邊之和大于第三邊，則長24cm的木條不能作為一邊，設(shè)從24cm的木條上截下兩段長分別為xcm，ycm（x+y≤24），由于長12cm的木條不能與15cm的一邊對應(yīng)，否則x+y＞24cm，當(dāng)長12cm的木條與20cm的一邊對應(yīng)，則x15解得：x＝9，y＝14.4；當(dāng)長12cm的木條與24cm的一邊對應(yīng)，則x15解得：x＝7.5，y＝10．∴有兩種不同的截法：把24cm的木條截成9cm、14.4cm兩段或把24cm的木條截成7.5cm、10cm兩段．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用：通常構(gòu)建三角形相似，然后利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對應(yīng)邊的比相等進(jìn)行幾何計(jì)算．4．（2021秋?海陵區(qū)校級期末）如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)是BC邊上一點(diǎn)，連接AF，以AF為斜邊作等腰直角三角形AEF．有下列四個(gè)結(jié)論：①∠CAF＝∠DAE；②FC=2DE；③當(dāng)∠AEC＝135°時(shí)，E為△ADC的內(nèi)心；④若點(diǎn)F在BC上以一定的速度，從B往C運(yùn)動，則點(diǎn)E與點(diǎn)FA．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可以判斷①；根據(jù)△DEF，△ADC是等腰直角三角形，可得AC=2AD，AF=2AE，所以AFAE=ACAD=2，因?yàn)椤螩AF＝∠DAE，所以△CAF∽△DAE，進(jìn)而可以判斷②；證明△ADE≌△CDE（SAS），進(jìn)而可得∠EAC＝∠ECA＝22.5°，可得CE，AE分別平分∠DCA，∠CAD，DE平分∠ADC，得點(diǎn)E是△ADC角平分線的交點(diǎn)，進(jìn)而可以判斷③；根據(jù)正方形的性質(zhì)可得當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)O重合；當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，點(diǎn)E的運(yùn)動軌跡為線段OD，點(diǎn)F的運(yùn)動軌跡是線段BC，BC＝【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∠DAC＝∠DCA＝45°，∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠EAF＝∠DAC＝45°，∴∠EAF﹣∠CAE＝∠DAC﹣∠CAE，∴∠CAF＝∠DAE，故①正確；∵△DEF，△ADC是等腰直角三角形，∴AC=2AD，AF=∴AFAE∵∠CAF＝∠DAE，∴△CAF∽△DAE，∴FCDE∴FC=2DE∵△CAF∽△DAE，∴∠ACF＝∠ADE＝45°，∵∠ADC＝90°，∴∠ADE＝∠CDE＝45°，在△ADE和△CDE中，AD=CD∠ADE=∠CDE∴△ADE≌△CDE（SAS），∴AE＝CE，∴∠EAC＝∠ECA，∵∠AEC＝135°，∴∠EAC＝∠ECA＝22.5°，∵∠DAC＝∠DCA＝45°＝2∠EAC＝2∠ECA，∴CE，AE分別平分∠DCA，∠CAD，∵∠ADE＝∠CDE＝45°，∴DE平分∠ADC，∴點(diǎn)E是△ADC角平分線的交點(diǎn)，∴E為△ADC的內(nèi)心，故③正確；如圖，連接BD交AC于點(diǎn)O，∵∠ADE＝∠CDE＝45°，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)O重合；當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，∴點(diǎn)E的運(yùn)動軌跡為線段OD，點(diǎn)F的運(yùn)動軌跡是線段BC，∵BC＝CD=2OD，且點(diǎn)F與點(diǎn)E∴vF=2vE∴點(diǎn)F與點(diǎn)E的運(yùn)動速度不相同，故④錯(cuò)誤．綜上所述：正確的結(jié)論是①②③，共3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)評】本題屬于幾何綜合題，是中考選擇題的壓軸題，考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形，正方形的性質(zhì)，勾股定理，點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，解決本題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)E的運(yùn)動軌跡．二．填空題（共4小題）5．（2021秋?常州期末）如圖，某班學(xué)生興趣小組結(jié)合課堂所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，利用木棒估測旗桿的高度．當(dāng)學(xué)生甲的眼睛在點(diǎn)A處看學(xué)生乙所舉的木棒DE時(shí)，發(fā)現(xiàn)旗桿BC恰好被木棒完全擋住．若DE∥BC，DE長為1.2m，測得此時(shí)點(diǎn)A到木棒和旗桿的距離分別為2m和20m，則旗桿BC的高度是12m．【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC∵DE＝1.2m，AD＝2m，AB＝20m，∴1.∴BC＝12，答：旗桿BC的高度是12m，故答案為：12m．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．6．（2022春?工業(yè)園區(qū)期末）如圖是一位同學(xué)用激光筆測量某古城墻高度的示意圖．點(diǎn)P處放一水平的平面鏡，光線從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好到古城墻CD的頂端C處，若AB⊥BD，CD⊥BD，測得AB＝1.5m，BP＝2m，PD＝6m，則該古城墻的高度CD是4.5m．【分析】根據(jù)題意可得∠APB＝∠CPD，根據(jù)垂直定義可得∠ABD＝∠CDB＝90°，從而可證△ABP∽△CDP，然后利用相似三角形的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：由題意得：∠APB＝∠CPD，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°，∴△ABP∽△CDP，∴ABCD∴1.∴CD＝4.5，∴該古城墻的高度CD是4.5m，故答案為：4.5．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2020秋?鎮(zhèn)江期末）如圖，光源P在水平橫桿AB的上方，照射橫桿AB得到它在平地上的影子為CD（點(diǎn)P、A、C在一條直線上，點(diǎn)P、B、D在一條直線上），不難發(fā)現(xiàn)AB∥CD．已知AB＝1.5m，CD＝4.5m，點(diǎn)P到橫桿AB的距離是1m，則點(diǎn)P到地面的距離等于3m．【分析】易得△PAB∽△PCD，利用相似三角形對應(yīng)邊的比等于對應(yīng)高的比可得AB與CD間的距離．【解答】解：如圖，作PF⊥CD于點(diǎn)F，∵AB∥CD，∴△PAB∽△PCD，PE⊥AB，∴△PAB∽△PCD，∴ABCD即：1.解得PF＝3．故答案為：3．【點(diǎn)評】考查相似三角形的應(yīng)用；用到的知識點(diǎn)為：相似三角形對應(yīng)邊的比等于對應(yīng)高的比．8．（2021秋?淮陰區(qū)期末）如圖，長為2m的竹竿與樹的頂端的影子恰好落在地面的同一點(diǎn)，竹竿與這一點(diǎn)相距6m，與樹相距15m，則樹的高度為7m．【分析】此題中，竹竿、樹以及經(jīng)過竹竿頂端和樹頂端的太陽光構(gòu)成了一組相似三角形，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求得樹的高度．【解答】解：如圖；AD＝6m，AB＝21m，DE＝2m；由于DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，得：DEBC=AD解得：BC＝7，故樹的高度位7m．故答案是：7．【點(diǎn)評】此題考查了相似三角形在測量高度時(shí)的應(yīng)用；解題的關(guān)鍵是找出題中的相似三角形，并建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決問題．三．解答題（共4小題）9．（2021秋?通州區(qū)期末）如圖，折疊矩形ABCD的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處．折痕AE＝510，且tan∠EFC=4（1）求證：△AFB∽△FEC；（2）求矩形ABCD的周長；（3）若點(diǎn)G為線段BC上一點(diǎn)，當(dāng)∠GAE＝45°時(shí)，直接寫出線段CG的長．【分析】（1）利用同角的余角相等可得∠BAF＝∠CFE，再由∠B＝∠C，可證明結(jié)論；（2）設(shè)EC＝4x，F(xiàn)C＝3x，則EF＝5x，由△AFB∽△FEC，得AF5x=9x3x，則有AF＝（3）過點(diǎn)G作GH⊥AF于H，利用AAS證明△ABG≌△AHG，得AH＝AB＝9，再利用△GFH∽△FCE，得GF5=64【解答】（1）證明：如圖，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴∠BAF+∠AFB＝90°．由折疊可得∠AFE＝∠D＝90°，∴∠AFB+∠CFE＝90°，∴∠BAF＝∠CFE，又∵∠B＝∠C，∴△AFB∽△FEC；（2）解：∵在Rt△EFC中，tan∠∴設(shè)EC＝4x，F(xiàn)C＝3x，∴EF=E由折疊可得DE＝EF＝5x，∴矩形ABCD中，AB＝CD＝DE+CE＝9x，∵△AFB∽△FEC，∴AFFE∴AF5∴AF＝15x，∴AE=A又∵AE=5∴x＝1，∴AD＝BC＝AF＝15，AB＝CD＝9，∴矩形ABCD的周長為48；（3）解：過點(diǎn)G作GH⊥AF于H，∵∠GAE＝45°，∠BAD＝90°，∴∠BAG+∠DAE＝45°，∵∠FAE＝∠DAE，∴∠BAG＝∠GAH，∵AG＝AG，∠B＝∠AHG＝90°，∴△ABG≌△AHG（AAS），∴AH＝AB＝9，∴HF＝AF﹣AH＝15﹣9＝6，∵∠GFH＝∠FEC，∠GHF＝∠C，∴△GFH∽△FCE，∴GFEF∴GF5解得：GF=15∴CG＝CF+GF=21【點(diǎn)評】本題是相似形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明△ABG≌△AHG，熟悉一線三等角模型是解題的關(guān)鍵．10．（2021秋?海州區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，在線段AB上，動點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)B做勻速運(yùn)動，同時(shí)動點(diǎn)N從B出發(fā)向點(diǎn)A做勻速運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)M、N其中一點(diǎn)停止運(yùn)動時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動，分別過點(diǎn)M、N作AB的垂線，分別交兩直角邊于點(diǎn)D、E，連接DE，若運(yùn)動時(shí)間為t秒，在運(yùn)動過程中四邊形DENM總為矩形（點(diǎn)M、N重合除外）．（1）寫出圖中與△ABC相似的三角形；（2）如圖，設(shè)DM的長為x，矩形DENM面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)x為何值時(shí)，矩形DENM面積最大？最大面積是多少？（3）在運(yùn)動過程中，若點(diǎn)M的運(yùn)動速度為每秒1個(gè)單位長度，求點(diǎn)M，N相遇前點(diǎn)N的運(yùn)動速度．求t為多少秒時(shí)，矩形DEMN為正方形？【分析】（1）根據(jù)△ABC∽△ADM∽△DEC∽△EBN，可得共有6組不同的相似三角形；（2）先求出CH，進(jìn)而表示出CG，再用相似三角形的對應(yīng)高的比等于相似比表示出DE，即可表示出S，即可求出答案；（3）根據(jù)△ADM∽△ABC，AM＝t，可得AMAC=MDBC，即t3=DM4，即可得出DM=43t，EN＝DM=43t，再根據(jù)△BEN∽△BAC，得出BNBC=EN當(dāng)點(diǎn)N、M相遇時(shí)，有169t+t＝5，解得t=95；當(dāng)點(diǎn)N、M相遇后繼續(xù)運(yùn)動，點(diǎn)N先到達(dá)A點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)M停止運(yùn)動，則有169t＝5，解得t=4516，若矩形DENM為正方形，則DM＝MN，根據(jù)DM＝【解答】解：（1）∵四邊形DENM為矩形，∴DE∥AB，∠AMD＝∠ENB＝90°，∵∠C＝90°，∴∠AMD＝∠ENB＝∠C＝90°，∴△ABC∽△ADM∽△DEC∽△EBN，∴共有6組不同的相似三角形；（2）如圖，過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，交DE于G，∵DE∥AB，∴CH⊥DE，∴四邊形DMHG為矩形，∴HG＝DM＝x，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，根據(jù)勾股定理得，AB＝5，∴S△ABC=12AB?CH=12∴CH=AC?BC∴CG＝CH﹣HG=125由（1）知，△CDE∽△CAB，∴DEAB∴DE5∴DE＝5-512∴S＝S矩形DENM＝DM?DE＝x?（5-512x）=-512（x﹣6∵CH=12∴0＜x＜12∴當(dāng)x=125時(shí)，S最大，最大值為（3）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，當(dāng)點(diǎn)M，N相遇前，∵在運(yùn)動過程中四邊形DENM總為矩形，∴∠AMD＝∠BNE＝90°，∴△ADM∽△ABC，由題得：AM＝t，∴AMAC=MD∴DM=43∴EN＝DM=43同理可得，△BEN∽△BAC，∴BNBC=EN∴NB=169∴點(diǎn)N的運(yùn)動速度：169t÷t=∴點(diǎn)N的運(yùn)動速度為每秒169個(gè)當(dāng)點(diǎn)N、M相遇時(shí)，有169t+t＝5∴0＜t＜9∵DM=43t，MN＝5﹣t-169t＝∴43t＝5-25解得t=45綜上所述，點(diǎn)N的速度為每秒169個(gè)單位長度，當(dāng)t=4537【點(diǎn)評】本題屬于相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例列出比例式進(jìn)行計(jì)算．解題時(shí)注意分類思想的運(yùn)用．11．（2021秋?贛榆區(qū)期末）以下各圖均是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，圖中的點(diǎn)A、B、C、D均在格點(diǎn)上．（1）在圖①中，PDPA=1：3；（填（2）利用網(wǎng)格和無刻度的直尺作圖，保留痕跡，不寫作法．①如圖②，在線段AB上找一點(diǎn)P，使APBP②如圖③，在線段BC上找一點(diǎn)P，使△APB∽△CPD．【分析】（1）如圖①中，利用平行線的性質(zhì)求解即可．（2）①如圖②中，取格點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF交AB于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作．②如圖③中，取格點(diǎn)T，連接CT交BD于點(diǎn)P，連接PA，點(diǎn)P即為所求作．【解答】解：（1）如圖①中，∵AB∥CD，∴PDPA故答案為：1：3．（2）①如圖②中，點(diǎn)P即為所求作．②如圖③中，點(diǎn)P即為所求作．【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．12．（2022春?工業(yè)園區(qū)校級期末）如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝1，AB＝BC＝4，CD＝5．（1）求梯形ABCD的面積S；（2）動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速度，沿B→A→D→C方向，向點(diǎn)C運(yùn)動：動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/s的速度，沿C→D→A方向，向點(diǎn)A運(yùn)動，過點(diǎn)Q作QELBC于點(diǎn)E．若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)目的地時(shí)整個(gè)運(yùn)動隨之結(jié)束，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒．問：①在運(yùn)動過程中，是否存在這樣的t，使得以P、D、Q為頂點(diǎn)的三角形恰好是以DP為底的等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．②在運(yùn)動過程中，是否存在這樣的t，使得以P、A、D為頂點(diǎn)的三角形與△COE相似？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）作DF∥AB，交BC于F，可證得△DFC是直角三角形，進(jìn)而求得梯形的面積；（2）只存在點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在CD上時(shí)：PQ＝DQ，作QH⊥AB于H，在直角三角形PQG中，表示出PQ2，進(jìn)而根據(jù)PQ2＝DQ2列出方程；（3）存在點(diǎn)P在AB上，Q點(diǎn)在CD上情形：△PAD∽△QEC和△PAD∽△CEQ，進(jìn)而列出比例式求得結(jié)果．【解答】解：（1）如圖1，作DF∥AB，交BC于F，∵AD∥BC，∴四邊形ABFD是平行四邊形，∴DF＝AB＝3，BF＝AD＝1，∴CF＝BC﹣BF＝3，∴CF2+DF2＝CD2，∴∠DFF＝90°，∴∠ABC＝∠DFC＝90°，∴S梯形ABCD（2）①如圖2，作QH⊥AB于H，∵∠B＝∠QEB＝90°，∴四邊形BEQG是矩形，∴BG＝EQ，QG＝BE，∵EQ∥DF，∴△CEQ∽△CFD，∴EQDF∴EQ4∴CE=35t，∴BG=45t，QG＝BE＝BC﹣CE＝4在Rt△PQG中，PG＝BP﹣BG＝t-4∴PQ2＝PG2+QG2＝（15t）2+（4-35由PQ2＝DQ2得，（15t）2+（4-35t）2＝（5﹣∴t1=13-343，∴當(dāng)t=13-343時(shí)，使得以P、D、②如圖3，當(dāng)△PAD∽△QEC時(shí)，∵∠A＝∠QEC＝90°，∴PAAD∴AP1∴AP=4∴t＝4-4當(dāng)△PAD∽△CEQ時(shí)，PAAD∴PA1∴PA=3∴t＝4-3綜上所述：t=83或【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的逆定理，等腰三角形等知識，解決問題的關(guān)鍵是畫出符合條件的圖形，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例列出方程．一．選擇題（共4小題）1．（2020秋?啟東市校級月考）如圖，在△ABC，AB＝AC＝a，點(diǎn)D是邊BC上的一點(diǎn)，且BD＝a，AD＝DC＝1，則a等于（）A．5+12 B．5-12 C【分析】利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程求解即可．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠C，∴∠DAC＝∠B，∵∠C＝∠C，∴△CDA∽△CAB，∴CDCA∴CA2＝CD?CB，∵CA＝a，BD＝a，CD＝1，∴CB＝1+a，∴a2＝1?（1+a），∴a2﹣a﹣1＝0，∴a=1+5故選：A．【點(diǎn)評】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，一元二次方程等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．2．（2021秋?惠山區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，E，F(xiàn)是線段AB上的兩個(gè)動點(diǎn)，且∠ECF＝45°，過點(diǎn)E，F(xiàn)分別作BC，AC的垂線相交于點(diǎn)M，垂足分別為H，G．有以下結(jié)論：①AB=2；②當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，MH=12；③△ACE∽△BFC；④AF+BEA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】①由題意知，△ABC是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形即可作出判斷；②如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)H與點(diǎn)B重合，可得MG∥BC，四邊形MGCB是矩形，進(jìn)一步得到FG是△ACB的中位線，從而作出判斷；③根據(jù)AA可證△ACE∽△BFC；④如圖2所示，SAS可證△ECF≌△ECD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和勾股定理即可作出判斷．【解答】解：①由題意知，△ABC是等腰直角三角形，則AB=A②如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)H與點(diǎn)B重合，∴MB⊥BC，∠MBC＝90°，∵M(jìn)G⊥AC，∴∠MGC＝90°＝∠C＝∠MBC，∴MG∥BC，四邊形MGCB是矩形，∴MH＝MB＝CG，∵∠FCE＝45°＝∠ABC，∠A＝∠ACF＝45°，∴CE＝AF＝BF，∴FG是△ACB的中位線，∴GC=12AC＝④如圖2所示，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠5＝45°．將△ACF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△BCD，則CF＝CD，∠1＝∠4，∠A＝∠6＝45°；BD＝AF；∵∠2＝45°，∴∠1+∠3＝∠3+∠4＝45°，∴∠DCE＝∠2．在△ECF和△ECD中，CF=CD∠∴△ECF≌△ECD（SAS），∴EF＝DE．∵∠5＝45°，∴∠BDE＝90°，∴DE2＝BD2+BE2，即EF2＝AF2+BE2，故④錯(cuò)誤；③∵∠7＝∠1+∠A＝∠1+45°＝∠1+∠2＝∠ACE，∵∠A＝∠5＝45°，∴△ACE∽△BFC，故③正確．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了相似形綜合題，涉及的知識點(diǎn)有：等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．3．（2021秋?崇川區(qū)校級月考）如圖，有一塊形狀為Rt△ABC的斜板余料，∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，要把它加工成一個(gè)形狀為?DEFG的工件，使GF在邊BC上，D、E兩點(diǎn)分別在邊AB、AC上，若點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，則S?DEFG的面積為（）cm2．A．10 B．12 C．14 D．16【分析】由勾股定理得出BC的長，由三角形的面積公式求出三角形的高AM，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出平行四邊形DGFE的高，進(jìn)而得出答案．【解答】解：過點(diǎn)A作AM⊥BC，交DE于點(diǎn)N，在Rt△ABC中，∵AB＝6cm，AC＝8cm，∴BC=AB2+A∵S△ABC=12AB?AC=12∴AM=AB?AC即AM=6×810=4∵四邊形DEFG是平行四邊形，∴DE∥BC．又∵點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，∴DE=12BC＝5∴DE＝FG＝5cm，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC∴AN＝MN=12AM＝2.4∴?DEFG的面積為：FG?MN＝5×2.4＝12（cm2）．故選：B．【點(diǎn)評】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，正確作出輔助線且根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)得出平行四邊形的高M(jìn)N是解決問題的關(guān)鍵解題關(guān)鍵．4．（2022秋?惠山區(qū)校級月考）如圖，已知在矩形ABCD中，M是AD邊的中點(diǎn)，BM與AC垂直，交直線AC于點(diǎn)N，連接DN，則下列四個(gè)結(jié)論中：①CN＝2AN；②DN＝DC；③tan∠CAD=2；④△AMN∽△CAB正確的有（）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④【分析】通過證明△AMN∽△CBN，可得AMBC=ANCN，可證CN＝2AN；過D作DH∥BM交AC于G，可證四邊形BMDH是平行四邊形，可得BH＝MD=12BC，由直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得DN＝DC；由平行線性質(zhì)可得∠DAC＝∠ACB，∠ABC＝∠ANM＝90°，可證△AMN∽△CAB，通過證明△ABM∽△BCA，可得AMAB=ABBC【解答】解：∵AD∥BC，∴△AMN∽△CBN，∴AMBC∵M(jìn)是AD邊的中點(diǎn)，∴AM＝MD=12AD=∴ANNC∴CN＝2AN，故①正確；如圖，過D作DH∥BM交AC于G，連接NH，∵DH∥BM，BM⊥AC，∴DH⊥AC，∵DH∥BM，AD∥BC，∴四邊形BMDH是平行四邊形，∴BH＝MD=12∴BH＝CH，∵∠BNC＝90°，∴NH＝HC，且DH⊥AC，∴DH是NC的垂直平分線，∴DN＝CD，故②正確；∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠ABC＝∠ANM＝90°，∴△AMN∽△CAB，故④正確；∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，且∠BAC+∠ACB＝90°，∠DAC+∠AMB＝90°，∴∠BAC＝∠AMB，且∠BAM＝∠ABC，∴△ABM∽△BCA，∴AMAB∴AB2=12BC∴AB=22∵tan∠DAC＝tan∠ACB=AB∴tan∠DAC=2故選：C．【點(diǎn)評】本題是相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，圖形面積的計(jì)算以及解直角三角形的綜合應(yīng)用，正確的作出輔助線構(gòu)造平行四邊形是解題的關(guān)鍵．解題時(shí)注意：相似三角形的對應(yīng)邊成比例．二．填空題（共4小題）5．（2021春?蘇州期末）我國古代數(shù)學(xué)發(fā)展源遠(yuǎn)流長，成就輝煌．著作《九章算術(shù)》中就有“井深幾何”問題：“今有井徑五尺，不知其深，立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四寸，問井深幾何？”現(xiàn)在我們可以解釋為：如圖，矩形BCDE的邊BE、CD表示井的直徑，A在CB的延長線上，CD＝5尺，AB＝5尺，AD交BE于F，BF＝0.4尺，根據(jù)以上條件，可求得井深BC為57.5尺．【分析】利用相似三角形的性質(zhì)，構(gòu)建方程求解即可．【解答】解：設(shè)BC＝x尺．∵四邊形BCDE是矩形，∴BF∥CD，∴△AFB∽△ADC，∴FBDC∴0.解得x＝57.5，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝57.5是分式方程的解．∴BC＝57.5（尺）．故答案為：57.5．【點(diǎn)評】本題考查相似三角形的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．6．（2021秋?通州區(qū)期末）如圖，為了測量一棟樓的高度，王青同學(xué)在她腳下放了一面鏡子，然后向后退，直到她剛好在鏡子中看到大樓頂部．如果王青眼睛與地面的距離KL＝1.6m，同時(shí)量得LM＝0.4m，MS＝5m，則樓高TS＝20m．【分析】根據(jù)鏡面反射的性質(zhì)，△KLM∽△TSM，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可．【解答】解：根據(jù)題意，∵∠KLM＝∠TSM＝90°，∠KML＝∠TMS，∴△KLM∽△TSM，∴KLTS=LM∴TS＝20．故答案是：20．【點(diǎn)評】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，應(yīng)用鏡面反射的基本性質(zhì)，得出三角形相似，再運(yùn)用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可解答．7．（2020?濱湖區(qū)模擬）如圖，正方形ABCD的對角線AC上有一點(diǎn)E，且CE＝4AE，點(diǎn)F在DC的延長線上，連接EF，過點(diǎn)E作EG⊥EF，交CB的延長線于點(diǎn)G，連接GF并延長，交AC的延長線于點(diǎn)P，若AB＝5，CF＝2，則線段EP的長是1322【分析】如圖，作FH⊥PE于H．利用勾股定理求出EF，再證明△CEF∽△FEP，可得EF2＝EC?EP，由此即可解決問題．【解答】解：如圖，作FH⊥PE于H．∵四邊形ABCD是正方形，AB＝5，∴AC＝52，∠ACD＝∠FCH＝45°，∵∠FHC＝90°，CF＝2，∴CH＝HF=2∵CE＝4AE，∴EC＝42，AE=2∴EH＝52，在Rt△EFH中，EF2＝EH2+FH2＝（52）2+（2）2＝52，∵∠GEF＝∠GCF＝90°，∴E，G，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓，∴∠EFG＝∠ECG＝45°，∴∠ECF＝∠EFP＝135°，∵∠CEF＝∠FEP，∴△CEF∽△FEP，∴EFEP∴EF2＝EC?EP，∴EP=52故答案為132【點(diǎn)評】本題考查正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．8．（2018?鎮(zhèn)江模擬）在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6，以點(diǎn)C為圓心，4為半徑的圓上有一動點(diǎn)D，連接AD，BD，CD，則12BD+AD的最小值是210【分析】如圖，在CB上取一點(diǎn)F，使得CF＝2，連接FD，AF．由△FCD∽△DCB，推出DFBD=CFCD=12，推出DF=12BD，推出12BD+AD＝【解答】解：如圖，在CB上取一點(diǎn)F，使得CF＝2，連接FD，AF．∴CD＝4，CF＝2，CB＝8，∴CD2＝CF?CB，∴CDCF∵∠FCD＝∠DCB，∴△FCD∽△DCB，∴DFBD∴DF=12∴12BD+AD＝DF+AF∵DF+AD≥AF，AF=22+∴12BD+AD的最小值是210故答案為210．【點(diǎn)評】本題考查相似三角形的應(yīng)用，兩點(diǎn)之間線段最短，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題．三．解答題（共4小題）9．（2022春?宿豫區(qū)期中）在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上的動點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合），以AE為直角邊在直線BC上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°．（1）如圖1，若EF與CD交于點(diǎn)G，連接CF．①求證：△ABE∽△ECG；②求BECF③若正方形ABCD的邊長為1，在點(diǎn)E運(yùn)動過程中，則以A、D、F為頂點(diǎn)的三角形周長的最小值為1+5（2）如圖2，若AF與CD交于點(diǎn)P，連接BD分別與AE、AF交于點(diǎn)M、N，連接PM．求證：PM⊥AE．【分析】（1）①根據(jù)同角的余角相等可得∠CEG＝∠BAE，從而證明結(jié)論；②在AB上取點(diǎn)H，使AH＝CE，連接HE，利用SAS證明△HAE≌△CEF，得HE＝CF，再說明△BHE是等腰直角三角形即可；③首先說明點(diǎn)F在射線CF上運(yùn)動，作點(diǎn)D關(guān)于CF的對稱點(diǎn)M，則點(diǎn)B、C、M在一條直線上，此時(shí)AF+DF的最小值即為AM的長，即可得出答案；（2）根據(jù)∠EAF＝∠MDP，得點(diǎn)A、M、P、D四點(diǎn)共圓，則∠ADM＝∠APM＝45°，即可證明結(jié)論．【解答】（1）①證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠BCD＝90°，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠CEG＝90°，∵∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠CEG＝∠BAE，∴△ABE∽△ECG；②解：在AB上取點(diǎn)H，使AH＝CE，連接HE，∵AH＝CE，∠HAE＝∠CEF，AE＝EF，∴△HAE≌△CEF（SAS），∴HE＝CF，∵AB＝BC，AH＝CE，∴BH＝BE，∵∠B＝90°，∴HE=2BE∴BECF③解：由△HAE≌△CEF得，∠AHE＝∠ECF＝135°，∴∠DCF＝45°，作點(diǎn)D關(guān)于CF的對稱點(diǎn)M，則點(diǎn)B、C、M在一條直線上，此時(shí)AF+DF的最小值即為AM的長，在Rt△ABM中，由勾股定理得AM=1∴以A、D、F為頂點(diǎn)的三角形周長的最小值為1+5故答案為：1+5（2）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BDC＝∠ADB＝45°，∵△AEF是等腰直角三角形，∴∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠MDP，∴點(diǎn)A、M、P、D四點(diǎn)共圓，∴∠ADM＝∠APM＝45°，∴∠AMP＝90°，∴PM⊥AE．【點(diǎn)評】本題是相似形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，四點(diǎn)共圓等知識，確定點(diǎn)F的運(yùn)動路徑是解題的關(guān)鍵．10．（2022?儀征市二模）如圖1，在銳角三角形ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，過點(diǎn)D分別作線段AC，AB的垂線，E垂足為點(diǎn)E、F．如果DEDF=sin∠CAB，那么我們把AD叫做△ABC關(guān)于∠CAB的正（1）如圖2，AB＝AC，∠CAB＝45°，BD=2CD，試說明AD為△ABC關(guān)于∠CAB（2）如圖3，若AD為△ABC關(guān)于∠CAB的正平分線，過點(diǎn)D作DF⊥AB，DM//AB，MN⊥AB．①試說明：四邊形MNFD為正方形；②若AB＝120，邊AB上的高為80，tanB=43，求∠CAB的正平分線【分析】（1）證明△CDE∽△BDF，由相似三角形的性質(zhì)得出DEDF（2）①證明四邊形DFNM是矩形，證出sin∠CAB＝sin∠CMD，則DEDF=DEDM，證出DF②過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，交MD于點(diǎn)G，設(shè)DF＝4x，則FB＝3x，DM＝4x，證明△CMD∽△CAB，由相似三角形的性質(zhì)得出CGDM=CHAB=【解答】（1）證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠CED＝∠BFD＝90°，∴△CDE∽△BDF，∴DEDF∵∠CAB＝45°，∴DEDF=sin∠∴AD為△ABC關(guān)于∠CAB的正平分線；（2）①證明：∵DF⊥AB，DM∥AB，MN⊥AB，∴DM⊥MN，∴∠DMN＝∠MNF＝∠DFN＝90°，∴四邊形DFNM是矩形，∵DM∥AB，∴∠CMD＝∠CAB，∴sin∠CAB＝sin∠CMD，∴DEDF∴DF＝DM，∴四邊形MNFD為正方形；②解：過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，交MD于點(diǎn)G，∵tanB=DF設(shè)DF＝4x，∴FB＝3x，DM＝4x，∵DM∥AB，∴△CMD∽△CAB，∴CGDM∴CG=83∴83解得x＝12，∴DF＝48，AF＝AB﹣FB＝84，∴AD=DF2【點(diǎn)評】本題是相似形綜合題，考查了正方形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋?高郵市期中）【模型建立】（1）如圖1，在等邊△ABC中，點(diǎn)D、E分別在BC、AC邊上，∠ADE＝60°，求證：AB?CE＝BD?DC；【模型應(yīng)用】（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在AC邊上，AE＝AD，點(diǎn)F在DC邊上，∠EFD＝60°，則DFCF的值為2【模型拓展】（3）如圖3，在鈍角△ABC中，∠ABC＝60°，點(diǎn)D、E分別在BC、AC邊上，∠DAE＝∠ADE＝60°，若AB＝5，CE＝6，求DC的長．【分析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可；（2）利用直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理判定△ADE為等邊三角形，利用等腰三角形的判定和三角形的外角的性質(zhì)求得∠EDC＝∠C＝30°，∠FEC＝∠C＝30°；再利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)和等量代換的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（3）在DC上截取DF＝BA，連接EF，利用全等三角形的判定與性質(zhì)得到∠B＝∠EFD＝60°，則∠EFC＝120°，利用相似三角形的判定與性質(zhì)得到關(guān)于CF的方程，解方程求得CF，則DC＝DF+CF．【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形；，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠ADB+∠BAD＝180°﹣∠B＝120°．∵∠ADE＝60°，∴∠ADB+∠EDC＝180°﹣∠ADE＝120°，∴∠BAD＝∠EDC，∴△BAD∽△CDE，∴ABCD∴AB?CE＝BD?DC；（2）解：∵∠BAC＝90°，∠B＝60°，∴∠C＝30°．∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠BAD＝30°，∴∠DAE＝60°．∵AE＝AD，∴△ADE為等邊三角形，∴DE＝AD＝AE，∠ADE＝∠AED＝60°．∵∠AED＝∠C+∠EDC＝60°，∴∠EDC＝∠C＝30°，∴DE＝EC．∵∠EFD＝60°，∴∠DEF＝180°﹣∠EFD﹣∠EDC＝90°，∴DF＝2EF．∵∠DFE＝∠C+∠FEC＝60°，∴∠FEC＝∠C＝30°，∴EF＝FC，∴DF＝2FC，即DEFC=故答案為：2；（3）解：在DC上截取DF＝BA，連接EF，如圖，∵∠DAE＝∠ADE＝60°，∴∠DAE＝∠ADE＝∠AED＝60°，∴△ADE為等邊三角形，∴AD＝D