基于離散傅里葉變換的頻譜分析新方法

基于離散傅里葉變換的頻譜分析新方法

0基于信號濾波的算法頻率是一個(gè)重要的參數(shù)，是反映能源系統(tǒng)能耗的重要指標(biāo)之一。電力系統(tǒng)頻率的變化直接影響工作效率和工廠之間的負(fù)荷分布。目前,測頻的方法很多,如:cross算法、最小二乘法、DFT算法、卡爾曼濾波算法、prony算法,但是這些算法都存在某些不足之處:cross算法受諧波、噪聲和電壓幅值影響較大;最小二乘法需要較長的數(shù)據(jù)窗以提高諧波環(huán)境下的計(jì)算精度;傅式算法受頻率偏差、非整次諧波和衰減直流分量的影響較大,頻譜泄露會造成較大的誤差;prony算法受噪聲的影響較大,且計(jì)算的階數(shù)比較難選。在實(shí)際工程的應(yīng)用中,DFT算法運(yùn)用的是最普遍的,它主要有以下幾個(gè)優(yōu)點(diǎn):在頻率接近50Hz且高次諧波和非整次諧波含量很少時(shí),該算法計(jì)算精度很高;DFT采用遞歸和循環(huán)的計(jì)算過程,因此它計(jì)算速度很快;具有很強(qiáng)的抗干擾性,它能濾除所有的整次諧波?？焖俑道锶~變換(FFT)是應(yīng)用最廣泛的一種諧波檢測方法,然而FFT存在柵欄效應(yīng)和泄漏現(xiàn)象,使算出的信號參數(shù)即頻率、幅值和相位不準(zhǔn),尤其是相位誤差很大,無法滿足準(zhǔn)確的諧波測量要求。為了解決上述問題,很多學(xué)者提出了改進(jìn)的FFT方法,有插值算法,加窗插值改進(jìn)算法。雖然這些方法都能使計(jì)算的精度得到很大程度提高,但這種窗函數(shù)法存在計(jì)算量和內(nèi)存容量大、只能分析整次諧波等缺點(diǎn)。本文采用文獻(xiàn)中公式推導(dǎo)的基本思路,將信號推廣至一般情況,使得算法最終既能對任意信號進(jìn)行實(shí)時(shí)測頻,還能準(zhǔn)確地對信號進(jìn)行頻譜分析,得到整次諧波、非整次諧波和衰減直流分量。1采樣dft變換公式現(xiàn)有單信號模型如式(1)所示:其中:A為信號的幅值;ω為信號的角速度,ω=2πf;φ為信號的相角,用弧度制表示;考慮到頻率的偏移,頻率可表示為f=50+Δf。對原始信號進(jìn)行采樣得式(2),采樣間隔Ts=1/Fs。令,并把它代入式(2)且進(jìn)行變形可得式(3)。其中。現(xiàn)對式(3)進(jìn)行進(jìn)一步變形,先消去B2,再消去B1。對式(4)兩邊都取實(shí)部,則:其中z=real(a)。對x(k)序列進(jìn)行DFT變換的公式是:現(xiàn)對式(5)兩邊都取DFT變換,其等式還是成立的,可得式(6)。把代入式(6)可得式(8),從式(8)到式(9)需要利用到一個(gè)很重要的變形公式:。則:2單信號模型推導(dǎo)在實(shí)際電力系統(tǒng)中,信號所含的頻率成分很多,除了基頻分量,還有整次諧波分量、非整次諧波分量和衰減直流分量,多信號模型由式(11)給出,對其采樣得式(12)。令。為了能在式(13)中統(tǒng)一表述,可令am+1=ad,zm+1=real(am+1)=real(ad)。則:同上述單信號模型的推導(dǎo)方法一樣,得到的式(13)將類似于式(7),可由數(shù)學(xué)歸納法證明。其中:C為式(13)中(2m+3)×1維的系數(shù)矩陣,*是卷積運(yùn)算?，F(xiàn)定義:對x(k)進(jìn)行DFT變換,得到的式(14)類似于式(10),對于2m+1個(gè)未知數(shù)需要2m+1個(gè)方程。其中,B1i(r)、B2i(r)、θ1i、θ2i、Ai、φi(i=1,2,…,m)、Bd(r)的表達(dá)式分別為:3衰減直流分量幅值和時(shí)間常數(shù)基于多信號模型的程序流程如圖1所示,現(xiàn)對其進(jìn)行簡要說明。1)在第三步中,要解出z1到zm+1,根據(jù)式(13)得到F(Pk)的表達(dá)式如式(15)所示,一共需要(m+1)個(gè)方程。2)對式(15)求偏導(dǎo)得到的雅克比矩陣如式(16)所示,而C對z1如式(17)所示。3)流程的最后一步中,衰減直流分量的幅值和衰減時(shí)間常數(shù)由式(18)得到。上述程序流程圖適用于任何信號,現(xiàn)假設(shè)信號中頻率分量只有整次諧波而沒有非整次諧波和衰減直流分量,那么可以不采用牛拉法進(jìn)行迭代,由,求解的未知數(shù)就變成z1一個(gè),從而所使用的方程組也只要一個(gè),非線性方程組的迭代過程就演變成線性方程的迭代過程,計(jì)算量將大為減小。4fft算法的算法驗(yàn)證現(xiàn)用本文提出的算法對這三種信號進(jìn)行分解,得到的波形圖如圖2所示。從圖2中三個(gè)信號的分解可以看出無論信號中含有整次諧波、非整次諧波,還是衰減直流分量,在系統(tǒng)頻率偏離50Hz的情況下也都能將其精確地分解。特別指出衰減直流分量的存在對結(jié)果基本不產(chǎn)生影響,數(shù)據(jù)如表1所示。選擇不同時(shí)刻的采樣點(diǎn)、不同的采樣頻率、不同的階數(shù)選擇,用該算法對信號4進(jìn)行分解,得到的結(jié)果分別如表2、3、4所示。表5為FFT算法與本論文提出的算法計(jì)算結(jié)果比較。從表2、3、4可以得到:該算法不受初始采樣點(diǎn)的影響,不受采樣頻率的影響,不需要高采樣頻率,能很好地滿足實(shí)際微機(jī)保護(hù)的要求,在階數(shù)不小于信號中的所有分量個(gè)數(shù)的前提下,該算法也不受階數(shù)選擇的影響。5測頻算法的功能1)該算法是基于離散傅里葉變換得到的,因此它具有DFT算法的所有優(yōu)點(diǎn)。從公式推導(dǎo)的過程可以看出,它能嚴(yán)格地計(jì)算出信號中的任意頻率分量,包括衰減直流分量,把DFT這種變換巧妙地應(yīng)用到等式的兩端并不會改變式子本身,因此該算法并沒有繼承DFT算法的不足。2)能準(zhǔn)確地計(jì)算出系統(tǒng)頻率的偏移量,實(shí)時(shí)性強(qiáng),可以作為一種實(shí)用的測頻算法。3)能準(zhǔn)確地計(jì)算出整次諧波、非整次諧波的幅值、頻率和相角,衰減直流分量的幅值和衰減時(shí)間常數(shù),具有非常精確的頻譜分析功能。zi=real(ai)(i=1,2,…,m+1)信號1：x(t)=cos(101.74×π×t+π/6)+0.2cos(203.48×π×t+π/4)+0.05cos(305.22×π×t+π/6)信號2：x(t)=cos(101.26×π×t+π/4)+0.05cos(220×π×t