高二數(shù)學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)人教A版選修4-1課件：3.3 平面與圓錐面的截線

三平面與圓錐面的截線高二數(shù)學(xué)PPT之?dāng)?shù)學(xué)人教A版選修4-1課件：3.3平面與圓錐面的截線1.了解不平行于底面且不通過(guò)圓錐的頂點(diǎn)的平面截圓錐的形狀是橢圓、拋物線、雙曲線.2.感受平面截圓錐的形狀,并從理論上證明.3.通過(guò)Dandelin雙球探求雙曲線的性質(zhì),理解這種證明問(wèn)題的方法.1231.定理2123123名師點(diǎn)撥2.圓錐曲線的統(tǒng)一性,橢圓為封閉圖形,雙曲線、拋物線為不封閉圖形,其圖形不一樣,但它們都可以用平面截對(duì)頂圓錐面得到,因此,圓、橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)稱為圓錐曲線.它們都滿足曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離之比為常數(shù),即離心率e.1232.圓錐曲線的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)(1)橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)(焦點(diǎn))的距離之和為常數(shù)(長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a).(2)雙曲線上的點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)(焦點(diǎn))的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)(2a).(3)拋物線上的點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)(焦點(diǎn))和一條定直線的距離相等.【做一做1】

雙曲線上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是d1和d2,則下列為常數(shù)的是(

)A.d1-d2 B.d1+d2C.|d1-d2| D.d2-d1答案:C1233.圓錐曲線的幾何性質(zhì)(1)焦點(diǎn):Dandelin球與平面π的切點(diǎn).(2)準(zhǔn)線:截面與Dandelin球和圓錐交線所在平面的交線.123(4)圓錐曲線的幾何性質(zhì)

123【做一做2-1】

設(shè)截面和圓錐的軸的夾角為β,圓錐的母線和軸所成角為α,當(dāng)截面是橢圓時(shí),其離心率等于(

)答案:B【做一做2-2】

雙曲線的焦距為4,實(shí)軸長(zhǎng)為3,則離心率e=

.

解析:設(shè)雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、焦距分別為2a,2b,2c,則2c=4,2a=3,在定理2中,當(dāng)β<α?xí)r,探究截線形狀剖析:如圖,當(dāng)β<α?xí)r,平面π與圓錐面的兩部分相交,在圓錐的兩部分分別嵌入Dandelin球,與平面π的兩個(gè)切點(diǎn)分別為F1,F2,與圓錐兩部分截的圓分別為S1,S2.在截口上任取一點(diǎn)P,連接PF1,PF2.過(guò)點(diǎn)P和圓錐的頂點(diǎn)O作母線,分別與兩球切于Q1,Q2點(diǎn),則PF1=PQ1,PF2=PQ2,所以|PF1-PF2|=|PQ1-PQ2|=Q1Q2,所以Q1Q2是兩圓S1,S2所在平行平面間的母線段的長(zhǎng),且為定值.所以由雙曲線的定義知,點(diǎn)P的軌跡為雙曲線.題型一題型二題型三【例1】

如圖,討論其中雙曲線的離心率.其中π'是Dandelin球與圓錐交線S2所在的平面,與π的交線為m.題型一題型二題型三解:點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn),連接PF2,過(guò)點(diǎn)P作PA⊥m于點(diǎn)A,連接AF2,過(guò)點(diǎn)P作PB⊥平面π'于點(diǎn)B,連接AB,過(guò)點(diǎn)P作母線交S2于點(diǎn)Q2.∵PB平行于圓錐的軸,∴∠BPA=β,∠BPQ2=α.反思討論圓錐曲線的幾何性質(zhì)時(shí),要注意結(jié)合圖形進(jìn)行.題型一題型二題型三【變式訓(xùn)練1】

在圓錐內(nèi)部嵌入Dandelin雙球,一個(gè)位于平面π的上方,一個(gè)位于平面π的下方,并且與平面π及圓錐均相切.若平面π與雙球的切點(diǎn)不重合,則平面π與圓錐面的截線是(

)A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線解析:由于平面π與雙球的切點(diǎn)不重合,則平面π與圓錐母線不平行,且只與圓錐的一半相交,則截線是橢圓.答案:B題型一題型二題型三【例2】

已知雙曲線兩個(gè)頂點(diǎn)間的距離為2a,焦距為2c,求兩條準(zhǔn)線間的距離.解:如圖,l1,l2是雙曲線的準(zhǔn)線,F1,F2是焦點(diǎn),A1,A2是頂點(diǎn),O為中心.題型一題型二題型三題型一題型二題型三【變式訓(xùn)練2】

頂角為60°的圓錐面中有一個(gè)半徑為2的內(nèi)切球,以該球?yàn)榻骨蜃饕唤孛?使截線為拋物線,求該拋物線的頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距題型一題型二題型三解:如圖是圓錐的截面,其中點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn),點(diǎn)Q為拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)M為截面與軸的交點(diǎn),連接OA,OQ.設(shè)A,B為球與圓錐的母線的切點(diǎn).由∠ASB=60°,∴∠ASO=30°.又OA=2,OA⊥SA,∴OS=4,易知OP⊥OS,又PM∥SB,∴∠PMS=∠OSB=∠OSA,∴SM=2OS=8.題型一題型二題型三易錯(cuò)點(diǎn):錯(cuò)用圓錐曲線的離心率公式而致錯(cuò)【例3】

已知圓錐面的軸截面為等腰直角三角形,