高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)策略

.....頁眉.....頁腳高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)策略程晴晴（安徽師范大學(xué)2011級(jí)數(shù)學(xué)教碩班242400）[摘要]概念教學(xué)在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中是非常重要的,研究概念的形成,概念掌握的心理過程對(duì)我們教學(xué)有很深遠(yuǎn)的意義.[關(guān)鍵詞]概念，數(shù)學(xué)概念，概念形成、概念同化、教學(xué)方法高中階段的數(shù)學(xué)概念很多很細(xì)，概念學(xué)的好不好，理解的透不透是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵所在。數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的核心。如果脫離了數(shù)學(xué)概念,便無法進(jìn)行數(shù)學(xué)思維,也無法構(gòu)成數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。所以概念教學(xué)是教學(xué)的重要組成部分。在當(dāng)前的高中教學(xué)過程中有的老師在概念的教學(xué)過程中只是讀課本，簡(jiǎn)單的復(fù)述課本。往往出現(xiàn)不重視根本，講解不到位，學(xué)生理解不透，影響后續(xù)學(xué)習(xí)的情況。為了解決好這些問題我們就應(yīng)該研究什么是數(shù)學(xué)概念？有哪些不同的類別？該如何設(shè)計(jì)教學(xué)過程？一、概念，數(shù)學(xué)概念（一）概念《漢典》中指出概念是在頭腦里所形成的反映對(duì)象的本質(zhì)屬性的思維形式。把所感知的事物的共同本質(zhì)特點(diǎn)抽象出來,加以概括,就成為概念,概念都具內(nèi)涵和外延,并且隨著主觀、客觀世界的發(fā)展而變化概念是反映對(duì)象的本質(zhì)屬性的思維形式。人類在認(rèn)識(shí)過程中，從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，把所感知的事物的共同本質(zhì)特點(diǎn)抽象出來，加以概括，就成為概念。表達(dá)概念的語言形式是詞或詞組。概念都有內(nèi)涵和外延，即其涵義和適用范圍。概念隨著社會(huì)歷史和人類認(rèn)識(shí)的發(fā)展而變化。“概念”是對(duì)特征的獨(dú)特組合而形成的知識(shí)單元，通過使用抽象化的方式從一群事物中提取出來的反應(yīng)其共同特性的思維單位。（二）數(shù)學(xué)概念恩格斯強(qiáng)調(diào)指出，數(shù)學(xué)是反映現(xiàn)實(shí)界的，它產(chǎn)生于人們的實(shí)際需要，它的初始概念和原理的建立是以經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的長(zhǎng)期歷史發(fā)展的結(jié)果.數(shù)學(xué)概念是人腦對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，即一種數(shù)學(xué)的思維形式。數(shù)學(xué)概念是抽象化的空間形式和數(shù)量關(guān)系,是反映數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的思維形式。[1]（三）高中數(shù)學(xué)概念的基本類型高中數(shù)學(xué)是由概念及命題等內(nèi)容組成的知識(shí)體系,是一門抽象思維為主的學(xué)科,高中階段的數(shù)學(xué)概念很多很細(xì)，每一章節(jié)都有基本的概念教學(xué)。我總結(jié)了下高中數(shù)學(xué)的概念大致分以下幾種情況：（一）同一概念新舊定義互相滲透。如函數(shù)的概念。在初中學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過函數(shù)的概念，到高中又重新學(xué)習(xí)。（二）已知概念新定義。如角在初中用的是角度制，而必修四中又引入了弧度制的概念。（三）已有概念的擴(kuò)充定義。如任意角的概念，任意角三角函數(shù)的定義，數(shù)系的擴(kuò)充（復(fù)數(shù)的概念）。（四）新概念。如平面向量、數(shù)列、平面解析幾何等。二、概念的掌握（一）概念的掌握概念既是由符號(hào)或語詞所代表的具有共同的關(guān)鍵特征的事物，則概念的掌握就是獲得了按一類事物的共同的關(guān)鍵特征進(jìn)行反應(yīng)的能力。掌握概念實(shí)質(zhì)上是獲得了同類事物的共同關(guān)鍵特征，同時(shí)也意味著能區(qū)分概念的關(guān)鍵特征與無關(guān)特征、概念的肯定例證與否定例證。（二）概念掌握的基本形式奧蘇伯爾認(rèn)為，兒童獲得概念有兩種形式，即概念形成和概念同化，并指出概念同化是學(xué)生獲得概念的最基本的形式。1概念形成所謂概念形成，是指從大量的具體例證出發(fā)，在實(shí)際經(jīng)驗(yàn)過的概念的肯定例證中，通過歸納的方法抽取一類事物的共同屬性，從而獲得初級(jí)概念的過程。一般包括辨別、抽象、分化、假設(shè)、檢驗(yàn)和概括等等心理過程。以函數(shù)概念形成為例，十六世紀(jì)時(shí)，對(duì)于運(yùn)動(dòng)的研究變成了自然科學(xué)的中心問題，實(shí)踐的需要和各門科學(xué)本身的全部發(fā)展使自然科學(xué)轉(zhuǎn)向?qū)\(yùn)動(dòng)的研究，對(duì)各種變化過程和各種變化著的量之間的依賴關(guān)系的研究。作為變化著的量的一般性質(zhì)及它們之間依賴關(guān)系的反應(yīng)，在數(shù)學(xué)中產(chǎn)生了變量和函數(shù)的概念，而數(shù)學(xué)對(duì)象的這種根本擴(kuò)展就決定了向數(shù)學(xué)的新階——變量的數(shù)學(xué)的過渡。[2]變量和函數(shù)這兩個(gè)數(shù)學(xué)概念，無非就是具體變量（如時(shí)間、路程、速度、轉(zhuǎn)動(dòng)角、掃過的面積等等）和它們之間的依賴關(guān)系（如路程對(duì)時(shí)間的依賴關(guān)系等等）的抽象概括。所說函數(shù)是一個(gè)量對(duì)于另一個(gè)量的依賴關(guān)系的抽象模型，是在概括的、抽象的形式中反映現(xiàn)實(shí)的量之間的不同依存關(guān)系的。2概念同化所謂概念同化，是指在課堂學(xué)習(xí)的條件下，用定義的方式（或體現(xiàn)在上下文中）直接向?qū)W習(xí)者揭示概念的關(guān)鍵特征，學(xué)生利用認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的有關(guān)概念來同化新知識(shí)概念，從而獲得科學(xué)概念（或二級(jí)概念）的過程。定義或上下文所揭示的概念的關(guān)鍵特征是前人或科學(xué)家的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造，是人類歷史經(jīng)驗(yàn)積累的結(jié)晶，是前人通過概念同化的方式抽象概括出來的。學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中，可以不必經(jīng)過概念形成的過程，只需把所接受的新概念與自己認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的適當(dāng)觀念相結(jié)合，即可獲得同類事物共同的關(guān)鍵特征。這種新舊知識(shí)的結(jié)合或相互作用，就是新信息的內(nèi)化過程，這就是概念同化。通過概念同化獲得的概念，如前所述，是認(rèn)知的二級(jí)抽象，所獲得的概念為二級(jí)概念，即科學(xué)概念。概念同化屬于接受學(xué)習(xí)。要使學(xué)生有意義地同化新概念，在課堂學(xué)習(xí)中，首先，必須滿足意義學(xué)習(xí)的主客觀條件。除了新學(xué)習(xí)的概念本身必須具有邏輯意義，使之對(duì)學(xué)習(xí)者構(gòu)成潛在的意義外，學(xué)習(xí)者還必須具備有意義學(xué)習(xí)的心向和原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中具有同化新概念的適當(dāng)觀念。其次，在具備上述意義學(xué)習(xí)的條件下，按新概念與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的適當(dāng)觀念間的不同關(guān)系展開三種同化，即包括派生的與相關(guān)的類屬性同化、總括性同化和并列結(jié)合性同化，并使這些反映上位、下位和并列的概念間關(guān)系的同化中，新舊知識(shí)相互作用，使新信息內(nèi)化而獲得新的心理意義。最后，使新觀念與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的有關(guān)觀念進(jìn)一步產(chǎn)生不斷分化和綜合貫通，從而組成有系統(tǒng)的概念體系，形成科學(xué)知識(shí)群。在概念同化中，要展開積極的認(rèn)知活動(dòng)，尤其是在不斷分化和綜合貫通中，更需要主動(dòng)地進(jìn)行理論思維，由一般到特殊、由抽象化到具體化等的演繹過程。這種同化過程越積極，被同化的概念越有用。在學(xué)生主動(dòng)接受新知識(shí)時(shí)，也必須積極展開認(rèn)知活動(dòng)。首先，必須把這個(gè)概念與自己認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的知識(shí)聯(lián)系起來，并把新概念納入原有概念之中，明確新概念和原有概念的區(qū)別和聯(lián)系。學(xué)生學(xué)習(xí)新概念就是要獲得概念的關(guān)鍵特征、并能理解其分類的依據(jù)。因此在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)過程中應(yīng)該了解學(xué)生的已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，細(xì)述概念的形成背景和需要，讓學(xué)生能夠理解新概念的產(chǎn)生的必要性。在教學(xué)過程中教師應(yīng)該區(qū)分不同的類型，做好新舊知識(shí)的融匯貫通，教師在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“再創(chuàng)造”新知識(shí)的過程中，應(yīng)該遵循維果斯基的最近發(fā)展區(qū)理論，根據(jù)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，設(shè)計(jì)合理的教學(xué)方案，展開對(duì)新知識(shí)的學(xué)習(xí)。（三）概念掌握的標(biāo)準(zhǔn)概念一旦被掌握，便可在認(rèn)識(shí)活動(dòng)中為不同的目的服務(wù)，對(duì)認(rèn)識(shí)產(chǎn)生重大影響。已掌握的概念，可以在不同的水平上加以應(yīng)用，因此概念的掌握應(yīng)以應(yīng)用為標(biāo)準(zhǔn)。概念的應(yīng)用分一下兩種情況。1在知覺水平上的應(yīng)用獲得的概念在知覺水平上的應(yīng)用有兩種情況。其一，在人的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已經(jīng)獲得同類事物的概念以后，當(dāng)他遇到該類事物的特例時(shí)，就能立即把它看做這一類事物中的具體例證，歸入一定的知覺分類中。其二，已經(jīng)學(xué)過的概念，以后在新的地方出現(xiàn)，學(xué)習(xí)者不必經(jīng)過一系列的認(rèn)知過程，可以從知覺上直接覺察到它的意義。例如有了數(shù)軸和平面直角坐標(biāo)系的建立過程再在立體幾何中遇到建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)就很能夠接受和理解。2在思維水平上的應(yīng)用獲得的概念在思維水平上的應(yīng)用，在接受學(xué)習(xí)中有，在發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)中也有。在接受學(xué)習(xí)中，新的概念會(huì)被類屬于包攝水平較高的原有概念中時(shí)，原有概念得到了充實(shí)和證實(shí)，這是概念在思維水平上的應(yīng)用。如學(xué)生已知“函數(shù)”的定義后，在學(xué)習(xí)“數(shù)列可以看成特殊函數(shù)”時(shí)，原有概念就起到思維水平上分類的作用，并在新概念中得到例證和充實(shí)。在發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)中，也常常需要應(yīng)用原有概念，特別在解決復(fù)雜問題中，如發(fā)現(xiàn)新的原理，原有概念或命題必須加以重新組織或組合，既能自圓其說，又是標(biāo)新立異，這都是概念在思維水平上的應(yīng)用。概念的獲得和應(yīng)用一般是不可分的，對(duì)它們加以區(qū)分，是使在學(xué)習(xí)的遷移過程中，認(rèn)知結(jié)構(gòu)變量的作用得到具體說明。四、概念教學(xué)設(shè)計(jì)策略高中數(shù)學(xué)的課程目標(biāo)中指出：獲得必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，理解基本的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)結(jié)論的本質(zhì)，了解概念、結(jié)論等產(chǎn)生的背景、應(yīng)用，體會(huì)其中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和方法，以及它們?cè)诤罄m(xù)學(xué)習(xí)中的作用。[3]依據(jù)這一目標(biāo)，根據(jù)數(shù)學(xué)概念的形成過程，學(xué)生概念掌握的過程、標(biāo)準(zhǔn)，在教學(xué)過程中應(yīng)遵循如下原則。首先老師應(yīng)根據(jù)學(xué)生已有的知識(shí)體系的情況，結(jié)合新概念的產(chǎn)生形成過程，再引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過短暫的概念形成過程達(dá)到概念同化的目的。在這一過程中教師的引導(dǎo)作用是很大的，下面以弧度制的概念教學(xué)為例談?wù)劸唧w的過程和做法。1了解學(xué)情初中階段學(xué)生對(duì)角的概念進(jìn)行了學(xué)習(xí)，并且角的度量制初中是用的角度制，處理方法是把圓周等分成360份，這樣每份對(duì)應(yīng)的即1度角，對(duì)于這種角度的度量方法，學(xué)生是很容易理解和使用。進(jìn)入高中后學(xué)生又學(xué)習(xí)了任意角的概念，任意角的引入是很自然的。但在這些背景下直接的給出弧度制還是顯得突兀，如果不能體現(xiàn)弧度制引入的必要和價(jià)值，學(xué)生的學(xué)習(xí)必然達(dá)不到好的效果。2概念的形成

其實(shí)很多的高中教師本身也并不了解弧度制產(chǎn)生發(fā)展的過程，如果老師自身都不能體會(huì)其中的原理，怎么能跟學(xué)生解釋清楚呢？所以必須做好備課的工作，下面把我收集到的弧度制發(fā)展史簡(jiǎn)單介紹下。弧度的概念是數(shù)學(xué)家定義了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)之后很多年后才提出的。由于像“sin＝”這樣的表達(dá)式中，左邊角度是60進(jìn)制，右邊卻是十進(jìn)制數(shù)，造成進(jìn)制的不統(tǒng)一。因此在歷史上，很多數(shù)學(xué)家都進(jìn)行了統(tǒng)一進(jìn)制的工作。如希臘的天文學(xué)家托勒密（Ptolemy，約公元100年~170年），印度的阿耶婆多（Aryabhata，公元476年~550年）等。在經(jīng)歷了千年之后的1748年，歐拉（Euler）在他的名著《無窮小分析引論》中主張用半徑為單位來量弧長(zhǎng)，設(shè)半徑等于1，那么半圓周的長(zhǎng)是π，所對(duì)的圓心角的正弦值等于0，即sin＝0。這就是現(xiàn)在使用的弧度制，顯然這種制度統(tǒng)一了角和長(zhǎng)度的單位。1873年6月5日，數(shù)學(xué)教師湯姆生(JamesThomson)在北愛爾蘭首府貝爾法斯特(Belfast)女王學(xué)院的數(shù)學(xué)考試題目中創(chuàng)造性地首先使用了“弧度”一詞.當(dāng)時(shí)，他將“半徑”(radius)的前四個(gè)字母與“角”(angle)的前兩個(gè)字母合在一起，構(gòu)成radian，并被人們廣泛接受和引用.我國學(xué)者曾把radian譯成“弳’(由“弧”與“徑”兩字的一部分拼成).中華人民共和國成立以來，中學(xué)數(shù)學(xué)教科書中都把radian譯作“弧度”.綜上所述，從弧度制發(fā)展的歷史來看，它的產(chǎn)生與三角函數(shù)的發(fā)展有著密切的關(guān)系。而利用半徑為單位來度量弧長(zhǎng)，進(jìn)而度量弧長(zhǎng)所對(duì)的圓心角是經(jīng)過了許多數(shù)學(xué)家的摸索和嘗試才最終達(dá)成的共識(shí)。了解弧度制產(chǎn)生和發(fā)展的歷史，可以幫助學(xué)生進(jìn)一步理解學(xué)習(xí)弧度制的意義和必要性。

3合理的演繹在教學(xué)的過程中顯然不可能也不必要把以上的都講給學(xué)生，那如何引導(dǎo)學(xué)生去認(rèn)識(shí)并接受弧度制呢？首先我們必須分析弧度制在高中教材中出現(xiàn)主要解決了哪些問題？主要有（1）角度制是60進(jìn)制，與實(shí)數(shù)無法運(yùn)算，弧度是10進(jìn)制可以簡(jiǎn)化運(yùn)算。（2）弧度制使得角與實(shí)數(shù)建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。（3）弧度制的引入可以簡(jiǎn)化我們初中學(xué)習(xí)的弧長(zhǎng)、扇形面積等公式，并能重新去理解圓的周長(zhǎng)和面積公式。（4）弧度制的引入使得三角函數(shù)的定義規(guī)范化，為后面的三角函數(shù)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。在教學(xué)過程中我是這樣處理的。首先引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同的度量衡的存在，并且讓學(xué)生理解不同度量制出現(xiàn)的原因，和各自的作用，以及統(tǒng)一度量衡的必要。我記得在上課的時(shí)候我提了一個(gè)問題讓同學(xué)們印象深刻的，我問的是秦朝統(tǒng)一六國后制定了哪些國策？同學(xué)們先是很驚訝數(shù)學(xué)老師為什么會(huì)問這樣的問題，再跟著就是踴躍的回答，當(dāng)然“統(tǒng)一度量衡”是必然會(huì)出現(xiàn)的答案之一了。我也就自然的由這個(gè)回答來引導(dǎo)學(xué)生去思考長(zhǎng)度，和重量有哪些不同的單位制？并分析不同單位制存在的原因。例如同為重量單位，盎司現(xiàn)在主要用于金銀等貴金屬的計(jì)量中，而克拉則被作為計(jì)量金石的單位。這樣激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生也明白了是不同的環(huán)境和需要才產(chǎn)生了不同的單位制，從而自然的引入弧度制的學(xué)習(xí)。當(dāng)然弧度制的產(chǎn)生的真正的過程，對(duì)高中生而言也確實(shí)是比較難解釋清楚的，也沒有這個(gè)課時(shí)的安排，所以只能從他們能接受的角度入手。由于角度制是60進(jìn)制所以弧度制的引入就非常必要了，自然引入教學(xué)過程。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，不能只限于形式化的表達(dá)，要強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)課程要講邏輯推理，更要講道理，通過典型例子的分析和學(xué)生自主探索活動(dòng)，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論逐步形成的過程，體會(huì)蘊(yùn)涵在其中的思想方法，追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)