23.1 圖形的旋轉(zhuǎn) 重難點(diǎn)專項(xiàng)練習(xí)（五大題型）（解析版）

23.1《圖形的旋轉(zhuǎn)》分層練習(xí)考查題型一旋轉(zhuǎn)的判斷1．（2023·安徽蚌埠·?？家荒＃┍本┒瑠W會(huì)于2022年2月4日在北京和張家口聯(lián)合舉行．下圖是冬奧會(huì)的吉祥物“冰墩墩”，將該圖片按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到的圖片是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解答即可.【詳解】解：根據(jù)題意得：將該圖片按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到的圖片是：

故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，熟知旋轉(zhuǎn)的概念和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.2．（2022·湖南永州·統(tǒng)考一模）如圖，在平面內(nèi)將風(fēng)車?yán)@其中心旋轉(zhuǎn)后所得到的圖案是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)前后，各點(diǎn)的相對(duì)位置不變，得到的圖形全等，找到關(guān)鍵點(diǎn)，分析選項(xiàng)可得答案．【詳解】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)前后，各點(diǎn)的相對(duì)位置不變，得到的圖形全等，風(fēng)車圖案繞中心旋轉(zhuǎn)180°后，陰影部分的等腰直角三角形的頂點(diǎn)向下，得到的圖案是C．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案的知識(shí)，圖形的旋轉(zhuǎn)是圖形上的每一點(diǎn)在平面上繞某個(gè)固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)固定角度的位置移動(dòng)，其中對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小和形狀沒有改變．3．（2023·貴州黔東南·統(tǒng)考三模）如圖，在平面內(nèi)將三角形標(biāo)志繞其中心旋轉(zhuǎn)后得到的圖案（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知只有D選項(xiàng)符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2021·海南省直轄縣級(jí)單位·統(tǒng)考一模）如圖所示的各圖中，上方圖形可看成由下方圖形繞著一個(gè)頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°而形成的是()A． B． C． D．【答案】B【分析】觀察圖形，根據(jù)圖形的特征及旋轉(zhuǎn)方向做出判定即可.【詳解】選項(xiàng)A、C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)對(duì)角線是相交而不是重疊；選項(xiàng)D，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)不重疊；只有選項(xiàng)符合題意．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)，熟知旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．考查題型二找旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角1．（2023·安徽合肥·?？家荒＃┤鐖D，兩個(gè)全等正方形和，旋轉(zhuǎn)正方形能和正方形重合，則可以作為旋轉(zhuǎn)中心的點(diǎn)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．無(wú)數(shù)個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得以及的中點(diǎn)，可以作為旋轉(zhuǎn)中心，據(jù)此即可求解．【詳解】解：依題意，以及的中點(diǎn)，可以作為旋轉(zhuǎn)中心故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了找旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·北京·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）以下圖形繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一定角度后都能與原圖形重合，其中旋轉(zhuǎn)角最小的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】求出各旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的最小旋轉(zhuǎn)角度，再比較即可．【詳解】解：A選項(xiàng)：最小旋轉(zhuǎn)角度；B選項(xiàng)：最小旋轉(zhuǎn)角度；C選項(xiàng)：最小旋轉(zhuǎn)角度；D選項(xiàng)：最小旋轉(zhuǎn)角度；綜上可得：旋轉(zhuǎn)的角度最小的是D．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形中旋轉(zhuǎn)角度的確定，求各圖形的最小旋轉(zhuǎn)角度時(shí)，關(guān)鍵要看各圖形可以被平分成幾部分，被平分成n部分，旋轉(zhuǎn)的最小角度就是．3．（2023·浙江寧波·校聯(lián)考一模）如圖，是由繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的，若，，，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得旋轉(zhuǎn)角為，即可求解．【詳解】∵是由繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的，∴旋轉(zhuǎn)角為，∵，，∴∵∴，即旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，熟練掌握?qǐng)D形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，點(diǎn)D在斜邊上，如果把繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與重合，那么旋轉(zhuǎn)角等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)，求出，再結(jié)合圖形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出答案．【詳解】解：∵中，，，∴．∵經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后與重合，這一旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)B，旋轉(zhuǎn)角是，∴旋轉(zhuǎn)角等于．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．考查題型三旋轉(zhuǎn)中的規(guī)律性問題1．依次觀察三個(gè)圖形：，并判斷照此規(guī)律從左向右第四個(gè)圖形是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圖形規(guī)律可知，從左到右是依次順時(shí)針旋轉(zhuǎn)圖形，據(jù)此即可求解．【詳解】解：由圖形規(guī)律可得從左到右是依次順時(shí)針旋轉(zhuǎn)圖形，∴第四個(gè)圖形是D．故答案為：D【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)三個(gè)圖形找出旋轉(zhuǎn)的規(guī)律是解題關(guān)鍵．2．有兩個(gè)完全重合的矩形，將其中一個(gè)始終保持不動(dòng)，另一個(gè)矩形繞其對(duì)稱中心O按逆時(shí)針方向進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，每次均旋轉(zhuǎn)45°，第1次旋轉(zhuǎn)后得到圖①，第2次旋轉(zhuǎn)后得到圖②，……，則第2021次旋轉(zhuǎn)后得到的圖形與圖①﹣④中相同的是（

）A．圖① B．圖② C．圖③ D．圖④【答案】A【分析】觀察圖形不難發(fā)現(xiàn)，四次旋轉(zhuǎn)后矩形又回到初始水平位置，用2021除以4，根據(jù)商和余數(shù)的情況確定即可．【詳解】解：由圖可知，四次旋轉(zhuǎn)后矩形又回到初始水平位置，∵2021÷4=505余1，∴第2021次旋轉(zhuǎn)后得到的圖形為第505個(gè)循環(huán)組的第一個(gè)圖，是圖①．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，圖形變化規(guī)律，觀察出四次旋轉(zhuǎn)后矩形又回到初始水平位置是解題的關(guān)鍵．3．等邊三角形（三條邊都相等的三角形是等邊三角形）紙板ABC在數(shù)軸上的位置如圖所示，點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為2和1，若△ABC繞著頂點(diǎn)逆時(shí)針方向在數(shù)軸上連續(xù)翻轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)第1次后，點(diǎn)C所對(duì)應(yīng)的數(shù)為0，則翻轉(zhuǎn)2023次后，點(diǎn)C所對(duì)應(yīng)的數(shù)是（）A．﹣2021 B．﹣2022 C．﹣2023 D．﹣2024【答案】B【分析】作出草圖，不難發(fā)現(xiàn)，每3次翻轉(zhuǎn)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，用2023除以3，根據(jù)余數(shù)為1可知點(diǎn)C在數(shù)軸上，然后進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】解：如圖，每3次翻轉(zhuǎn)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，∵2023÷3＝674…1，，∴翻轉(zhuǎn)2023次后點(diǎn)C在數(shù)軸上，∴點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)是0﹣674×3＝﹣2022．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸，根據(jù)翻轉(zhuǎn)的變化規(guī)律確定出每3次翻轉(zhuǎn)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵．4．如圖是一個(gè)裝飾連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃爍所成的四個(gè)圖形，照此規(guī)律閃爍，第2021次閃爍呈現(xiàn)出來(lái)的圖形是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】觀察圖形的變化易得每旋轉(zhuǎn)一次的度數(shù)，根據(jù)陰影所處的位置可得相應(yīng)選項(xiàng)．【詳解】解：觀察圖形的變化可知：每旋轉(zhuǎn)一次，旋轉(zhuǎn)角為90°，即每4次旋轉(zhuǎn)一周，∵2021÷4＝505...1，即第2021次與第1次的圖案相同．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了圖形的變換規(guī)律問題，解題的關(guān)鍵是找到圖形旋轉(zhuǎn)的規(guī)律周期．考查題型四利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)說(shuō)明線段或角相等1．如圖，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，交于點(diǎn)，則．

【答案】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，在和中，，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可得到．【詳解】解：把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到，在和中，對(duì)頂角，，則由三角形內(nèi)角和定理可知，；，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求角度，涉及對(duì)頂角相等，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．2．如圖所示，在中，，，，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，當(dāng)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上時(shí)，的長(zhǎng)為．

【答案】1.6【分析】首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，然后結(jié)合得到是等邊三角形，進(jìn)而得到，然后利用線段的和差求解即可．【詳解】∵將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴．故答案為：1.6．【點(diǎn)睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．3．如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)和點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為．

【答案】【分析】首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，然后利用勾股定理求解即可．【詳解】∵將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，∴，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．4．如圖，將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，若點(diǎn)B在上，則．

【答案】/75度【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，再由等腰三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考查題型五求繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90?的點(diǎn)的坐標(biāo)1．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)坐標(biāo)，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【分析】過點(diǎn)作軸于點(diǎn)A，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)C，易證，即得出，，即．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)A，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)C，∵將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，∴，，∴．∵，∴．又∵，∴，∴，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形，三角形全等的判定和性質(zhì)．正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·福建福州·九年級(jí)福建省福州教育學(xué)院附屬中學(xué)校考開學(xué)考試）點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的點(diǎn)為，過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)B，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)C，易證，得出，，即．【詳解】解：如圖，設(shè)點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的點(diǎn)為，過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)B，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)C，∴，，∴．∵，∴．又∵，∴，∴，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形，三角形全等的判定和性質(zhì)．畫出圖形，并作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．3．（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到的點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】【分析】把點(diǎn)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形旋轉(zhuǎn)的問題，畫出圖形可解決問題．【詳解】解：過A點(diǎn)作軸，過B點(diǎn)作軸，

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∴，∵，∴，∵，∴，∵，在和中，，∴，∴,∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，解題的關(guān)鍵是正確作出圖形解決問題．4．（2023·浙江麗水·統(tǒng)考一模）將含有角的直角三角板如圖所示放置在平面直角坐標(biāo)系中，在軸上，若，將三角板繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為．

【答案】【分析】根據(jù)含的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求出、、的長(zhǎng)度，畫出三角板繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，然后證明，即可得出答案．【詳解】解：如圖，分別過點(diǎn)、作軸、軸于點(diǎn)、，

∵，，∴，∴，∴，，∵軸、軸，∴，∵，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∴，∴，，∴點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵．1．（2022·福建泉州·?？寄M預(yù)測(cè)）在中，，，點(diǎn)是邊上的一動(dòng)點(diǎn)．是邊上的動(dòng)點(diǎn)．連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，交于，連接．且，．

(1)如圖1，若，，求的長(zhǎng)．(2)如圖2，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：．(3)如圖3，在（2）的條件下，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)中的三角形記作△，取的中點(diǎn)為，連接．當(dāng)最大時(shí)，直接寫出的值．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）解等腰三角形求得，解斜三角形，求得，證明，進(jìn)而求得結(jié)果；（2）作于，作于，連接，作交的延長(zhǎng)線于，由得出，證明可得，解斜三角形可得，進(jìn)而得出和的關(guān)系，進(jìn)一步求得結(jié)論；（3）可得出點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的延長(zhǎng)線交的處時(shí)，最大，然后解直角三角形和斜三角形，進(jìn)一步得出結(jié)果．【詳解】（1）解：如圖1，

作于，作交的延長(zhǎng)線于，，，，，在四邊形中，，，，，在中，，，，，，，在和中，，，；（2）證明：如圖2，

作于，作于，連接，作交的延長(zhǎng)線于，由（1）知：，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，點(diǎn)、、、共圓，，，，，，在中，，在和中，，，，，，，設(shè)，則，在中，，，，，，，，，，，，，，；（3）解：如圖3，

由（2）得：，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的延長(zhǎng)線交的處時(shí)，最大，設(shè)，，，，，，，在中，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)綜合題，涉及了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理了、三角函數(shù)等．第三問的難度較大，確定動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·廣西南寧·九年級(jí)南寧市天桃實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖1，在邊長(zhǎng)為4的正方形中，連接，點(diǎn)在上，且，將點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為，連接，與相交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與點(diǎn)重合時(shí)旋轉(zhuǎn)停止．

(1)如圖2，當(dāng)時(shí)，①求證：；②點(diǎn)在線段的什么位置？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)在旋轉(zhuǎn)的過程中，是否存在為等腰三角形的情況？如果存在，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)①證明見解析；②在中點(diǎn)的位置，理由見解析(2)存在，的長(zhǎng)為或【分析】（1）①證明：證明為等邊三角形，再根據(jù)為的中點(diǎn)，可得；②由先求出，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，證明四邊形是矩形，再證明問題得解；（2）根據(jù)為等腰三角形，分情況討論：第一種情況：當(dāng)時(shí)，可得，這與相矛盾，故此種情況不存在；第二種情況：當(dāng)時(shí)，過F點(diǎn)作于Q點(diǎn)，如圖，在中，，再在中，；第三種情況：當(dāng)時(shí)，過F點(diǎn)作于T點(diǎn)，過B點(diǎn)作于S點(diǎn)，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再在中，，利用，可得，進(jìn)而在中，，即，再在中利用勾股定理即可作答．【詳解】（1）①證明：∵繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∵，即，∴為等邊三角形，∵為的中點(diǎn)，∴；②由（1）知，∴，∵四邊形為正方形，∴，，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

則，∴四邊形是矩形，，∴，∴∴，∴在中點(diǎn)的位置；（2）存在．的長(zhǎng)為或．根據(jù)為等腰三角形，分情況討論：第一種情況：當(dāng)時(shí)，∵，，∴，∴，這與相矛盾，故此種情況不存在；第二種情況：當(dāng)時(shí)，過F點(diǎn)作于Q點(diǎn)，如圖，

∵，，∴，∵，，，∴，，，∴，∴在中，，∴在中，；第三種情況：當(dāng)時(shí)，過F點(diǎn)作于T點(diǎn)，過B點(diǎn)作于S點(diǎn)，如圖，

∵，，∴，∵，，∴，∴在中，，∵，∴，∴，∴在中，，∴，∴在中，，綜上：的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，掌握等腰三角形的性質(zhì)，注重分類討論的思想是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）如圖，四邊形是菱形，邊長(zhǎng)為2，，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)恰好為中點(diǎn)時(shí)，直接寫出線段與的數(shù)量關(guān)系為______________；(2)當(dāng)點(diǎn)不是中點(diǎn)時(shí)，如圖2，（1）中的結(jié)論是否還成立？說(shuō)明理由；(3)連接，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出四邊形的面積．【答案】(1)(2)成立，見解析(3)或【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)推出，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)求解即可；（2）連接，根據(jù)菱形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推出垂直平分是等邊三角形，是等邊三角形，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)利用證明，根據(jù)去掉三角形的性質(zhì)及線段垂直平分線性質(zhì)即可得解；（3）連接交于點(diǎn)，則，設(shè)交于點(diǎn)，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)求解即可；【詳解】（1）解：，理由如下：∵四邊形是菱形，∴平分，∵點(diǎn)恰好為中點(diǎn)，在菱形中，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，故答案為：（2）解：（1）中結(jié)論成立理由如下：方法1：連接四邊形是菱形，是等邊三角形，線段轉(zhuǎn)得到，是等邊三角形，，

菱形的對(duì)角線互相垂直平分，是的垂直平分線，點(diǎn)在射線上，，又是等邊三角形，，；方法2：連接交于點(diǎn)，四邊形是菱形，

與都是等邊三角形，，線段轉(zhuǎn)得到，，是等邊三角形，，又，，，，又是等邊三角形，，是的垂直平分線，，又；方法3：提示：作，證，

可得，是的垂直平分線，（3）解：如圖3，連接交于點(diǎn)，則，

設(shè)交于點(diǎn)，∵是等邊三角形，∴，∵，∴，在和中，，，在中，【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，考查了菱形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形面積公式等知識(shí)，熟練掌握菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形面積公式是解題的關(guān)鍵4．（2023春·江西九江·九年級(jí)統(tǒng)考期中）我們定義：如圖1，在中，把繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，當(dāng)時(shí)，我們稱是的“旋補(bǔ)三角形”，邊上的中線叫做的“旋補(bǔ)中線”，點(diǎn)A叫做“旋補(bǔ)中心”．特例感知：(1)在圖2，圖3中，是的“