幾種不同增長的函數模型+應用實例

幾類不同增長

例1、假設你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：方案一：每天回報40元；方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番.回報量選擇投資方案的標準X請問：你會選擇哪種投資方案？日回報累計回報方案一可以用函數進行描述方案二可以用函數進行描述方案三可以用函數進行描述圖-1我們看到，底為2的指數函數模型比線性函數模型增長速度要快得多。從中你對“指數爆炸”的含義有什么新的理解？函數圖象是分析問題的好幫手。為了便于觀察，我們用虛線連接離散的點。結論三種方案的每日回報第1~3天，應選擇方案一第4天，應選擇方案一或方案二；第9天開始，應選擇方案三.第5~8天，應選擇方案二；81940920410250.8251262.81.20.4三660550450360280210150100603010二4404003603202802402001601208040一1110987654321

天數回報/元方案327616389107805204801312三種方案的累計回報投資1~6天，應選擇方案一；投資7天，應選擇方案一或方案二；投資8~10天，應選擇方案二；投資11天（含11天）以上，應選擇方案三.結論常數函數一次函數指數型函數幾種常見函數的增長情況：保持不變直線上升勻速增長急劇增長指數爆炸沒有增長列表法圖象法實際問題數學問題函數問題讀懂題意抽象概括解析法X例2、公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標，準備制定了一個激勵銷售部門的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨著銷售利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但獎金數不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%?，F(xiàn)有三個獎勵模型：

y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪個模型能符合公司的要求？X對數增長模型：平緩增長觀察—歸納—猜想—證明2004006008001000234567810思想方法知識常數函數一次函數指數函數對數函數沒有增長直線上升指數爆炸對數增長數學建模學以致用，用以致優(yōu)!

函數的三種表示法，觀察—歸納—猜想—證明！

小結從剛才兩個例子中可以看到，這三類函數的增長是有差異的，那么，這種差異的具體情況到底怎么樣呢？思考x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4…y=2x1.1491.51622.6393.4824.5956.063810.556…y=x20.040.3611.963.244.846.76811.56…y=log2x-2.322-0.73700.4850.8471.1361.3781.5851.766…18161412108642-2-4-55101520h(x)=log2xgx()

=2xfx()

=x2O結論1：一般地，對于指數函數y=ax(a>1)和冪函數y=xn(n>0)，通過探索可以發(fā)現(xiàn)：在區(qū)間(0,+∞)上，無論n比a大多少，盡管在x的一定范圍內，ax會小于xn，但由于ax的增長快于xn的增長，因此總存在一個x0，當x>x0時，就會有ax>xn.結論2：一般地，對于指數函數y=logax(a>1)和冪函數y=xn

(n>0)，通過探索可以發(fā)現(xiàn)：在區(qū)間(0,+∞)上，隨著x的增大，logax增大得越來越慢，圖象就像是漸漸地與x軸平行一樣。盡管在x的一定范圍內，logax可能會大于xn，但由于logax的增長慢于xn的增長，因此總存在一個x0，當x>x0時，就會有l(wèi)ogax<xn.綜上所述：(1)、在區(qū)間(0,+∞)上，y=ax(a>1)，y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函數。(2)、隨著x的增大，y=ax(a>1)的增長速度越來越快，會遠遠大于y=xn(n>0)的增長速度。(3)、隨著x的增大，y=logax(a>1)的增長速度越來越慢，會遠遠小于y=xn(n>0)的增長速度?？偞嬖谝粋€x0，當x>x0時，就有

logax<xn<ax

一輛汽車在某段路程中的行駛速率與時間的關系如圖所示:例310203040506070809012534t/h

(1)求圖中陰影部分的面積,并說明所求面積的實際含義;

(3)假設這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數為2004km,試建立汽車行駛這段路程時汽車里程表讀數skm與時間t

的函數解析式,并作出相應的圖象.o(2)試建立汽車行駛路程Skm與時間th的函數解析式，并作出相應的圖象汽車行使路程與時間的函數解析式汽車里程表的讀數為：22002300240012534to2100●s●●●●1.一家旅社有100間相同的客房，經過一段時間的經營實踐，旅社經理發(fā)現(xiàn)，每間客房每天的價格與住房率之間有如下關系：每間每天房價住房率20元18元16元14元65％75％85％95％要使每天收入達到最高，每間定價應為（）A.20元B.18元C.16元D.14元2.將進貨單價為80元的商品按90元一個售出時，能賣出400個，已知這種商品每個漲價1元，其銷售量就減少20個，為了取得最大利潤，每個售價應定為()

A.95元B.100元C.105元D.110元CAy=(90+x-80）（400-20x)人口問題是當今世界各國普遍關注的問題.認識人口數量的變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長提供依據.

早在1798年，英國經濟學家馬爾薩斯就提出了自然狀態(tài)下的人口增長模型：例４(1)如果以各年人口增長率的平均值作為我國這一時期的人口增長率(精確到0.0001)用馬爾薩斯人口增長模型建立我國在這一時期的具體人口增長模型,并檢驗所得模型與實際人口數據是否相符;年份

人數/萬人1950551961951563001952574821953587961954602661955614561956628281957645631958659941959672071950~1959年我國的人口數據資料:5000060000650007000012534to55000●y6789●●●●●●●●●年份

人數/萬人195055196195156300195257482195358796195460266195561456195662828195764563195865994195967207(2)如果按右表的增長趨勢,大約在哪一年我國的人口達到13億?基本步驟：第一步：閱讀理解，認真審題

讀懂題中的文字敘述，理解敘述所反映的實際背景，領悟從背景中概括出來的數學實質，尤其是理解敘述中的新名詞、新概念，進而把握住新信息。第二步：引進數學符號，建立數學模型

設自變量為x，函數為y，并用x表示各相關量，然后根據問題已知條件，運用已掌握的數學知識、物理知識及其他相關知識建立函數關系式，將實際問題轉化為一個數學問題，實現(xiàn)問題的數學化，即所謂建立數學模型。第三步：利用數學的方法將得到的常規(guī)數學問題（即數學模型）予以解答，求得結果。