專題06 二次函數(shù)的圖象性質(zhì)及應(yīng)用【有答案】

專題06二次函數(shù)的圖象性質(zhì)及應(yīng)用一選擇題（唐山市遵化市一模）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的頂點(diǎn)在第一象限，且過(guò)點(diǎn)(0,1)和(-1,0)，下列結(jié)論：

①ab<0，②b2-A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)【解析】有圖象可知，

a<0，b>0，則ab<0，故①正確；

圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)，則b2-4ac>0，故②正確；

圖象過(guò)點(diǎn)(-1,0)，則a-b+c=0，故③錯(cuò)誤；

圖象過(guò)點(diǎn)(0,1)，則c=1，故④正確；

由圖象可知，當(dāng)x>-1時(shí)，一部分函數(shù)值大于0，有一個(gè)函數(shù)值等于02.（合肥168中一模）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，在下列五個(gè)結(jié)論中：

①2a-bA.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【解析】：①∵由函數(shù)圖象開(kāi)口向下可知，a<0，由函數(shù)的對(duì)稱軸x=-b2a>-1，故b2a<1，∵a<0，∴b>2a，所以2a-b<0，①正確；

②∵a<0，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，a，b同號(hào)，圖象與y軸交于負(fù)半軸，則c<0，故abc<0；②正確；

③當(dāng)x=1時(shí)，y=a+b+c3.（宿州市一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，當(dāng)直角三角板MPN的直角頂點(diǎn)P在BC邊上移動(dòng)時(shí)，直角邊MP始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，設(shè)直角三角板的另一直角邊PN與CD相交于點(diǎn)Q．BP＝x，CQ＝y(tǒng)，那么y與x之間的函數(shù)圖象大致是（）A．B． C．D．【解析】設(shè)BP＝x，CQ＝y(tǒng)，則AP2＝42+x2，PQ2＝（6﹣x）2+y2，AQ2＝（4﹣y）2+62；∵△APQ為直角三角形，∴AP2+PQ2＝AQ2，即42+x2+（6﹣x）2+y2＝（4﹣y）2+62，化簡(jiǎn)得：y＝整理得：y＝根據(jù)函數(shù)關(guān)系式可看出D中的函數(shù)圖象與之對(duì)應(yīng)．故選：D．

4.（淮北市名校聯(lián)考一模）如圖，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且垂直于AB，分別與AB、AC相交于點(diǎn)M，N.直線l從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以1cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，若運(yùn)動(dòng)過(guò)程中△AMN的面積是y(cmA.B.C.D.【解析】過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D，

∵AC2+BC2=64+36=100=AB2，

故△ABC為直角三角形，

sin∠CAB=CDAC=CBAB=610=35，則cos∠CAB=45，tan∠CAB=34，

故CD=該函數(shù)為開(kāi)口向下的拋物線的一部分，對(duì)稱軸為x=5，

故選：B二填空題5.（江西省初中名校聯(lián)盟一模）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y=x2-2x+3的圖象先向左平移1【解析】y=x2-2x+3

=(x-1)2+2，

∵將二次函數(shù)y=x2-2x+3的圖象先向左平移16.（南通市崇川區(qū)一模）拋物線y=x2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x=1，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,0).若關(guān)于x的一元二次方程x2+bx【解析】∵拋物線y=x2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x=1，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,0)．

∴-b2=11-b+c=0，得b=-2c=-3

即拋物線解析式為y=x2-2x-3，

當(dāng)y=t時(shí)，t=x2-2x-3，

即x2-2x-3-7.（合肥168中一模）如圖，拋物線y=x2+bx+92與y軸相交于點(diǎn)A，與過(guò)點(diǎn)A平行于x軸的直線相交于點(diǎn)B(點(diǎn)B在第一象限).拋物線的頂點(diǎn)C在直線OB上，對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)D.平移拋物線，使其經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D，則平移后的拋物線的解析式為_(kāi)_____．

【解析】∵令x=0，則y=92，

∴點(diǎn)A(0,92)，B(-b,92)，

∴拋物線的對(duì)稱軸為x=-b2，直線OB的解析式為y=-92bx，

∵拋物線的頂點(diǎn)C在直線OB上，∴y=94

∴頂點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為12×92=94，即4×1×92-b三簡(jiǎn)答題8.（淮北市名校聯(lián)考一模）我們規(guī)定：若拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，則稱該拋物線為“數(shù)軸函數(shù)”.例如拋物線y=x2和y=(x-1)2都是“數(shù)軸函數(shù)”．

(1)拋物線y=x2-4x+4和拋物線y【解析】(1)拋物線y=x2-4x+4是“數(shù)軸函數(shù)”，拋物線y=x2-6x不是“數(shù)軸函數(shù)”；

理由：∵y=x2-4x+4=(x-2)2，

∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，在x軸上，

∵y=x2-6x=(x-3)2-9，

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-9)，在第四象限，

∴拋物線y=x2-6x不是“數(shù)軸函數(shù)”；

(2)拋物線y9.（南通市崇川區(qū)一模）某地政府計(jì)劃為農(nóng)戶購(gòu)買(mǎi)農(nóng)機(jī)設(shè)備提供補(bǔ)貼．其中購(gòu)買(mǎi)Ⅰ型、Ⅱ型設(shè)備農(nóng)民所投資的金額與政府補(bǔ)貼的額度存在下表所示的函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系．

型號(hào)

金額Ⅰ型設(shè)備Ⅱ型設(shè)備投資金額x(萬(wàn)元x5x24補(bǔ)貼金額y(萬(wàn)元y2y2.84(1)分別求y1和y2的函數(shù)解析式；

(2)有一農(nóng)戶共投資10萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)Ⅰ型、Ⅱ【解析】(1)設(shè)購(gòu)買(mǎi)Ⅰ型設(shè)備補(bǔ)貼的金額的解析式為：y1=kx，購(gòu)買(mǎi)Ⅱ型設(shè)備補(bǔ)貼的金額的解析式為y2=ax2+bx，

由題意，得：2=5k，或4a+2b=2.816a+4b=4，

解得：k=25，a=-15b=95，

∴y1的解析式為：y1=25x，y2的函數(shù)解析式為：y2=-15x2+10.（江西省初中名校聯(lián)盟一模）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與x0m2y---(1)直接寫(xiě)出m的值和點(diǎn)A的坐標(biāo)．

(2)求出二次函數(shù)的關(guān)系式．

(3)過(guò)點(diǎn)A作直線l//x軸，將拋物線在y軸左側(cè)的部分沿直線l翻折，拋物線的其余部分保持不變，得到一個(gè)新圖象．請(qǐng)你結(jié)合新圖象回答：當(dāng)直線y=x+n與新圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)P是(【解析】(1)根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱性可知：m=1，

由表格知，圖象過(guò)(0,-3)

∵圖象與y軸相交于A點(diǎn)，

∴A(0,3)；

(2)∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-4)，

∴設(shè)拋物線的關(guān)系式為：y=a(x-1)2-4，

拋物線y軸相交于A(0,-3)，

∴a-4=-3，

解得，a=1，

∴二次函數(shù)的關(guān)系式為：y=(x-1)2-4，即y=x2-2x-3；

(3)新圖象如圖所示，

①當(dāng)y=x+n與y=x2-2x-3交于點(diǎn)(0,-3)時(shí)，n=-3，

當(dāng)y=x+n與y=x2-2x-3交于(s,t)，t=5時(shí)，

s2-11.（合肥市天鵝湖教育集團(tuán)一模）某市政府為了扶貧，鼓勵(lì)當(dāng)?shù)剞r(nóng)民養(yǎng)殖小龍蝦，如圖：張叔叔順著圩梗AN、AM（AN＝3m，AM＝10m，∠MAN＝45°），用8m長(zhǎng)的漁網(wǎng)搭建了一個(gè)養(yǎng)殖水域（即四邊形ABCD），圩梗邊不需要漁網(wǎng)，AB∥CD，∠C＝90°．設(shè)BC＝xm，四邊形ABCD面積為S（m2）．（1）求出S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式及x的取值范圍；（2）x為何值時(shí)，圍成的養(yǎng)殖水域面積最大？最大面積是多少？【解析】（1）過(guò)D作DE⊥AB于E，∵BC＝xm，∴DE＝xm，∵∠A＝45°，∴AE＝xm，∴S＝S△AED+S矩形DEBC＝x2+（8﹣x）?x＝﹣x2+8x，∵AB＝AE+EB＝x+（8﹣x）＝8m，∴B點(diǎn)為定點(diǎn)，∴DE最大為3m，∴0＜x≤3；（2）∵S＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣8）2+32，∴當(dāng)x＜8時(shí)，S隨x的增大而增大，∵0＜x≤3，∴當(dāng)x＝3時(shí)，S取得最大值，S最大＝﹣×（3﹣8）2+32＝，答：當(dāng)x＝3m時(shí)，圍成的養(yǎng)殖水域面積最大，最大面積是．12．（蕪湖市一模）（12分）如圖，已知拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過(guò)A（4，0），B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求該拋物線的解析式；（2）在直線AC上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使得△DCA的面積最大？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)及△DCA面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）將點(diǎn)A（4，0）、B（1，0）代入拋物線解析式得：，解得：，則拋物線解析式為y＝﹣x2+x﹣2；存在．如圖1，設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜4），則D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣t2+t﹣2．過(guò)D作y軸的平行線交AC于E．設(shè)直線AC的解析式為：y＝mx+n，則，解得：，由題意可求得直線AC的解析式為y＝x﹣2．∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，t﹣2）．∴DE＝﹣t2+t﹣2﹣（t﹣2）＝﹣t2+2t．∴S△DCA＝S△CDE+S△ADE＝×DE×OA＝×（﹣t2+2t）×4＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4．∴當(dāng)t＝2時(shí)，S最大＝4．∴當(dāng)D（2，1），△DAC面積的最大值為4．13．（宿州市一模）（14分）拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，P為線段BC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸平行線，交拋物線于點(diǎn)D，當(dāng)△BDC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，拋物線頂點(diǎn)為E，EF⊥x軸于F點(diǎn)，M（m，0）是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，N是線段EF上一點(diǎn)，若∠MNC＝90°，請(qǐng)指出實(shí)數(shù)m的變化范圍，并說(shuō)明理由．【解析】（1）由題意得：，解得：，∴拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3；（2）令﹣x2+2x+3＝0，∴x1＝﹣1，x2＝3，即B（3，0），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b′，∴，解得：，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3，設(shè)P（a，3﹣a），則D（a，﹣a2+2a+3），∴PD＝（﹣a2+2a+3）﹣（3﹣a）＝﹣a2+3a，∴S△BDC＝S△PDC+S△PDB＝PD?a+PD?（3﹣a）＝PD?3＝（﹣a2+3a）＝﹣（a﹣）2+，∴當(dāng)a＝時(shí)，△BDC的面積最大，此時(shí)P（，）；（3）由（1），y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴OF＝1，EF＝4，OC＝3，過(guò)C作CH⊥EF于H點(diǎn)，則CH＝EH＝1，當(dāng)M在EF左側(cè)時(shí)，∵∠MNC＝90°，則△MNF∽△NCH，∴，設(shè)FN＝n，則NH＝3﹣n，∴，即n2﹣3n﹣m+1＝0，關(guān)于n的方程有解，△＝（﹣3）2﹣4（﹣m+1）≥0，得m≥且m≠1；當(dāng)M與F重合時(shí)，m＝1；當(dāng)M在EF右側(cè)時(shí)，Rt△CHE中，CH＝EH＝1，∠CEH＝45°，即∠CEF＝45°，作EM⊥CE交x軸于點(diǎn)M，則∠FEM＝45°，∵FM＝EF＝4，∴OM＝5，即N為點(diǎn)E時(shí)，OM＝5，∴m≤5，綜上，m的變化范圍為：﹣≤m≤5．14.（合肥168中一模）某市對(duì)火車(chē)站進(jìn)行了大規(guī)模的改建，改建后的火車(chē)站除原有的普通售票窗口外，新增了自動(dòng)打印車(chē)票的無(wú)人售票窗口．某日，從早8點(diǎn)開(kāi)始到上午11點(diǎn)，每個(gè)普通售票窗口售出的車(chē)票數(shù)y1(張)與售票時(shí)間x(小時(shí))的正比例函數(shù)關(guān)系滿足圖①中的圖象，每個(gè)無(wú)人售票窗口售出的車(chē)票數(shù)y2(張)與售票時(shí)間x(小時(shí))的函數(shù)關(guān)系滿足圖②中的圖象．

(1)圖②中圖象的前半段(含端點(diǎn))是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線的一部分，根據(jù)圖中所給數(shù)據(jù)確定拋物線的表達(dá)式為_(kāi)_____，其中自變量x的取值范圍是______；

(2)若當(dāng)天共開(kāi)放5個(gè)無(wú)人售票窗口，截至上午9點(diǎn)，兩種窗口共售出的車(chē)票數(shù)不少于1450張，則至少需要開(kāi)放多少個(gè)普通售票窗口？

(3)上午10【解析】(1)設(shè)函數(shù)的解析式為y=ax2，

把點(diǎn)(1,60)代入解析式得：a=60，

則函數(shù)解析式為：y=60x2(0≤x≤32)；

(2)設(shè)需要開(kāi)放x個(gè)普通售票窗口，

由題意得，80x+60×5≥1450，

解得：x≥1438，

∵x為整數(shù)且x取最小值，

∴x=15，

即至少需要開(kāi)放15個(gè)普通售票窗口；

(3)設(shè)普通售票的函數(shù)解析式為y=kx，

把點(diǎn)(1,80)代入得：k=80，

則y=80x，

∵10點(diǎn)是x=2，

∴當(dāng)x=2時(shí)，y=160，

即上午10點(diǎn)普通窗口售票為160張，

由(1)得，當(dāng)15.（唐山市遵化市一模）如圖，直線OA與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A(3,3)，向下平移直線OA，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)B(6,m)與y軸交于點(diǎn)C，

(1)求直線BC的解析式；

(2)求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式；

(3)設(shè)經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為E．

問(wèn)：在二次函數(shù)的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使以O(shè)、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】(1)由直線OA與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A(3,3)，

得直線OA為：y=x，雙曲線為：y=9x，

點(diǎn)B(6,m)代入y=9x得m=32，點(diǎn)B(6,32)，(1分)

設(shè)直線BC的解析式為y=x+b，由直線BC經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，

將x=6，y=32，代入y=x+b得：b=-92，(1分)

所以，直線BC的解析式為y=x-92；(1分)

(2)由直線y=x-92得點(diǎn)C(0,-92)，

設(shè)經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx-92

將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax2+bx-92，得：

36a+6b-92=329a+3b-92=3，(1分)

解得b=4a=-12(1分)

所以，拋物線的解析式為y=-1216.（無(wú)錫市四校聯(lián)考）“揚(yáng)州漆器”名揚(yáng)天下，某網(wǎng)店專門(mén)銷(xiāo)售某種品牌的漆器筆筒，成本為30元/件，每天銷(xiāo)售y(件)與銷(xiāo)售單價(jià)x(元)之間存在一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示．

(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)如果規(guī)定每天漆器筆筒的銷(xiāo)售量不低于240件，當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為多少元時(shí)，每天獲取的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？

(3)該網(wǎng)店店主熱心公益事業(yè)，決定從每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)中捐出150元給希望工程，為了保證捐款后每天剩余利潤(rùn)不低于3600元，試確定該漆器筆筒銷(xiāo)售單價(jià)的范圍．【解析】(1)設(shè)y=kx+b，

∵直線y=kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)(40,300)，(55,150)，

∴40k+b=30