建筑力學教學課件 第15章力法及利用對稱性計算超靜定結構的內力

建筑力學CONTENTS目錄力法利用對稱性計算超靜定結構的內力超靜定結構在溫度變化和支座移動情況下的內力計算15.115.215.3第15章力法及利用對稱性計算超靜定結構的內力PART15.1力法15.1力法

力法求解超靜定結構即以多余未知力作為基本未知量。一旦求出基本未知量，其余未知量即可全部求出。15.1.1力法的基本原理力法的基本思路是將一個未知問題轉化為已知問題來解決。對于超靜定結構，力法的計算思路是將超靜定結構轉化為靜定結構進行分析計算。15.1.1力法的基本原理

1.基本結構和基本未知量如圖15-1（a）所示，原結構為一端固定，另一端鉸支的超靜定梁。該梁有一個多余約束，為一次超靜定結構。在圖示荷載的作用下，結構的變形如較長15-1（a）中的虛線所示。若去掉B支座的鏈桿，以多余力X1代替，可得到圖15-1（b）所示的由荷載和未知反力X1共同作用下的靜定懸臂梁，即原結構的基本結構。此時，基本結構與原結構受力相同。顯然，只要求出多余未知力X1，則原結構的計算問題就可由靜定的基本結構來解決。因此，力法的基本未知量就是多余未知力。15.1.1力法的基本原理

2.力法方程對于圖15-1（a）所示的原結構，X1是荷載作用下B支座的反力，具有固定值；對于圖15-1（b）所示的靜定結構，X1已成為主動力，若僅從平衡的角度來考慮，只要能滿足強度條件，不論X1取何值，都可得出一組反力或內力，即都能滿足平衡條件。圖15-1力法方程推導用圖15.1.1力法的基本原理因此，要確定X1，必須考慮變形條件來建立補充方程。由于圖15-1（b）所示的基本結構的受力、變形和原結構是一致的，在原結構中B點的豎向位移等于零，因此在基本結構中，在未知反力X1和荷載的共同作用下，B點產(chǎn)生的豎向位移Δ1也應等于零。設Δ11為未知力X1引起的B點的豎向位移，Δ1P為荷載引起的B點的豎向位移，如圖15-1（c）、（d）所示。根據(jù)疊加原理，有

Δ1=Δ11+Δ1P=0（15-1）式（15-1）稱為變形協(xié)調條件，它是基本結構與原結構等同的條件，也是確定多余未知力大小的依據(jù)。15.1.1力法的基本原理由于X1是未知力，為了求得X1，令X1=1，X1所引起的X1方向上的位移為δ11

，于是有Δ11=δ11X1，則

δ11X1+Δ1P=0（15-2）式（15-2）為一次超靜定結構的力法方程。在力法方程中，δ11稱為力法方程系數(shù)，Δ1P稱為力法方程的自由項，它們都是靜定結構的位移，可用單位荷載法或圖乘法進行計算。15.1.1力法的基本原理對于如圖15-1（a）所示的一次超靜定梁，為具體計算出δ11和Δ1P,應先分別作出基本結構在荷載單獨作用下的MP圖和基本結構在X1=1單獨作用下的圖，分別如圖15-2（a）、（b）、（c）、（d）所示。應用圖乘法得15.1.1力法的基本原理計算結果為正數(shù)，表示反力X

1的實際方向與假設方向相同。求出多余力后，用靜力平衡方程即可求出其反力和內力。根據(jù)疊加法繪出彎矩圖，任意截面彎矩的疊加公式為M=X1+MP（15-3）疊加后的彎矩圖如圖15-2（f）所示，根據(jù)彎矩圖作出的剪力圖如圖15-2（g）所示。由此可以看出兩點：（1）用力法求解超靜定結構的內力，是以多余力為基本未知量，以多余未知力作用處的位移為協(xié)調條件，將超靜定結構轉化為靜定結構建立位移補充方程，從而解出多余未知力。（2）在力法的計算過程中，關鍵是確定3個要素，即基本未知量、基本結構和力法方程。15.1.2力法典型方程用力法求解超靜定問題的基本方法如下：(1)將超靜定結構的多余約束去掉，以未知的約束反力（基本未知量）代替。這樣，超靜定結構就變成了在荷載和未知力共同作用下的靜定結構——基本結構。(2)根據(jù)基本結構與實際結構的位移相同，即位移協(xié)調條件，建立補充方程，求解未知力。結構的超靜定次數(shù)反映了結構具有的多余約束的數(shù)目，因此它也決定了基本未知量的數(shù)目。解決超靜定結構的關鍵是求出結構的基本未知量，而基本結構就是計算超靜定結構的計算對象。對于一個超靜定結構來說，基本結構有多種形式，但不論采用哪種形式，基本未知量的數(shù)目是相同的。15.1.2力法典型方程圖15-3(a)所示的剛架有六個支座約束，其中三個是多余的，所以這是一個三次超靜定結構?，F(xiàn)選擇去掉B支座的三個約束，用多余未知力X1、X2和X3代替其作用，得到圖15-3(b)所示的基本結構。

圖15-3力法典型方程推導用圖(a)原結構(b)基本結構(c)1=1作用(d)2=1作用(e)3=1作用(f)作外荷載作用15.1.2力法典型方程在原結構中，B為固定端支座，所以該處的水平位移、豎直位移和角位移都為零。因此，受外荷載P和多余未知力X1、X2和X3共同作用的基本結構中的B點沿X1方向的水平位移Δ1，沿X2方向的豎向位移Δ2和沿X3方向的角位移Δ3都應分別等于零，即

Δ1=0，Δ2=0，Δ3=015.1.2力法典型方程若單位力X1=1單獨作用時，引起X1的作用點沿X1、X2和X3方向的位移分別為δ11、δ21、δ31，如圖15-3(c)所示，則未知力X1單獨作用時相應的位移為δ11X1、δ21X1、δ31X1。若單位力X2=1單獨作用時，引起X2作用點沿X1、X2和X3方向相應的位移為δ12、δ22、δ32，如圖15-3(d)所示，則未知力X2單獨作用時，相應的位移為δ12

X2、δ22

X2、δ32

X2。同理，若單位力X3=1單獨作用時，相應位移為δ13、δ23、δ33，如圖15-3(e)所示。則未知力X3單獨作用時，相應的位移為δ13X3、δ23X3、δ33X3。在荷載單獨作用下相應的位移為Δ1P

、Δ2P、Δ3P，根據(jù)疊加原理，位移條件可寫成15.1.2力法典型方程上式是由位移條件所建立的可求解多余力X1、X2和X3的三次超靜定力法典型方程。對于n次超靜定結構，同理可建立求解n個多余未知力的力法典型方程。首先去掉n個多余約束，用n個多余未知力代替，得到同時受荷載和n個多余未知力作用的基本結構，相應地在n個多余約束處建立n個位移條件——基本結構中沿n個多余力方向的位移與原結構中該方向的位移相等。15.1.2力法典型方程根據(jù)疊加原理，位移協(xié)調條件可寫為

(15-4)15.1.2力法典型方程式(15-4)的方程組具有一定規(guī)律，不論超靜定結構的類型、次數(shù)及所選取的基本結構如何，它在荷載作用下的力法方程都具有該公式的形式，故稱式(15-4)為n次超靜定的力法典型方程。在式(15-4)中，系數(shù)δij和自由項ΔiP都代表基本結構的位移。位移符號中采用兩個下標，第一個下標表示位移的方向，第二個下標表示產(chǎn)生位移的原因。例如，ΔiP為由荷載產(chǎn)生的沿Xi方向的位移；δij為由單位力Xj=1產(chǎn)生的沿Xi方向的位移，常稱為柔度系數(shù)。15.1.2力法典型方程在式(15-4)的方程組中，位于從左上方δ11至右下方δnn的一條主對角線上的系數(shù)δii稱為主系數(shù)；主對角線兩側的其他系數(shù)δij(i≠j)稱為副系數(shù)；最后一項ΔiP稱為自由項。所有的系數(shù)和自由項都是基本結構上與某一多余未知力Xi作用方向相應的位移，并規(guī)定與所設的多余未知力Xi作用方向一致時為正。因為主系數(shù)δii代表由單位力Xi=1作用時，在其本身方向引起的位移，它必然與單位力Xi=1的方向一致，所以主系數(shù)恒為正數(shù)。而副系數(shù)δij(i≠j)則可正、可負或為零。根據(jù)位移互等定理有

δij=δji

15.1.2力法典型方程因為基本結構是靜定的，所以力法方程中的各系數(shù)和自由項都可按第14章中求位移的方法計算。對于梁和剛架，可按式（15-5）或圖乘法計算：

(15-5)

式中，Mi、Mj和MP分別代表Xi=1、Xj=1和荷載單獨作用下基本結構的彎矩圖。15.1.2力法典型方程從力法方程中解出多余力Xi(i=1、2、……、n)后，就可用靜定結構中的計算方法算出其余反力和內力，或按下述疊加原理求出最后內力，即

(15-6)

式中，Mi、FSi和FNi是基本結構由于Xi=1作用而產(chǎn)生的內力，MP、FSP和FNP是基本結構由于荷載作用而產(chǎn)生的內力。15.1.3力法計算步驟與示例根據(jù)以上所述，力法計算超靜定結構的步驟可歸納如下：（1）選取基本結構。去掉原結構的多余約束，并以多余未知力代替相應多余約束的作用，從而得到基本結構。（2）建立力法方程。根據(jù)基本結構在去掉多余約束出的位移等于原結構相應位置的位移，建立力法方程。（3）求系數(shù)和自由項。對于一般結構，可用圖乘法計算力法方程中的系數(shù)和自由項。對于曲桿或變截面桿則不能用圖乘法。這是，必須列出彎矩方程，用位移公式計算。15.1.3力法計算步驟與示例（4）解力法方程，求解各多余未知力。（5）求出多余未知力后，即可用疊加法繪出原結構的最后彎矩圖。然后根據(jù)彎矩圖用平衡條件求剪力圖和軸力圖。以下分別舉例說明用力法計算超靜定梁、剛架、超靜定桁架、排架、組合結構的具體方法。15.1.3力法計算步驟與示例

1.超靜定梁和剛架【例3-1】

圖15-4【例15-1】圖

(a)原結構(b)基本結構(c)MP圖（d）M1圖(e)M2圖（f）M3圖(g)M圖(h)FS圖15.1.3力法計算步驟與示例15.1.3力法計算步驟與示例

2.超靜定桁架用力法計算超靜定桁架時，因為桁架只承受結點荷載，桿件均為等截面直桿且只產(chǎn)生軸力，所以力法典型方程中的系數(shù)和自由項的計算公式為

(15-7)桁架各桿的最后內力可按疊加法計算如下。

(15-8)15.1.3力法計算步驟與示例【例15-2】圖15-5【例15-2】圖15.1.3力法計算步驟與示例【解】(1)確定基本結構。此桁架是一次超靜定結構，現(xiàn)切斷FC桿，并用多余力X1代替，得到圖15-5(b)所示的基本結構。(2)建立力法方程。根據(jù)切口兩側截面沿桿軸方向的相對線位移為零的條件，可建立力法方程，即

δ11X1+Δ1P=015.1.3力法計算步驟與示例15.1.3力法計算步驟與示例

3.排架排架常用于裝配式單層工業(yè)廠房，其屋架簡化為一剛度無限大的直桿(桿件)，屋架與柱之間的聯(lián)結為鉸接。用力法分析排架時，常取桿件的軸力作為基本未知力，其基本結構為一組與地面固結的豎向的懸臂梁(柱)，其他計算步驟與梁相同。15.1.3力法計算步驟與示例【例15-3】圖15-6【例15-3】圖15.1.3力法計算步驟與示例15.1.3力法計算步驟與示例

4.組合結構

組合結構中的梁式桿件既承受彎矩又承受軸力，而桁架桿件只承受軸力作用。其用力法計算過程同前。15.1.3力法計算步驟與示例【例15-7】15.1.3力法計算步驟與示例

圖15-7【例15-4】圖

(a)原結構(b)基本結構(c)FN1圖(d)M1圖(e)MP圖(單位：kN·m)(f)

FN圖(單位：kN)(g)M圖(單位：kN·m)(h)M圖(單位：kN·m)15.1.3力法計算步驟與示例PART15.2利用對稱性計算超靜定結構的內力15.2利用對稱性計算超靜定結構的內力實際工程中很多結構是對稱的，利用它的對稱性可簡化內力的計算過程。用力法分析超靜定結構時，力法方程是多余未知力的線性代數(shù)方程組，需要計算方程的系數(shù)和解聯(lián)立方程。其結構的超靜定次數(shù)越多，方程數(shù)量越多，計算工作量就越大。而主要工作量的大小取決于力法典型方程，并且需要計算大量的系數(shù)和自由項并求解該線性方程組。利用對稱性來計算超靜定結構，其目的就是簡化計算過程。要簡化計算過程必須從簡化力法典型方程著手。15.2利用對稱性計算超靜定結構的內力若能使力法典型方程中的一些系數(shù)和自由項等于零，則可使計算得到一定程度的簡化。通過對力法典型方程中系數(shù)的物理意義進行分析，可知主系數(shù)恒為正數(shù)，因此只能從副系數(shù)、自由項和基本未知量這三個方面考慮。力法典型方程簡化的原則是使盡可能多的副系數(shù)和自由項等于零。這樣不僅簡化了系數(shù)的計算工作，也簡化了聯(lián)立方程的求解工作。為達到這一目的，可利用結構的對稱性、荷載的對稱性和反對稱性來簡化計算。15.2.1選取對稱基本結構對稱結構是指結構的幾何形狀和支撐情況關于某軸對稱，桿件截面的剛度也關于此軸對稱，如圖15-8(a)所示。在工程實際中，許多結構都是對稱的，利用對稱性，適當選取基本結構，使力法方程中盡可能多的副系數(shù)和自由項等于零，可以達到計算簡化的目的。

圖15-8對稱結構分析(a)剛架(b)基本結構(c)M1圖(d)M2圖(e)M3圖15.2.1選取對稱基本結構荷載可分為對稱荷載和反對稱荷載。對稱荷載是指繞對稱軸對折后，對稱軸兩邊的荷載彼此重合，即兩者作用點相對應，大小相等，方向相同。反對稱荷載是指繞對稱軸對折后，對稱軸兩邊的荷載正好相反，即兩者作用點相對應，大小相等，方向相反。同理，未知的約束力也可分為對稱約束力和反對稱約束力。15.2.1選取對稱基本結構將圖15-8(a)所示的剛架在水平橫梁拆開，可得圖15-8(b)所示的基本結構。多余未知力中軸力X1和彎矩X2是對稱的，而剪力X3是反對稱的。由圖15-8(c)、(d)、(e)可知，力法方程中的系數(shù)δ13=δ31=δ23=δ32=0，δ12=δ21=δ23=δ32=0。于是力法典型方程可簡化為(15-9)15.2.1選取對稱基本結構由此可知，用力法計算對稱結構時，若取對稱的基本結構且多余未知力都是對稱和反對稱力，則力法方程可分成兩組：一組只包含對稱未知力，另一組只包含反對稱未知力。由于選用對稱結構，使力法方程階次降低，從而使計算得到簡化。15.2.2荷載分組根據(jù)荷載正對稱和反對稱的特點，可分別討論兩種情況下對稱結構的內力特點，如圖15-9、圖15-10所示。

圖15-9正對稱荷載內力分析

(a)正對稱(X3=0)(b)正對稱(M′P圖)15.2.2荷載分組

圖15-10反對稱荷載內力分析

(a)反對稱(X1=0，X2=0)(b)反對稱(M″P

圖)15.2.2荷載分組

1.正對稱荷載當荷載是正對稱時，荷載彎矩圖M′P圖必然是對稱的，如圖15-9(b)所示。由M′P圖與圖15-8(e)的M3圖圖乘，求得自由項Δ′3P=0。將其代入式(15-8)中，可得X3=0，即反對稱未知力為零。由此得出結論：對稱結構在正對稱荷載作用下，反對稱未知力為零，只有正對稱未知力。計算時，可直接取如圖15-9(a)所示的基本結構，由式(15-9)中的一、二式求出對稱未知力X1、X2。15.2.2荷載分組

2.反對稱荷載此時荷載彎矩圖M″P圖是反對稱的，如圖15-10(b)所示?？汕蟮米杂身棪ぁ?P=Δ″2P=0，將其代入式(15-8)中，得X1=X2=0，即對稱未知力為零。由此得出結論：對稱結構在反對稱荷載作用下，正對稱未知力為零，只有反對稱未知力。綜上所述，可以得出對稱結構的受力和變形特點：在正對稱荷載作用下，反力、內力和變形是對稱的；在反對稱荷載作用下，反力、內力和變形是反對稱的。

15.2.2荷載分組【例15-5】圖15-11【例15-5】圖115.2.2荷載分組在正對稱荷載的作用下，由于計算剛架時通常忽略軸力對變形的影響，也就是忽略橫梁的壓縮變形，因此，為了求作圖15-11（a）所示剛架的彎矩圖，只要作出圖15-11（c）所示的剛架在反對稱荷載作用下的彎矩圖即可。反對稱荷載作用下的基本結構如圖15-12（a）所示。切口截面的彎矩、軸力都是正對稱的未知力，應為零；只有反對稱未知力X1存在。15.2.2荷載分組圖15-12（b）、（c）所示為基本結構在荷載和未知力方向的單位力作用下的彎矩圖。圖15-12【例15-5】圖215.2.2荷載分組15.2.2荷載分組剛架的彎矩圖如圖15-13所示。圖15-13【例15-5】圖3PART15.3超靜定結構在溫度變化和支座移動情況下的內力計算15.3超靜定結構在溫度變化和支座移動情況下的內力計算對于靜定結構，在荷載作用下會產(chǎn)生內力，而在其他因素（如支座移動、溫度改變、制造誤差及材料的收縮膨脹等）影響下，不會產(chǎn)生內力。但是，對于超靜定結構，在上述幾種因素作用下，結構都將產(chǎn)生內力，這是超靜定結構的重要特征之一。15.3超靜定結構在溫度變化和支座移動情況下的內力計算在溫度變化和支座移動作用下，超靜定結構之所以會產(chǎn)生內力，是因為有多余約束的存在。由于多余約束的存在限制了結構的自由變化和位移，因此產(chǎn)生了內力。當用力法計算溫度變化和支座移動所產(chǎn)生的內力時，同樣需要去掉多余約束，使結構變成靜定的基本結構?；窘Y構在支座移動或溫度變化等外在因素和多余未知力共同作用下，在多余未知力作用點處的位移應與原結構該處的實際位移相符合。根據(jù)這一位移協(xié)調條件，建立力法典型方程，并從力法典型方程中解出基本未知力，從而解決整個問題。15.3.1超靜定結構在溫度變化情況下的內力計算溫度變化引起超靜定結構的內力計算，方法同荷載作用下的計算相同，仍要判斷超靜定次數(shù)和選擇適當?shù)幕窘Y構，不同點是力法方程中的自由項是由溫度變化引起的基本結構上未知力作用點的位移，力法典型方程為

(15-10)

15.3.1超靜定結構在溫度變化情況下的內力計算式中，Δit是溫度變化引起的基本結構(靜定結構)未知力作用點的位移，可按前述內容計算得式中，在確定系數(shù)和自