12.2 三角形全等的判定（原卷版）

12.2三角形全等的判定1.理解和掌握邊邊邊、邊角邊的方法判斷三角形全等；2.理解和掌握角邊角和角角邊的方法判斷三角形全等；3.理解和掌握直角三角形的判定方法。一、判定方法一：邊邊邊（SSS）1.邊邊邊：三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡寫成“邊邊邊“或“SSS“)。2.書寫格式①先寫出所要判定的兩個(gè)三角形。②列出條件：用大括號將兩個(gè)三角形中相等的邊分別寫出。③得出結(jié)論：兩個(gè)三角形全等。如下圖，在△ABC和△A'∵∴△ABC?△書寫判定兩個(gè)三角形全等的條件：在書寫全等的過程中，等號左邊表示同一個(gè)三角形的量，等號右邊表示另一個(gè)三角形的量。如上圖，等號左邊表示△ABC的量，等號右邊表示△A'3.作一個(gè)角等于已知角已知：∠AOB。求作：∠A'O作法：如上圖所示，①以點(diǎn)O為圓心、任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點(diǎn)C，D。②畫一條射線(O'A',以點(diǎn)O'為圓心、OC長為半徑畫弧，交③以點(diǎn)C'為圓心、CD長為半徑畫弧，與上一步中所畫的弧交于點(diǎn)④過點(diǎn)。D'畫射線O'B題型一利用SSS直接證明三角形全等如圖，已知，要用“”判定，則只需添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件是_____．1．如圖，已知，要使得，根據(jù)“SSS”的判定方法，需要再添加的一個(gè)條件是_______．2．如圖，，若要用“”證明，需要補(bǔ)充一個(gè)條件，這個(gè)條件是__________．題型二全等三角形的性質(zhì)與SSS綜合如圖，點(diǎn)E、點(diǎn)F在上，且，，，求證：．1．已知：如圖，中，，為的中點(diǎn)．求證：平分．2．已知如圖，四邊形中，，，求證：．題型三作一個(gè)角等于已知角如圖：(1)在的內(nèi)部利用尺規(guī)作（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)判斷直線的位置關(guān)系1．如圖，已知和線段a，求作，使，2．已知．求作．（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）二、判定方法二：邊角邊（SAS）1.邊角邊：兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡寫成“邊角邊“或“SAS“)。2.書寫格式如下圖，在△ABC和?！鰽'∵∴△ABC?△【理解和拓展】有兩條邊和一個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等，如下圖，在△ABC和△ABD中，AB=AB，∠ABC=∠ABD，AC=AD，但△ABC和△ABD不全等。所以，“SSA“不能證明三角形全等。題型四利用SAS直接證明三角形全等如圖，已知，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，和相交于點(diǎn)，且，則圖中全等三角形共有（

）A．對 B．對 C．對 D．對1．在和中，，，再補(bǔ)充下列哪個(gè)條件可以根據(jù)“”判斷和全等（）A． B． C． D．2．如圖，已知，那么添加下列一個(gè)條件后，能用“”判定的是（

）A． B． C． D．題型五全等三角形的性質(zhì)與SAS綜合如圖，，，．求證(1)；(2)．1．如圖，點(diǎn)B，D，C，F(xiàn)在一條直線上，，，，求證：．2．如圖，和均為等腰三角形，，，，點(diǎn)D在線段上（與A，B不重合），連接．(1)證明：．(2)若，，求的長．三、判定方法三：角邊角（ASA）和角角邊（AAS）1.角邊角①內(nèi)容：兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡寫成“角邊角“或“ASA“)。②書寫格式：如下圖，在△ABC和△A'∵∴△ABC?△2.角角邊①內(nèi)容：兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡寫成“角角邊“或“AAS“)。②書寫格式：如下圖，在△ABC和△A'∵∴△ABC?△3.“角邊角“與“角角邊“的關(guān)系由三角形內(nèi)角和定理知，只要兩個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等，則其第三個(gè)角也對應(yīng)相等，所以兩角及一邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形一定全等。無論這一邊是“對邊“還是“夾邊“，只要對應(yīng)相等即可判定兩個(gè)三角形全等?！纠斫馀c拓展】①在運(yùn)用“ASA“時(shí)，要從圖形上確定是按“角→邊→角“的順序排列條件。②在運(yùn)用“AAS“時(shí)，要從圖形上確定是按“角→角→邊“的順序排列條件。③有3個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等，即不能用“AAA“作為三角形全等的判定條件。如下圖，在△ABC和?！鰽'B'C'中，∠A=∠A'題型六用ASA或AAS證明三角形全等如圖，，點(diǎn)，點(diǎn)在上，，求證：．1．如圖，在和中，，點(diǎn)在邊上，，求證：．2．如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．求證：．題型七全等三角形的性質(zhì)與ASA（AAS）的綜合在中，，，過點(diǎn)C作直線，于點(diǎn)M，于點(diǎn)N．(1)若在外（如圖1），求證：；(2)若與線段相交（如圖2），且，，則．1．如圖，在中，是邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)畫直線，使，交的延長線于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，的長是偶數(shù)，則長為__________．2．如圖，在中，，于點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，延長交于點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)若，，求的值（用含的式子表示）．四、直角三角形全等的判定方法1.內(nèi)容：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(可以簡寫成“斜邊、直角邊“或“HL“)。2.書寫格式如下圖，在Rt△ABC和Rt△A'∵∴Rt△ABC?Rt△3.“HL“適用的前提條件①“HL“只適合直角三角形全等的判定，不適合一般三角形全等的判定。②直角三角形全等的判定既可以用“SSS“、“SAS“、“ASA“和“AAS“，又可以用“HL“。題型八用HL證全等如圖，已知于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，，．求證：(1)；(2)．1．如圖，中，，，點(diǎn)為延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．2．如圖，已知AB⊥CF于點(diǎn)B，DE⊥CF于點(diǎn)E，BH＝EG，AH＝DG，∠C＝∠F．(1)求證：△ABH≌△DEG；(2)求證：CE＝FB．題型九全等的性質(zhì)與HL綜合如圖，四邊形中，，平分，，．(1)根據(jù)給出的條件，找出圖中一對全等三角形并證明；(2)探求和的大小關(guān)系，并加以證明．1．如圖，在四邊形中，，，，，垂足分別為，.(1)求證：；(2)若與交于點(diǎn)，求證：．2．如圖（1），，，點(diǎn)C是上一點(diǎn)，且，．(1)試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．(2)如圖（2），若把沿直線向左平移，使的頂點(diǎn)C與B重合，此時(shí)第（1）問中與的位置關(guān)系還成立嗎？說明理由．（注意字母的變化）．一、單選題1．如圖，在中，是的邊上的中線，那么可以證明，這里證明全等所使用的判定方法是（

）A． B． C． D．2．下列各命題都成立，逆命題也成立的有（

）（1）同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行

（2）全等三角形的對應(yīng)邊相等（3）如果兩個(gè)角是直角，那么它們相等

（4）如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的平方相等A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．如圖，在和中，，，，，，與相交于點(diǎn)P，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．4．如圖，在中，，平分，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．5．如圖，是的中線，E，F(xiàn)分別是和延長線上的點(diǎn)，且，連接，下列說法：①；②和面積相等；③；④；⑤．其中正確的有（

）A．1個(gè) B．5個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．如圖，在四邊形ABCD中，F(xiàn)是對角線AC的中點(diǎn)，連接DF并延長交BC于點(diǎn)E，若，，，則四邊形的面積為（

）A．1 B．2 C．3 D．47．如圖，用尺規(guī)作出∠OBF=∠AOB，作圖痕跡是（）．A．以點(diǎn)B為圓心，OD為半徑的圓 B．以點(diǎn)B為圓心，DC為半徑的圓C．以點(diǎn)E為圓心，OD為半徑的圓 D．以點(diǎn)E為圓心，DC為半徑的圓8．如圖，，且平分，則利用（

）可說明與全等．A． B． C． D．9．已知如圖：，且，于D，于D．，．連接，．則圖中陰影部分的面積為（

）．A．5 B．6 C．9 D．1010．如圖，在和中，，，，，三點(diǎn)在同一直線上，添加下列條件，不能判定的是（

）A． B． C． D．11．如圖，在和中，，，，過A作，垂足為F，過A作，垂足為H，交的延長線于點(diǎn)G，連接．四邊形的面積為12，，則的長是(

)A．2 B．2.5 C．3 D．12．如圖，已知，則圖中全等的三角形有（

）對．A．3對 B．4對 C．5對 D．6對二、填空題13．如圖所示，分別是銳角和中邊的高，且，若要使，可補(bǔ)充的條件是___________（只需要填寫一個(gè)你認(rèn)為適當(dāng)?shù)臈l件即可）14．如圖，為的高，E為邊上一點(diǎn)，M，N分別為，的中點(diǎn)，若，，則MN的長是__________．15．如圖，在中，垂直的平分線于點(diǎn)P，若，且，則__________．16．如圖，點(diǎn)在上，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，．若，則________________．三、解答題17．已知：如圖，，，，，是垂足，．(1)求證：；(2)求證：．18．如圖，在中，，的角平分線、相交于點(diǎn)O，求證：．19．如圖，已知，(1)尺規(guī)作圖：在線段的下方，以點(diǎn)為頂點(diǎn)，作，交線段于點(diǎn)（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，請說明；(3)若，平分，求的度數(shù)．20．如圖，在中，，，為的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且，過點(diǎn)A作交的延長線于點(diǎn)．(1)求證：．(2)若，，求線段的長．21．如圖，在中，，是邊上的高，是邊上的高，、相交于點(diǎn)，，且．(1)線段的長度等于___________．(2)求證：．(3)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線以每秒4個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，、兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間