2021年中考數(shù)學真題分類匯編：32新定義與閱讀理解創(chuàng)新型問題

2021年中考數(shù)學真題分類匯編：專題32新定義與閱讀理解創(chuàng)新型問題

一、單選題

,、fa（a<b）

1.（四川省雅安市2021年中考數(shù)學真題）定義：=,、，若函數(shù)

[b（a>b）

y=min（x+l,-%2+2x+3）,則該函數(shù)的最大值為（）

A.0B.2C.3D.4

2.（廣東省2021年中考真題數(shù)學試卷）我國南宋時期數(shù)學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，

此公式與古希臘幾何學家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為“，b,c,記p=.”>+￡,

2

則其面積5=]〃（/?_&）（/?_3（/?_。）.這個公式也被稱為海倫-秦九韶公式.若p=5,c=4,則此三角形

面積的最大值為（）

A.亞B.4C.2石D.5

3.（內(nèi)蒙古通遼市2021年中考數(shù)學真題）定義：一次函數(shù)y="+b的特征數(shù)為耳，若一次函數(shù)

3

y=-2x+加的圖象向上平移3個單位長度后與反比例函數(shù)）=——的圖象交于A,B兩點，且點A,8關

x

于原點對稱，則一次函數(shù)y=-2x+〃?的特征數(shù)是（）

A.[2,3]B.[2,-3]C.[-2,3]D.[-2,-3]

4.（江蘇省無錫市2021年中考數(shù)學真題）設尸（x,y）,Q（x,%）分別是函數(shù)G，C2圖象上的點，當aWxWZ?

時，總有-1?%必??恒成立，則稱函數(shù)G，在aWxWb上是“逼近函數(shù)”，aWxW匕為“逼近區(qū)

間則下列結論：

①函數(shù)y=x-5,y=3x+2在1Wx<2上是''逼近函數(shù)”；

②函數(shù)y=x-5,y=%2-4x在3WXW4上是''逼近函數(shù)”；

③OWxWl是函數(shù)y=%2—l,y=2--x的“逼近區(qū)間”；

④2KxW3是函數(shù)y=x-5,丁=/一4》的“逼近區(qū)間”.

其中，正確的有（）

A.②③B.①④C.①③D.②④

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\a,a>b

5.（2021.廣西來賓市.中考真題）定義一種運算：a*b=\t,，則不等式（2x+l）*（2—x）>3的解集

[b,a<b

是（）

A.x>l或x<—B.-1<x<-C.%>1或尤<-1D.x>,或％<—1

333

6.（2021.廣西中考真題）如"={1,2/},我們叫集合M，其中1,21X叫做集合〃的元素.集合中的

元素具有確定性（如x必然存在），互異性（如XH1,XH2）,無序性（即改變元素的順序，集合不變）.若

集合N={x,l,2},我們說M=N.已知集合A={1,0,a},集合B=若A=3,則匕一a的

值是（）

A.-1B.0C.1D.2

7.（2021.湖北中考真題）定義新運算“※”：對于實數(shù)加，〃，P,q,有[租,.必[%〃]=師+pq,其中

等式右邊是通常的加法和乘法運算，如：[2,3怦[4,5]=2x5+3x4=22.若關于x的方程

[d+1,二!※[5-2左，對=0有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是（）

A.k<—且左。0B.k￡—C.kW—且AHOD.kN—

4444

8.（2021?甘肅武威市?中考真題）對于任意的有理數(shù)a,。，如果滿足二+2==土鄉(xiāng)，那么我們稱這一對數(shù)

232+3

為“相隨數(shù)對“，記為（a,。）.若（根,〃）是“相隨數(shù)對”，則3m+2[3租+（2〃—1）]=（）

A.-2B.-1C.2D.3

二、填空題

9.（廣西貴港市2021年中考數(shù)學真題）我們規(guī)定：若之=（玉,）,J了=（》2，%），則+?例如

]=（1,3）,1=（2,4），則二1=]*2+384=2+12=]4.已知1=（*+1,*_1）,1=（工_3,4），且一2領/3,

則聯(lián)工的最大值是-

10.（遼寧省丹東市2021年中考數(shù)學試題）已知：到三角形3個頂點距離之和最小的點稱為該三角形的費

馬點.如果AABC是銳角（或直角）三角形，則其費馬點尸是三角形內(nèi)一點，且滿足

NAPB=ZBPC=NC7%=120。.（例如：等邊三角形的費馬點是其三條高的交點）.若

AB=AC=V7,BC=2A/3-P為AABC的費馬點，則Q4+PB+PC=；若

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AB=2y/3,BC=2,AC=4,尸為AABC的費馬點，則Q4+R5+PC=.

11.（浙江省寧波市2021年中考數(shù)學試卷）在平面直角坐標系中，對于不在坐標軸上的任意一點A（x,y）,

（\］、

我們把點B稱為點A的“倒數(shù)點”.如圖，矩形。CDE的頂點C為（3,0）,頂點E在y軸上，函數(shù)

I%y）

2

y=、（x＞0）的圖象與DE交于點兒若點B是點A的“倒數(shù)點”，且點B在矩形OCDE的一邊上,則“OBC

的面積為.

12.（山東省前澤市2021年中考數(shù)學真題）定義：［a,仇c］為二次函數(shù)y-ax2+bx+c（a00）的特征數(shù)，

下面給出特征數(shù)為［加,1一加,2-加］的二次函數(shù)的一些結論：①當m=1時，函數(shù)圖象的對稱軸是y軸；②

當加=2時，函數(shù)圖象過原點；③當機＞0時，函數(shù)有最小值；④如果相＜0,當時，y隨x的增大

2

而減小，其中所有正確結論的序號是.

13.（2021?湖南婁底市?中考真題）弧度是表示角度大小的一種單位，圓心角所對的弧長和半徑相等時，這

個角就是1弧度角，記作Irad.己知a=lrad,尸=60。，則a與月的大小關系是。

14.（2021?上海中考真題）定義：在平面內(nèi)，一個點到圖形的距離是這個點到這個圖上所有點的最短距離,

在平面內(nèi)有一個正方形，邊長為2,中心為O,在正方形外有一點P,OP=2,當正方形繞著點。旋轉時,

則點P到正方形的最短距離d的取值范圍為.

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15.（2021?湖北中考真題）對于任意實數(shù)八。，定義一種運算：a?h=a2+b2-ab>若x（8）（x-l）=3,

則x的值為.

三、解答題

16.（江蘇省南通市2021年中考數(shù)學試題）定義：若一個函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標相等的點，則稱該點

為這個函數(shù)圖象的“等值點”.例如，點（1,1）是函數(shù)y=+L的圖象的“等值點”.

22

（1）分別判斷函數(shù)了=彳+2。=_?一》的圖象上是否存在“等值點，，？如果存在，求出“等值點”的坐標；如

果不存在，說明理由；

3

（2）設函數(shù)y=-（x>0）,y=-x+b的圖象的“等值點”分別為點A,B,過點B作3C_Lx軸，垂足為C.當

x

△A6C的面積為3時，求。的值；

（3）若函數(shù),=/一2。2機）的圖象記為叱，將其沿直線無=根翻折后的圖象記為明.當叱，叫兩部分

組成的圖象上恰有2個“等值點'’時，直接寫出m的取值范圍.

17.（江蘇省常州市2021年數(shù)學中考真題）在平面直角坐標系X0V中，對于A、A兩點，若在y軸上存在

點T,使得NAZ4'=9O。，且力4=力4'，則稱A、A'兩點互相關聯(lián)，把其中一個點叫做另一個點的關聯(lián)點.已

知點M（—2,0）、N（—1,0）,點。（機可在一次函數(shù)y=-2x+l的圖像上.

⑴①如圖，在點5（2,0）、C（0,-l）,￡>（-2,-2）^,點M的關聯(lián)點是（填“8”、"仁或“￡>”）；

②若在線段MN上存在點P（l,l）的關聯(lián)點P，則點P'的坐標是；

（2）若在線段上存在點Q的關聯(lián)點Q',求實數(shù)機的取值范圍；

（3）分別以點七（4,2）、。為圓心，1為半徑作?！辍?2.若對0E上的任意一點G,在。。上總存在

點G',使得G、G'兩點互相關聯(lián)，請直接寫出點。的坐標.

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MNB

O

C

D

18.（湖南省張家界市2021年中考數(shù)學真題試題）閱讀下面的材料：

如果函數(shù)y=/（x）滿足：對于自變量x取值范圍內(nèi)的任意玉，%,,

（1）若都有/（3）</（々），則稱f（x）是增函數(shù)；

（2）若芭<々，都有/（為）>/（々），則稱/'（力是減函數(shù).

例題：證明函數(shù)f（x）=x\x>0）是增函數(shù).

證明：任取X]，且%>0，工2>0

則/（尤）1-/（尤2）=Xl-X2=（尤1+%2）（國一尤2）

:々且%>0,x2>0

X]+*2>0,X1一工2<0

（項+々）（王一彳2）<°，即/（%）一/（々）<0，/（西）</（工2）

，函數(shù)/'（X）=/J>0）是增函數(shù).

根據(jù)以上材料解答下列問題：

（1）函數(shù)/（x）=’（x>（））,/⑴=:=1,/（2）=:，/（3）=______，/（4）=______；

x12

（2）猜想/"）=?。ǎ?gt;0）是函數(shù)（填“增”或“減”），并證明你的猜想.

X

19.（山東省棗莊市2021年中考數(shù)學真題）小明根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，參照研究函數(shù)的過程與方法，對函

數(shù)丁=七2（》H0）的圖象與性質進行探究.

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因為y=±-=l—4，即>=一'+1,所以可以對比函數(shù)y=—4來探究.

XXXX

列表：（1）下表列出y與％的幾組對應值，請寫出加，〃的值：機=，“=

j_

X-4-3-2-11234

~22

2￡2_2

y=—一124-4-2-1~3~2

X2

%—233

y=23m-3-10n

X25

x—2

描點：在平面直角坐標系中，以自變量X的取值為橫坐標，以>=——相應的函數(shù)值為縱坐標，描出相應

的點，如圖所示:

（2）請把y軸左邊各點和右邊各點，分別用條光滑曲線順次連接起來：

（3）觀察圖象并分析表格，回答下列問題：

①當x<o時，y隨x的增大而」（填“增大”或“減小”）

x-22

②函數(shù)y=——的圖象是由y=—-的圖象向平移個單位而得到.

xx

③函數(shù)圖象關于點中心對稱.（填點的坐標）

20.（內(nèi)蒙古赤峰市2021年中考數(shù)學真題）閱讀理解：

在平面直角坐標系中，點M的坐標為（％,y）,點N的坐標為（七,必），且”分2,若M、N為某矩

形的兩個頂點，且該矩形的邊均與某條坐標軸垂直，則稱該矩形為M、N的“相關矩形”.如圖1中的矩形為

點M、N的“相關矩形”.

（1）已知點A的坐標為（2,0）.

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①若點B的坐標為（4,4）,則點A、B的“相關矩形”的周長為；

②若點C在直線x=4上，且點A、C的“相關矩形”為正方形，求直線AC的解析式;

（2）已知點尸的坐標為（3,T）,點。的坐標為（6,-2）,若使函數(shù)y的圖象與點P、Q的“相關矩形”

有兩個公共點，直接寫出左的取值范圍.

7-

1234

圖1備用圖1備用圖2

21.（湖北省荊州市2021年中考數(shù)學真題）小愛同學學習二次函數(shù)后，對函數(shù)y=-（|x|-1）?進行了探究,

在經(jīng)歷列表、描點、連線步驟后，得到如

下的函數(shù)圖像.請根據(jù)函數(shù)圖象，回答下列問題:

（1）觀察探究：

①寫出該函數(shù)的一條性質：:

②方程—（國―1）2=—1的解為：

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③若方程-（卜卜1）2=a有四個實數(shù)根，則。的取值范圍是.

（2）延伸思考：

將函數(shù)>=一（國一1）2的圖象經(jīng)過怎樣的平移可得到函數(shù)X=-（卜—2|—1『+3的圖象？寫出平移過程，并

直接寫出當2<x43時，自變量x的取值范圍.

22.（2021?江西中考真題）二次函數(shù)y=%2一2/nx的圖象交x軸于原點。及點A.

感知特例

（1）當機=1時，如圖1,拋物線L:y=/-2x上的點8,O,C，A.。分別關于點A中心對稱的點

為B'，O',C,A，D0，如下表:

0(0,0)C(LT)A(—，—)0(3,3)

r(5,-3)O'(4,0)C(3,l)A（2,0）。'（1,一3）

①補全表格；

②在圖1中描出表中對稱后的點，再用平滑的曲線依次連接各點，得到的圖象記為

形成概念

我們發(fā)現(xiàn)形如（1）中的圖象〃上的點和拋物線L上的點關于點A中心對稱，則稱L'是L的“孔像拋物線例

如，當m=一2時，圖2中的拋物線//是拋物線L的“孔像拋物線”.

探究問題

（2）①當他=-1時，若拋物線L與它的“孔像拋物線”〃的函數(shù)值都隨著x的增大而減小，則x的取值范圍

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為;

②在同一平面直角坐標系中，當旭取不同值時，通過畫圖發(fā)現(xiàn)存在一條拋物線與二次函數(shù)y=f-2mx的

所有“孔像拋物線”2/,都有唯一交點，這條拋物線的解析式可能是.（填“尸加+bx+c''或

“y=ax1+/zx"或"y=ar?+c"或"y=ax2其中aZ?cwO）；

③若二次函數(shù)y=x2-2nvc及它的“孔像拋物線”與直線y=機有且只有三個交點，求〃2的值.

23.（2021?北京中考真題）在平面直角坐標系X。），中，。。的半徑為1,對于點A和線段BC,給出如下定

義：若將線段繞點A旋轉可以得到0。的弦8'C分別是用C的對應點），則稱線段BC是。。

（1）如圖，點4片,€；,62，。2，紇，03的橫、縱坐標都是整數(shù).在線段BG，層G，83c3中，。。的以點A為

中心的“關聯(lián)線段”是；

（2）AA5c是邊長為1的等邊三角形，點A（0,f）,其中若3c是。。的以點A為中心的“關聯(lián)線

段”，求f的值；

（3）在AABC中，AB=I,AC=2.若8c是。。的以點A為中心的“關聯(lián)線段”，直接寫出OA的最小值

和最大值，以及相應的長.

24.（2021?四川中考真題）閱讀以下材料，蘇格蘭數(shù)學家納皮爾（J.即/er,1550—1617年）是對數(shù)的創(chuàng)始

人，他發(fā)明對數(shù)是在指數(shù)書寫方式之前，直到18世紀瑞士數(shù)學家歐拉（EWer.1707—1783年）才發(fā)現(xiàn)指數(shù)

與對數(shù)之間的聯(lián)系.

對數(shù)的定義：一般地.若/=N（。＞0且。聲1）,那么x叫做以a為底N的對數(shù)，

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4

記作X=log?N,比如指數(shù)式2=16可以轉化為對數(shù)式4=10g216,對數(shù)式2=log,9可以轉化為指數(shù)式

32=9.我們根據(jù)對數(shù)的定義可得到對數(shù)的一個性質：

loga(Af-N)=logaM+logaN(a>0,a^l,M>0,N>0),理由如下：

設log“M=m,\ogaN=n,則M=a"',N=a".

'+

:.M-N=a"'-a"=a"".由對數(shù)的定義得m+n=loga(M'N)

又m+〃=log“M+logaN

???log?(M-N)=log“M+log?N.

根據(jù)上述材料，結合你所學的知識，解答下列問題:

(1)填空：①log?32=；②log327=,③k^l=

(2)求證：log"—=log,,M-logHN(a>0,aH1,">0,N>0)；

(3)拓展運用：計算logs125+logs6—logs3().

25.(2021?重慶中考真題)如果一個自然數(shù)M的個位數(shù)字不為0,且能分解成AxB，其中A與3都是兩

位數(shù)，A與8的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字之和為10,則稱數(shù)M為“合和數(shù)”，并把數(shù)M分解成M=

的過程，稱為“合分解

例如?「609=21x29,21和29的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字之和為1(),

.?.609是“合和數(shù)”.

又如?.?234=18x13,18和13的十位數(shù)相同，但個位數(shù)字之和不等于10,

.?.234不是“合和數(shù)

(1)判斷168,621是否是“合和數(shù)”？并說明理由；

(2)把一個四位“合和數(shù)””進行"合分解"，即用=4*3.A的各個數(shù)位數(shù)字之和與8的各個數(shù)位數(shù)字

之和的和記為尸(加)；A的各個數(shù)位數(shù)字之和與8的各個數(shù)位數(shù)字之和的差的絕對值記為Q(M).令

當G(M)能被4整除時，求出所有滿足條件的加.

Q(M)

26.(2021.重慶中考真題)對于任意一個四位數(shù)孫若千位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之和是百位上的數(shù)字與

十位上的數(shù)字之和的2倍，則稱這個四位數(shù)%為“共生數(shù)”例如：m=3507,因為3+7=2x(5+0),所以

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3507是“共生數(shù)”：m=4135,因為4+5A2x(1+3),所以4135不是“共生數(shù)”;

(1)判斷5313,6437是否為“共生數(shù)”?并說明理由;

(2)對于“共生數(shù)”〃，當十位上的數(shù)字是千位上的數(shù)字的2倍，百位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之和能被9

整除時，記/(〃)=].求滿足月(“)各數(shù)位上的數(shù)字之和是偶數(shù)的所有

27.(2021?四川中考真題)已知平面直角坐標系中，點尸(后,為)和直線Ar+8)，+C=0(其中A,B不全

為0),則點P到直線Ar+Bv+C=0的距離d可用公式d=卜？+')'。+0|來計算.

VA2+B2

例如：求點。(1,2)到直線y=2x+l的距離，因為直線y=2x+l可化為2x—y+l=0,其中A=2,B=

J\Ax0+By04-Cl|2xl+(-l)x2+l|1石

-1,C=l,所以點尸(1,2)到直線y=2x+l的距離為：'=j.、%」7+(-1丫=忑=V，

根據(jù)以上材料，解答下列問題：

(1)求點M(0,3)到直線y=JL:+9的距離；

(2)在(1)的條件下，OM的半徑r=4,判斷。/與直線y=&x+9的位置關系，若相交，設其弦

長為小求〃的值；若不相交，說明理由.

28.(2021?湖北中考真題)數(shù)學課外活動小組的同學在學習了完全平方公式之后，針對兩個正數(shù)之和與這兩

個正數(shù)之積的算術平方根的兩倍之間的關系進行了探究，請閱讀以下探究過程并解決問題.

猜想發(fā)現(xiàn)：由5+5=27^=10；-+-=2J-x-=-;0.4+0.4=270.4x0.4=0.8；

33V333

g+5>23x5=2；0.2+3.2>2j0.2x3.2=1.6；1+^>2fl11

—X—=—

282

猜想：如果a>0,h>Q,那么存在a+茄(當且僅當。=。時等號成立).

猜想證明：—逐『20

①當且僅當G—血=0，即。=/?時，a—2疝+〃=()，:?a+b=2y[ab；

②當指一揚。()，BPa1。時，a-2\[ab?*-a+h>2\[ab-

綜合上述可得：若〃>0,/?>0,則a+b22j不成立(當日僅當。二匕時等號成立).

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猜想運用：（1）對于函數(shù)y=x+'（x>0）,當x取何值時，函數(shù)丁的值最?。孔钚≈凳嵌嗌?？

X

變式探究：（2）對于函數(shù)y=」一+x（x>3）,當x取何值時，函數(shù)y的值最小？最小值是多少？

x-3

拓展應用：（3）疫情期間、為了解決疑似人員的臨隔離問題.高速公路榆測站入口處，檢測人員利用檢測

站的一面墻（墻的長度不限），用63米長的鋼絲網(wǎng)圍成了9間相同的長方形隔離房，如圖.設每間離房的

面積為S（米2）.問：每間隔離房的長、寬各為多少時，可使每間隔離房的面積S最大？最大面積是多少？

/////////////////////I//（墻）

29.（2021?內(nèi)蒙古中考真題）數(shù)學課上，有這樣一道探究題.

如圖，已知A/WC中，AB=AC=m,BC=n,N84C=a（0°<a<180°）,點P為平面內(nèi)不與點A、C重合

的任意一點，將線段CP繞點尸順時針旋轉a,得線段PD,E、F分別是CB、CQ的中點，設直線AP與直

EF

線EP相交所成的較小角為￡,探究而的值和夕的度數(shù)與他、〃、a的關系，請你參與學習小組的探究過

程，并完成以下任務：

（1）填空：

（問題發(fā)現(xiàn)）

EF

小明研究了a=60°時，如圖1,求出了一=,/?=；

PA

EF

小紅研究了。=90°時，如圖2,求出了——=,（3=；

PA

（類比探究）

EF

他們又共同研究了a=120。時，如圖3,也求出了一；?；

PA

（歸納總結）

EF

最后他們終于共同探究得出規(guī)律：一=（用含團、n的式子表示）；P=（用含a的

PA

式子表示）.

EF

（2）求出。=120。時五的值和夕的度數(shù).