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第五章三角函數5.1任意角和弧度制5.1.2弧度制一、情境導學引入新課

人的身高常用米、厘米為單位進行度量,家庭購買水果常用千克、斤為單位進行度量.而兩地間的距離常用千米,輪船運送的貨物常用噸表示,這是為什么呢?

答:這是不同的需要,試想要說某個人有多少千米的話,就要用幾位小數點很不方便,同樣,你要說一個萬噸遠洋貨輪,運送了幾斤貨物,在有效數字后面要加多個零,也不方便.在平面幾何中研究角的度量，當時是用度做單位來度量角，1°的角是如何定義的？

我們把用度作為單位來度量角的制度叫做角度制.

在數學和其他許多科學研究中還要經常用到一種度量角的制度—弧度制，它是如何定義呢？

二、分組討論探索新知

長度制的選擇都是要選定一個不變量來作為基本量，要找到一種新的度量角度的角度制，則必須也找到相應的不變量.問題1：角度為30°，60°的圓心角，當半徑r=1,2,3,4時，分別計算對應的弧長l，再計算弧長與半徑的比.

發(fā)現什么規(guī)律？圓心角不變則比值不變.定義：長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角.它的單位符號是rad，讀作弧度.這種用“弧度”做單位來度量角的制度叫做弧度制.如下圖，依次是1rad，2rad，3rad，αrad.三、總結提升深化定義問題2：（1）若弧是一個半圓，圓心角所對的弧度數是多少？若是一個圓呢？（2）正角的弧度數是什么數？負角呢？零角呢？（從正數，負數，零方面去引導）（3）在弧度制下弧長的計算公式應該怎么寫呢？一般地，正角的弧度數是一個正數，負角的弧度數是一個負數，零角的弧度數是0.π，2πl(wèi)=|α|·r（l為弧長，r為半徑）問題3：我們知道平角是180°，那么以弧度為單位度量是多少弧度？180°=πrad問題4：根據上述關系，1°等于多少弧度？1rad等于多少度？

特殊角的度數與弧度數的對應表：角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度0π角度210°225°240°270°300°315°330°360°

弧度2π

角的概念推廣之后，無論用角度制還是弧度制都能在角的集合與實數的集合之間建立了一一對應的關系.問題5：設長度為r的線段繞OA繞端點O旋轉形成的角為α，則弧長l如何求？弧長公式：l=|α|r問題6：半徑為r，圓心角為α的扇形的面積怎么求？

三、典例分析加深理解例1.用弧度制表示：（1）終邊在x軸上的角的集合；

（2）終邊在y軸上的角的集合；

（3）終邊在坐標軸上的角的集合.

例2.將-1500°表示成2kπ+α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式，并指出是第幾象限角.

例3.已知扇形的周長為8厘米，圓心角為2rad，求扇形面積.

1.弧度制的概念，弧長公式、扇形面積公式

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