2022屆北京市高三（上）開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷（學(xué)生版+解析版）

2022屆北京市海淀區(qū)八一學(xué)校高三（上）開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共10小題，共40分）

1.（4分）設(shè)集合A={xh23},B={x|lWxW4},則BCCRA=（）

A.[1,3）B.（-8,4]C.[3,4]D.[1,+°0）

2.（4分）設(shè)2=告，則在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.（4分）已知向量。=（1,2）,b=（2,1）,則cosVa,等于（）

1144

A.-B.C.-D.-H

5555

4.（4分）下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在（0,+8）上為增函數(shù)的是（）

A.f（x）=一1B.f（x）=y/xC.f（x）=|x|D.f（x）=x3+l

5.（4分）已知拋物線f=2py上一點(diǎn)A（/H,1）到其焦點(diǎn)的距離為3,則p=（）

A.2B.-2C.4D.±4

6.（4分）已知數(shù)列{痣}的前〃項(xiàng)和為且為=-10,an+i=an+3（7i€N*）,則S〃取

最小值時(shí)，n的值是（）

A.3B.4C.5D.6

7.（4分）直線y=h+l被圓7+^=2截得的弦長(zhǎng)為2,則人的值為（）

1V2

A.0B.+-C.±1D.+——

22

8.（4分）設(shè)Z片是兩個(gè)向量，則“丘+&>日一百”是唳了X）”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

9.（4分）設(shè)函數(shù)/（x）=fX（V-e"20,若函數(shù)8（X）=于3-ax恰有兩個(gè)零

i-X2-2x-4,x<0

點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.（0,2）B.（0,2]C.（2,+8）D.[2,+<?）

10.（4分）如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體ABC。-A'B'C'D'中，E、尸分別是A。、4'

D'的中點(diǎn)，長(zhǎng)為2的線段MN的一個(gè)端點(diǎn)“在線段EF上運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)端點(diǎn)N在底面A'

B'CD'上運(yùn)動(dòng)，則線段MN的中點(diǎn)尸的軌跡（曲面）與二面角4-A'D'-B'所

圍成的幾何體的體積為（）

二、填空題（本大題共5小題，共25分）

11.（5分）（2x-1）6的展開(kāi)式中/的系數(shù)為（用具體數(shù)據(jù)作答）.

12.（5分）設(shè)“=弓）2,b=bm,c=k>g93,貝!Ia,b,c的從小到大的順序?yàn)?

13.（5分）設(shè)某工廠有兩個(gè)車(chē)間生產(chǎn)同型號(hào)家用電器，第一車(chē)間的次品率為0.15,第二車(chē)

間的次品率為0.12,兩個(gè)車(chē)間的成品都混合堆放在一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，假設(shè)第1,2車(chē)間生產(chǎn)的成

品比例為2：3,今有一客戶從成品倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)提一臺(tái)產(chǎn)品，求該產(chǎn)品合格的概率

為.

X22

14.（5分）已知雙曲線C：下一V三=1的一條漸近線/的傾斜角為7T一，則C的離心率為.

若C的一個(gè)焦點(diǎn)到/的距離為2,則C的方程為.

15.（5分）已知數(shù)列｛〃”｝的通項(xiàng)公式為若存在peR,使得對(duì)任意的“6N*

都成立，則p的取值范圍為

三、解答題（本大題共6小題，共85分）

16.（13分）設(shè)函數(shù)/（x）=m-n,其中向量m=（2cosx,1）,n=（cosx,V3sin2x）.

（1）求函數(shù)/（x）的最小正周期與單調(diào)遞減區(qū)間：

（2）在△ABC中，“、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，己知/（A）=2,b=\,/XABC

的面積為匚V3，判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由.

2

17.（13分）2020年1月10日，引發(fā)新冠肺炎疫情的COW。-9病毒基因序列公布后，科

學(xué)家們便開(kāi)始了病毒疫苗的研究過(guò)程.但是類(lèi)似這種病毒疫苗的研制需要科學(xué)的流程，

不是一朝一夕能完成的，其中有一步就是做動(dòng)物試驗(yàn).已知一個(gè)科研團(tuán)隊(duì)用小白鼠做接

種試驗(yàn)，檢測(cè)接種疫苗后是否出現(xiàn)抗體.試驗(yàn)設(shè)計(jì)是：每天接種一次，3天為一個(gè)接種周

期.己知小白鼠接種后當(dāng)天出現(xiàn)抗體的概率為:假設(shè)每次接種后當(dāng)天是否出現(xiàn)抗體與上

次接種無(wú)關(guān).

(1)求一個(gè)接種周期內(nèi)出現(xiàn)抗體次數(shù)&的分布列；

(2)已知每天接種一次花費(fèi)100元，現(xiàn)有以下兩種試驗(yàn)方案：

①若在一個(gè)接種周期內(nèi)連續(xù)2次出現(xiàn)抗體即終止本周期試驗(yàn)，進(jìn)行下一接種周期，試驗(yàn)

持續(xù)三個(gè)接種周期，設(shè)此種試驗(yàn)方式的花費(fèi)為X元；

②若在一個(gè)接種周期內(nèi)出現(xiàn)2次或3次抗體，該周期結(jié)束后終止試驗(yàn)，已知試驗(yàn)至多持

續(xù)三個(gè)接種周期，設(shè)此種試驗(yàn)方式的花費(fèi)為丫元.本著節(jié)約成本的原則，選擇哪種實(shí)驗(yàn)

方案.

18.(14分)在四棱錐P-ABCO中，%L平面A8CD,底面A8CO是正方形，J.PA=AD

=2,E,尸分別是棱A。，PC的中點(diǎn).

(I)求證：EF〃平面PAB；

(II)求證：EF_L平面PBC；

(III)求二面角E-PC-。的大小.

19.(15分)已知函數(shù)/'(x)=(x1-ax-a)ex+2a,a&R.

(I)若.f(x)在x=0處取得極值，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若關(guān)于X的不等式/(X)>0在(0,+8)上恒成立，求4的取值范圍.

20.(15分)已知橢圓C：捺+，=l(a>b>0)的離心率為當(dāng)長(zhǎng)軸的一個(gè)頂點(diǎn)為4短軸

的一個(gè)頂點(diǎn)為B，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，且SAOAB=5.

(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(H)直線/：y=x+m與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn)，且直線/不經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(4,1).記直線

MP,的斜率分別為心，心，試探究七+幻是否為定值.若是，請(qǐng)求出該定值，若不

是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.(15分)給定無(wú)窮數(shù)列■”｝,若無(wú)窮數(shù)列｛為｝滿足:對(duì)任意“CN*,都有編W1,則

稱｛瓦｝與｛礪｝“接近”.

1

（1）設(shè)｛““｝是首項(xiàng)為1,公比為5的等比數(shù)列,兒=如+1+1，"CN*,判斷數(shù)列｛3｝是否與

｛斯｝接近，并說(shuō)明理由；

（2）設(shè)數(shù)列｛的｝的前四項(xiàng)為：a\=\,42=2,田=4,44=8,｛6〃｝是一個(gè)與｛斯｝接近的數(shù)

列，記集合M=｛x|x=歷，i=l,2,3,4｝,求M中元素的個(gè)數(shù)

（3）已知｛”“｝是公差為”的等差數(shù)列，若存在數(shù)列｛尻｝滿足：｛仇｝與｛斯｝接近，且在歷

-b\,歷-歷，…，歷01-歷00中至少有100個(gè)為正數(shù)，求d的取值范圍.

2022屆北京市海淀區(qū)八一學(xué)校高三(上)開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題(本大題共10小題，共40分)

1.(4分)設(shè)集合4={4x23},3={x|lWxW4},則BGCRA=()

A.[1,3)B.(-8,4]C.[3,4][1,+8)

【解答】解：?.?A={x|x23},??.CM="WV3},

/.BACRA=[1,3).

故選：A.

2.(4分)設(shè)2=告，則在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

則在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，

故選：A.

3.(4分)已知向量。=(1,2),b=(2,1),則cos<d,等于()

114z

A.—B.—FC.-D.—7

555E

【解答】解：?.,向量友=(1,2),b=(2,1),

故選：C.

4.(4分)下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在(0,+8)上為增函數(shù)的是()

A.f(x)=-gB.f(x)=y[xC.f(x)=|x|D.f(x)=x3+l

【解答】解：對(duì)于A,fix)=一[為奇函數(shù)且在(0,+8)上為增函數(shù)，符合題意;

對(duì)于B,/(x)=代為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；

對(duì)于C,f(x)=因?yàn)榕己瘮?shù)，不符合題意；

對(duì)于￡>,/(%)=4+1為非奇非偶函數(shù)，不符合題意.

故選：A.

5.(4分)已知拋物線W=2py上一點(diǎn)A(TH,1)到其焦點(diǎn)的距離為3,則p=()

A.2B.-2C.4D.±4

【解答】解：拋物線的準(zhǔn)線方程為拋物線上一點(diǎn)Akm,1）到其焦點(diǎn)

的距離為3,

可得1+4=3,解得p=4.

故選：C.

6.（4分）已知數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和為S,”且為=-10,an+1=an+3（neN*）,則5?取

最小值時(shí)，”的值是（）

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：在數(shù)列｛““｝中，由斯+1=斯+3,得。”+1-斯=3（neN*）,

.?.數(shù)列｛“”｝是公差為3的等差數(shù)列.

又“1=-10,.?.數(shù)列｛斯｝是公差為3的遞增等差數(shù)列.

1Q

由an—a\+（〃-1）d--10+3（n-1）=3"-1320,解得n>-y.

?..〃6N*,...數(shù)列｛斯｝中從第五項(xiàng)開(kāi)始為正值.

.?.當(dāng)”=4時(shí)，S”取最小值.

故選:B.

7.（4分）直線丫=區(qū)+1被圓/+尸=2截得的弦長(zhǎng)為2,則%的值為（）

1V2

A.0B.土一C.±1D.土一

22

【解答】解：由垂徑定理得圓心（0,0）到直線kx->4-1=0的距離d=Vr2-l2=V2^1=1,

又由點(diǎn)到直線的距離公式得d="一,

向

故五餐=1'解得憶=°

故選：A.

8.（4分）設(shè)；，1是兩個(gè)向量，則“丘+&>日一國(guó)"是嗎4>0”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【解答】解：若向+&>向一加則等價(jià)為丘+訐〉日一虛，

22229

BP|a|+|Z）|+2a*6>|a|+|6|-2abf

BP4a*b>0,則益bX）成立,

反之，也成立，

即“丘+》>而一加’是“莉X）”的充要條件，

故選：C.

9.（4分）設(shè)函數(shù)f（JC）='），"—0,若函數(shù)g（x）=y（x）-奴恰有兩個(gè)零

（-X2-2X-4,X<0

點(diǎn)，則實(shí)數(shù)“的取值范圍為（）

A.（0,2）B.（0,2]C.（2,+8）D.[2,+0°）

【解答】解：由y=/（x）-or恰有兩個(gè)零點(diǎn)，而當(dāng)x=0時(shí)，y=/（0）-0=0,即x=0

是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，

故當(dāng)xWO時(shí)，a=華^必有一個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)〃（x）=q3='4與函數(shù)y

—a必有一個(gè)交點(diǎn)，

作出函數(shù)〃（x）圖象如下所示，

由圖可知，要使函數(shù)力（x）與函數(shù)y=a有一個(gè)交點(diǎn)，只需0<a<2即可.

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0,2）.

故選：A.

10.（4分）如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體A8C￡>-A'B'CD'中，E、尸分別是A。、A'

D'的中點(diǎn)，長(zhǎng)為2的線段MN的一個(gè)端點(diǎn)M在線段EF上運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)端點(diǎn)N在底面A'

B'CD'上運(yùn)動(dòng)，則線段MN的中點(diǎn)P的軌跡（曲面）與二面角A-A'D'-B'所

圍成的幾何體的體積為（）

【解答】解：依題意可知|FP|=$MN|=1,

因此點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)尸為球心、1為半徑的球面的士

4

14.1

于是所求的體積是1x（-TtXI3）=

故選：C.

二、填空題（本大題共5小題，共25分）

11.（5分）（"-1）6的展開(kāi)式中/的系數(shù)為升（用具體數(shù)據(jù)作答）.

【解答】解：因?yàn)椋?x7）6的展開(kāi)式中/的項(xiàng)為：Ct（2%）6一4.（一1）4=22.廉./=

60?；

故（2x-1）6的展開(kāi)式中/的系數(shù)為60.

故答案為：60.

12.（5分）設(shè)a=（；）2,b=bm,c=log93,則a,b,c的從小到大的順序?yàn)閎>a>c.

【解答】解：?.?“=$）$=苧，

b=lim>lne—\,

c=log93=1log99=I，

'.b>a>c,

故答案為：h>a>c.

13.（5分）設(shè)某工廠有兩個(gè)車(chē)間生產(chǎn)同型號(hào)家用電器，第一車(chē)間的次品率為0.15,第二車(chē)

間的次品率為0.12,兩個(gè)車(chē)間的成品都混合堆放在一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，假設(shè)第1,2車(chē)間生產(chǎn)的成

品比例為2：3,今有一客戶從成品倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)提一臺(tái)產(chǎn)品，求該產(chǎn)品合格的概率為

0.868.

【解答】解：設(shè)某工廠有兩個(gè)車(chē)間生產(chǎn)同型號(hào)家用電器，第一車(chē)間的次品率為0.15,第

二車(chē)間的次品率為0.12,

兩個(gè)車(chē)間的成品都混合堆放在一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，假設(shè)第1,2車(chē)間生產(chǎn)的成品比例為2：3,

今有一客戶從成品倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)提一臺(tái)產(chǎn)品，

Q9

則該產(chǎn)品合格的概率為尸=看X（1-0.15）+5X（1-0.12）=0.868.

,該產(chǎn)品合格的概率為0.868.

故答案為：0.868.

14.（5分）己知雙曲線C二一三=1的一條漸近線/的傾斜角為；，則C的離心率為2.

azb23

x2y2

若C的一個(gè)焦點(diǎn)到/的距離為2,則C的方程為—一—=1.

-4

3

71

【解答】解：雙曲線C下一V三2=1的一條漸近線/的傾斜角為小

a2b23

可得2=tan-=V3,所以1=3,即=3,

21

a3Q/a

所以e=a=2,

c的一個(gè)焦點(diǎn)到/的距離為2,2=R==b,所以“=學(xué)，

3

x2y2

所以雙曲線方程為：--^-=1.

-T"

3

%2y2

故答案為：2；———=1.

-4

3

15.（5分）已知數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式為斯=/〃小若存在pWR,使得即Wp〃對(duì)任意的〃EN*

都成立，則p的取值范圍為［怨，+8）

【解答】解：數(shù)列｛?。耐?xiàng)公式為若存在p€R,使得對(duì)任意的〃€N*

都成立，

故P2(―)max

、口乙、Inxmu,，/、rx-lnx

設(shè)f（x）=-（則/（x）=x「

令/。）=與"=0，

解得x=e,

故函數(shù)的函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（0,e）,函數(shù)的減區(qū)間為（e,+8）,

所以函數(shù)在x=e時(shí)函數(shù)取最大值，

ln3

由于正N,所以當(dāng)〃=3時(shí)函數(shù)最大值為一.

3

ln3

所以〃的取值范圍是［丁，+8).

故答案為：+oo).

三、解答題(本大題共6小題，共85分)

16.(13分)設(shè)函數(shù)/(x)=m-n,其中向量租=(2cosx,1),n=(cosx,V3sin2x).

(1)求函數(shù)/(x)的最小正周期與單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)在△ABC中，a.b、c?分別是角A、B、。的對(duì)邊，已知/(A)=2,b=l,△ABC

V3

的面積為匚，判斷AABC的形狀，并說(shuō)明理由.

2

【解答】解：f(x)=m-n=2cos2x+V3sin2x=cos2x+V3sin2A,4-l=2sin(2r+著)+1,

?627r

??/=/-=TT,

.7T77

令區(qū)+2E,髭Z,

712JT

r-+內(nèi)r,k&L,

63

n27r

故了(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為[二+hr,—+ku],keZ.

63

(2)由,f(A)=2sin⑵+1)+1=2,,得sin(2A+Q=1.

7TTC13TT

9：Ae(0,n),???2A+器(-,一),

6

：.2A+l=^-,得A=。

oo3

?.*SAABC=^bcsinA=苧，b=1,

?2S&ABC_2_

-c-岳布T-V3Xy行-29,

由余弦定理得a1=b2+c1-2hccosA=\+4-2X1X2x|=3,

???。2+房=。2,「?△ABC為直角三角形.

17.(13分)2020年1月10日，引發(fā)新冠肺炎疫情的COV/O-9病毒基因序列公布后，科

學(xué)家們便開(kāi)始了病毒疫苗的研究過(guò)程.但是類(lèi)似這種病毒疫苗的研制需要科學(xué)的流程，

不是一朝一夕能完成的，其中有一步就是做動(dòng)物試驗(yàn).已知一個(gè)科研團(tuán)隊(duì)用小白鼠做接

種試驗(yàn)，檢測(cè)接種疫苗后是否出現(xiàn)抗體.試驗(yàn)設(shè)計(jì)是：每天接種一次，3天為一個(gè)接種周

1

期.已知小白鼠接種后當(dāng)天出現(xiàn)抗體的概率為5,假設(shè)每次接種后當(dāng)天是否出現(xiàn)抗體與上

次接種無(wú)關(guān).

（1）求一個(gè)接種周期內(nèi)出現(xiàn)抗體次數(shù)4的分布列；

（2）已知每天接種一次花費(fèi)100元，現(xiàn)有以下兩種試驗(yàn)方案：

①若在一個(gè)接種周期內(nèi)連續(xù)2次出現(xiàn)抗體即終止本周期試驗(yàn)，進(jìn)行下一接種周期，試驗(yàn)

持續(xù)三個(gè)接種周期，設(shè)此種試驗(yàn)方式的花費(fèi)為X元；

②若在一個(gè)接種周期內(nèi)出現(xiàn)2次或3次抗體，該周期結(jié)束后終止試驗(yàn)，已知試驗(yàn)至多持

續(xù)三個(gè)接種周期，設(shè)此種試驗(yàn)方式的花費(fèi)為丫元.本著節(jié)約成本的原則，選擇咖種實(shí)驗(yàn)

方案.

1

【解答】解：（1）由題意可知，隨機(jī)變量/服從二項(xiàng)分布B（3,-）,

故P（k）=鷹&）嗎尸，（后=0,1,2,3）.

則k的分布列為：

k0123

P1331

8888

(2)①設(shè)一個(gè)接種周期的接種費(fèi)用為：元，則？可能的取值為200,300,

1Q

因?yàn)镻(？=200)==，P(《=300)=

1Q

所以E(p=200x4+300x1=275.

所以三個(gè)接種周期的平均花費(fèi)為E(X)=3E(0=3X275=825.

②隨機(jī)變量丫可能的取值為300,600,900,

設(shè)事件A為''在一個(gè)接種周期內(nèi)出現(xiàn)2次或3次抗體”，由(1)知，+<

ooZ

所以P(r=300)=P(A)=1,

、/、/、1

P(zy=600)=[1-P(A)]P(A)=4，

P(y=900)=[1-P(A)][1-P(A)]Xl=i,

111

所以E(Y)=300xi+600xJ+900xJ=525.

因?yàn)槠撸╔）＞E（y）.

所以選擇方案二

18.(14分)在四棱錐P-ABCQ中，用_L平面ABCZ),底面ABC。是正方形，JIPA=AD

=2,E,尸分別是棱4。，PC的中點(diǎn).

(I)求證：EF〃平面PAB；

(II)求證：ERL平面P8C；

(III)求二面角E-PC-O的大小.

BC

【解答】(本小題滿分14分)

(I)證明：設(shè)G是PB的中點(diǎn)，連接AG,GF

:E,F分別是A。，PC的中點(diǎn)，：.GFW^BC,AE||

：.GFIIAE,...AE/G是平行四邊形，||4G…(2分)

；￡：尸《平面PAB,AGu平面PAB,

〃平面以B…(3分)

(II)'：PA=AB,：.AG±PB,…(4分)

\'PALABCD,J.PALBC,

又：8C_LAB,.,.BCmPAB,

：.BC±AG,…(6分)

,：PB與3c相交，，AG_L平面PBC,

,JEF//AG,PBC.—(7分)

(III)以AB,AD,AP分別為x軸、y軸、z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,…(8分)

"：PA=AD=2,

：.E(0,1,0),C(2,2,0),P(0,0,2),F(1,1,1),

設(shè)”是PD的中點(diǎn)，連接A”，；AG_L平面PBC,

.?.同理可證Aa_L平面PC。，.?.前是平面PCD的法向量，AH=(0,1,1)-(9分)

EC=(2,1,0),EP=(0,-1,2)

設(shè)平面PEC的法向量后=(x,y,z),則丁葉=2%+丫=°,

m-EP=-y+2z=0

令y=2,則x=-l,z=l,/.m=(-1,2,1)…(12分)

TTf—

?J/Th、m-AH3V3々八、

..cosOnAH>=—~：^—=-廣產(chǎn)=亍????(13分)

???二面角E-PC-O的大小為30°.…(14分)

19.(15分)已知函數(shù)/(x)=(7-以-“)/+2a,?GR.

(I)若/(x)在x=0處取得極值，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若關(guān)于x的不等式/(x)>0在(0,+8)上恒成立，求a的取值范圍.

【解答】解：(I)由題意知，f'(x)=[』+(2-a)x-2a]Z,

由/(0)=-2a=0,解得a=0,

止匕時(shí)f(x)f(x)=(/+2x)

令/(x)>0,得x<-2或x>0,

令f(x)<0,得-2<x<0,

則函數(shù).f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-8,-2),(0,+8),

單調(diào)遞減區(qū)間是(-2,0).

(II)因?yàn)?'(x)=[/+(2-a)x-(x+2)(x-a),

當(dāng)aWO時(shí)，/(x)>0在(0,+8)上恒成立，

則函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x>0時(shí),，f(x)>/(0)=a20,

所以a=0,

當(dāng)a>0時(shí)，令/(x)>0,解得x>a,

令/G)<0,解得0<x<a,

則函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,a)上單調(diào)遞減，在(a,+8)上單調(diào)遞增，

所以f(x)min—f(a)=-aec'+2a>0,

即ea<2,解得

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是［0,/?2).

20.(15分)已知橢圓C；各，=l(a>b>0)的離心率為手，長(zhǎng)軸的一個(gè)頂點(diǎn)為4,短軸

的一個(gè)頂點(diǎn)為B,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，且S^OAB=5.

(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)直線/：y=x+m與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn),且直線/不經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(4,1).記直線

MP,MQ的斜率分別為幻，3,試探究修+公是否為定值.若是，請(qǐng)求出該定值，若不

是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解答】解：(I?橢圓C：圣+塔=l(a>b>0)的離心率為當(dāng)長(zhǎng)軸的一個(gè)頂點(diǎn)為4,

短軸的一個(gè)頂點(diǎn)為8,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，且SAOAB=5.

伽匕=5傍=20

由題意知，\a2-b2=c2,解得爐=5，

c_而\c2=15

x2y2

故橢圓C的方程為菰+-=L

205

(II)結(jié)論：向+依=0，為定值.

證明如下：

設(shè)P（xi，y\）,Q（12,經(jīng)），

y=%+m

聯(lián)立2,得57+83+4m2-20=0,

（20+Ty=1

△=（8〃力2-20（W-20）>0,解得-5<5,

.,8m4m2-20

??X]+%2=--「，=-----5-----.

..,,_力一1工y2T_（丫1-1）（%2-4）+（及一1）（巧一4）

??勺十42―十-（勺-4）（.2—4）

+m—1)(%2—4)+(%2+M-1)(%1—4)2%]%2+(血—5)(%+.2)-8(m—1)