矩陣可逆的若干判別法

矩陣可逆的若干判別方法摘要矩陣是數(shù)學(xué)中一個(gè)極其重要的概念，是線性代數(shù)的一個(gè)主要研究對(duì)象和重要工具，可逆矩陣在矩陣?yán)碚撝姓加蟹浅Ｖ匾牡匚?判定矩陣是否可逆對(duì)矩陣的運(yùn)算起著至關(guān)重要的作用.為了更便捷地求逆矩陣，本文根據(jù)不同矩陣的不同特點(diǎn)簡(jiǎn)單介紹了幾種求逆矩陣的方法,其中有定義法、行列式法、初等變換法、伴隨矩陣判別法、秩判別法、特征值判別法等并對(duì)部分方法原理進(jìn)行了簡(jiǎn)要論證且給出了相應(yīng)的例題.關(guān)鍵字：可逆矩陣；初等變換；秩；特征值.矩陣可逆的基本概念和定理1.1基本概念在數(shù)學(xué)中，矩陣（Matrix）是一個(gè)按照長(zhǎng)方陣列排列的復(fù)數(shù)或?qū)崝?shù)集合，最早來自于方程組的系數(shù)及常數(shù)所構(gòu)成的方陣。這一概念由19世紀(jì)英國數(shù)學(xué)家凱利首先提出。矩陣是高等代數(shù)學(xué)中的常見工具，也常見于統(tǒng)計(jì)分析等應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科中。在物理學(xué)中，矩陣于電路學(xué)、力學(xué)、光學(xué)和量子物理中都有應(yīng)用；計(jì)算機(jī)科學(xué)中，三維動(dòng)畫制作也需要用到矩陣。矩陣的運(yùn)算是數(shù)值分析領(lǐng)域的重要問題。將矩陣分解為簡(jiǎn)單矩陣的組合可以在理論和實(shí)際應(yīng)用上簡(jiǎn)化矩陣的運(yùn)算。對(duì)一些應(yīng)用廣泛而形式特殊的矩陣，例如稀疏矩陣和準(zhǔn)對(duì)角矩陣，有特定的快速運(yùn)算算法。關(guān)于矩陣相關(guān)理論的發(fā)展和應(yīng)用，請(qǐng)參考矩陣?yán)碚摗Ｔ谔祗w物理、量子力學(xué)等領(lǐng)域，也會(huì)出現(xiàn)無窮維的矩陣，是矩陣的一種推廣。數(shù)值分析的主要分支致力于開發(fā)矩陣計(jì)算的有效算法，這是一個(gè)幾個(gè)世紀(jì)以來的課題，是一個(gè)不斷擴(kuò)大的研究領(lǐng)域。矩陣分解方法簡(jiǎn)化了理論和實(shí)際的計(jì)算。針對(duì)特定矩陣結(jié)構(gòu)（如稀疏矩陣和近角矩陣）定制的算法在有限元方法和其他計(jì)算中加快了計(jì)算。無限矩陣發(fā)生在行星理論和原子理論中。無限矩陣的一個(gè)簡(jiǎn)單例子是代表一個(gè)函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)的導(dǎo)數(shù)算子的矩陣。定義1.1級(jí)方陣稱為可逆的，如果有級(jí)矩陣,使得（1）這里是級(jí)單位矩陣.注可逆矩陣必為方陣,其逆必唯一,且與為同階方陣,即.定義1.2如果適合（1）,那么就稱為的逆矩陣,記作.定義1.3如果階方陣的行列式不等于0,則稱是非奇異的（或非退化的）；否則稱是奇異的（或退化的）.定義1.4設(shè)是矩陣中元素的代數(shù)余子式，矩陣,稱為的伴隨矩陣.定義1.5矩陣中一切非零子式的最高階數(shù)稱為矩陣的秩，記為.定義1.6設(shè),稱矩陣的行向量組的秩為的行秩,矩陣的列向量組的秩為的列秩，矩陣的行秩等于矩陣的列秩,統(tǒng)稱為矩陣的秩,記為.定義1.7由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣.定義1.8矩陣的三類初等變換：(1)對(duì)調(diào)矩陣的兩行(列)；(2)矩陣的某行(列)乘以非零常數(shù)；(3)矩陣的某行（列）的倍數(shù)加到另一行（列）.第一類初等矩陣表示將單位矩陣的第行與第行對(duì)換后得到的矩陣：.注也可以由單位矩陣的第列與第列對(duì)換后得到的矩陣.第二類初等矩陣等于將常數(shù)乘以單位陣的第行（或列）而得到的矩陣：.第三類初等矩陣表示將單位陣的第行（第列）乘以后到第行（第列）上得到的矩陣：.定義1.9如果階矩陣滿足(即),則稱為正交矩陣.定義1.10如果矩陣可以由矩陣經(jīng)過有限次初等變換得到，則稱矩陣與是等價(jià)的.1.2基本定理和推論定理1.1矩陣可逆的充分必要條件是非退化，而可逆時(shí)證明：由行列式按一行（列）展開的公式即可得出：（2）其中如果那么由（2）得（3）當(dāng)，有（3）可知，可逆，且.反過來，如果可逆，那么有使.兩邊取行列式，得,因而，即非退化.定理1.2設(shè)是一個(gè)矩陣，對(duì)施行一次初等行變換，相當(dāng)于在的左側(cè)乘以相應(yīng)的階初等矩陣；對(duì)施行一次初等列變換相當(dāng)于在的右邊乘以相應(yīng)的階初等矩陣.定理1.3[克拉默法則]若非齊線性方程組的系數(shù)行列式，則方程組有唯一解，其解為其中是將系數(shù)行列式中第列的元素對(duì)應(yīng)地?fù)Q成方程組右端的常數(shù)項(xiàng)，而其余各列保持不變得到的行列式.若線性方程組的常數(shù)項(xiàng)，即，稱為齊次線性方程組.定理1.4若齊次線性方程組的系數(shù)行列式，則方程組只有零解.證：因?yàn)?，由克拉默法則，齊次線性方程組有唯一解，又因，可知行列式中的第列元素全為零（），因?yàn)?，齊次線性方程組只有零解.定理1.5任意一個(gè)矩陣都與一個(gè)形如的矩陣等價(jià).矩陣稱為矩陣的標(biāo)準(zhǔn)型.證明：若,則已是標(biāo)準(zhǔn)型（此時(shí)）,結(jié)論成立.若,則中至少有一個(gè)元素不等于零，不妨設(shè)，用乘以第一行加到第行上，再將所得矩陣的第一列乘以加到第列上，并將化為1，于是矩陣化為，若，則已為標(biāo)準(zhǔn)型（此時(shí)），若，則按上面的方法繼續(xù)下去，最終有.推論1.1對(duì)于任意矩陣，存在階初等矩陣和階初等矩陣，使得令,，由于初等矩陣都是可逆矩陣，而可逆矩陣的乘積仍為可逆矩陣，因此,為可逆矩陣，從而有如下推論.推論1.2對(duì)于任意矩陣，存在階可逆矩陣和階可逆矩陣，使得.當(dāng)為階可逆矩陣時(shí)，由可逆的充分必要條件，.又由推論1.2，存在階可逆矩陣,,使得，從而于是只有，所以由如下推論.推論1.3階矩陣可逆的充分必要條件是的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型為.推論1.4階矩陣可逆的充分必要條件是可表示為有限個(gè)初等矩陣的乘積.證明：由推論1.1和推論1.3可知，可逆的充分必要條件是存在階初等矩陣和，使得而初等矩陣的逆矩陣仍為初等矩陣，從而有.第二章矩陣可逆的性質(zhì)定義一個(gè)n階方陣A稱為可逆的，或非奇異的，如果存在一個(gè)n階方陣B，使得并稱B是A的一個(gè)逆矩陣。不可逆的矩陣稱為非奇異矩陣。A的逆矩陣記作A-1。定理驗(yàn)證兩個(gè)矩陣互為逆矩陣按照矩陣的乘法滿足：

故A，B互為逆矩陣。逆矩陣的唯一性若矩陣A是可逆的，則A的逆矩陣是唯一的。證明：若B,C都是A的逆矩陣，則有所以B=C，即A的逆矩陣是唯一的。判定簡(jiǎn)單的矩陣不可逆如

。假設(shè)有

是A的逆矩陣，則有比較其右下方一項(xiàng)：0≠1。[1]

若矩陣A可逆，則|A|≠0若A可逆，即有A-1，使得AA-1=E，故|A|·|A-1|=|E|=1則|A|≠0計(jì)算若|A|≠0，則矩陣A可逆，且其中，A*為矩陣A的伴隨矩陣。性質(zhì)可逆矩陣一定是方陣。（唯一性）如果矩陣A是可逆的，其逆矩陣是唯一的。A的逆矩陣的逆矩陣還是A。記作（A-1）-1=A?？赡婢仃嘇的轉(zhuǎn)置矩陣AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T

(轉(zhuǎn)置的逆等于逆的轉(zhuǎn)置）若矩陣A可逆，則矩陣A滿足消去律。即AB=O（或BA=O），則B=O，AB=AC（或BA=CA），則B=C。兩個(gè)可逆矩陣的乘積依然可逆。矩陣可逆當(dāng)且僅當(dāng)它是滿秩矩陣。證明逆矩陣是對(duì)方陣定義的，因此逆矩陣一定是方陣。設(shè)B與C都為A的逆矩陣，則有B=C假設(shè)B和C均是A的逆矩陣，B=BI=B（AC）=（BA）C=IC=IC，因此某矩陣的任意兩個(gè)逆矩陣相等。由逆矩陣的唯一性，A-1的逆矩陣可寫作（A-1）-1和A，因此相等。矩陣A可逆，有AA-1=I。（A-1）

TAT=（AA-1）T=IT=I，AT（A-1）T=（A-1A）T=IT=I由可逆矩陣的定義可知，AT可逆，其逆矩陣為（A-1）T。而（AT）-1也是AT的逆矩陣，由逆矩陣的唯一性，因此（AT）-1=（A-1）T。1）在AB=O兩端同時(shí)左乘A-1（BA=O同理可證），得A-1（AB）=A-1O=O而B=IB=（AA-1）B=A-1（AB），故B=O2）由AB=AC（BA=CA同理可證），AB-AC=A(B-C)=O，等式兩邊同左乘A-1，因A可逆AA-1=I。得B-C=O，即B=C?？赡娴葍r(jià)條件齊次方程方程組AX=O僅有零解。A行等價(jià)與單位矩陣IA可寫成若干個(gè)初等矩陣之積。是。[1]

（當(dāng)時(shí)，A稱為奇異矩陣），利用這個(gè)方法，來判定一個(gè)矩陣是否可逆更加方便。

證明必要性：當(dāng)矩陣A可逆，則有AA-1=I。（其中I是單位矩陣）兩邊取行列式，det（AA-1）=det（I）=1。由行列式的性質(zhì)：det（AA-1）=det（A）det（A-1）=1則det（A）≠0，（若等于0則上式等于0）充分性：有伴隨矩陣的定理，有

（其中

是的伴隨矩陣。）當(dāng)det（A）≠0，等式同除以det（A），變成

比較逆矩陣的定義式，可知逆矩陣存在且逆矩陣

求法求逆矩陣的初等變換法將一n階可逆矩陣A和n階單位矩陣I寫成一個(gè)nX2n的矩陣

對(duì)B施行初等行變換，即對(duì)A與I進(jìn)行完全相同的若干初等行變換，目標(biāo)是把A化為單位矩陣。當(dāng)A化為單位矩陣I的同時(shí)，B的右一半矩陣同時(shí)化為了A。如求

的逆矩陣A-1。故A可逆并且，由右一半可得逆矩陣A-1=

初等變換法計(jì)算原理若n階方陣A可逆，即A行等價(jià)I，即存在初等矩陣P1，P2,...,Pk使得

，在此式子兩端同時(shí)右乘A-1得：

比較兩式可知：對(duì)A和I施行完全相同的若干初等行變換，在這些初等行變化把A變成單位矩陣的同時(shí)，這些初等行變換也將單位矩陣化為A-1。[2]

如果矩陣A和B互逆，則AB=BA=I。由條件AB=BA以及矩陣乘法的定義可知，矩陣A和B都是方陣。再由條件AB=I以及定理“兩個(gè)矩陣的乘積的行列式等于這兩個(gè)矩陣的行列式的乘積”可知，這兩個(gè)矩陣的行列式都不為0。也就是說，這兩個(gè)矩陣的秩等于它們的級(jí)數(shù)（或稱為階，也就是說，A與B都是方陣，且rank(A)=rank(B)=n）。換句話說，這兩個(gè)矩陣可以只經(jīng)由初等行變換，或者只經(jīng)由初等列變換，變?yōu)閱挝痪仃?。伴隨矩陣法如果矩陣

可逆，則

注意：

中元素的排列特點(diǎn)是的第k列元素是A的第k行元素的代數(shù)余子式。要求得

即為求解

的余因子矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣。A的伴隨矩陣為

，其中Aij=（-1）i+jMij稱為aij的代數(shù)余子式。性質(zhì)2.1若是可逆矩陣，則其逆矩陣唯一.證明：若都是的逆矩陣，則與均滿足式，即從而有即的逆矩陣是唯一的.性質(zhì)2.2若可逆，則可逆，且證明：由可得可逆且性質(zhì)2.3若可逆，則也可逆，且證明：因?yàn)?所以可逆，且性質(zhì)2.4若,都是階可逆矩陣，則可逆且證明：若,可逆，則，存在且所以可逆且若均為同階可逆方陣，則它們的乘積也可逆且性質(zhì)2.5若均為可逆方陣，那么也可逆且性質(zhì)2.6若可逆，，則可逆且證明：若可逆，則，又，可得,所以可逆，再由得性質(zhì)2.7若可逆，則.證明：若可逆，則存在，使得,。由方陣的行列式性質(zhì)有,由以上得即有,且性質(zhì)2.8矩陣與它的具有相同的可逆性，即可逆，可逆,且性質(zhì)2.9對(duì)于初等矩陣有，，第三章矩陣可逆的充分必要條件以下各條件，對(duì)于矩陣可逆來說是等價(jià)的：3.1矩陣的行列式不等于0可逆；3.2矩陣可表示成一系列初等矩陣的乘積可逆；證明：可以表示成初等矩陣的乘積,由于初等矩陣都可逆,則一定可逆；反過來，可逆,則一定可以寫成初等矩陣的乘積,如果不能寫成初等矩陣的乘積,則矩陣一定不可逆,矛盾.所以矩陣可逆.3.3矩陣的特征值都不為0可逆；證明：的特征值不為零,則行列式不為零,所以可逆；反過來，可逆,則行列式不為零,所以特征值都不為0.3.4矩陣等價(jià)于階單位矩陣可逆；3.5矩陣的列(行)向量組線性無關(guān)；證明：的行（列）向量線性無關(guān),則由行列式的性質(zhì)知道的行列式不為零，則可逆；當(dāng)然如果可逆,則的行列式一定不為零,如果其行（列）線性相關(guān)，則行列式為零,與已知條件矛盾.3.6齊次線性方程組僅有零解可逆；證明：齊次線性方程組僅有零解,由克拉默法則知的行列式不為零,所以矩陣可逆；矩陣可逆,則一定有解唯一,即只有零解.3.7非齊次線性方程組有唯一解可逆；證明：有唯一解,則的行列式不為零，故可逆；反過來，可逆，則行列式不為零,由克拉默法則知有唯一解.3.8存在可逆矩陣,使得可逆，其中；證明：同推論的秩等于，即可逆.證明：，矩陣滿秩,即行向量、列向量均線性無關(guān),所以矩陣行列式不為零,矩陣可逆；反過來，矩陣可逆,所以行列式不為零,由行列式的性質(zhì)知行向量（列向量）一定線性無關(guān),所以.第四章矩陣可逆的基本判別方法4.1定義法由定義1.1可有定義法，級(jí)方陣稱為可逆的，如果有級(jí)矩陣，使得，這里是級(jí)單位矩陣.注：利用定義法，當(dāng)條件中有矩陣方程時(shí)，通過矩陣運(yùn)算規(guī)律從矩陣方程中湊出的形式，從而可得，這一方法一般也適用于抽象矩陣求逆.例1設(shè)，討論的可逆性并求.解：當(dāng)，所以可逆.設(shè)，由定義知，則由矩陣乘法得解得所以當(dāng)時(shí)，不可逆.例2設(shè)為非零矩陣，且,證明：與都可逆.解：由,根據(jù)可逆矩陣的定義得可逆，且又由根據(jù)可逆矩陣的定義得可逆，且注：定義法一般適用于求二級(jí)，三級(jí)可逆方陣的逆矩陣，或是適用于抽象矩陣，級(jí)數(shù)高的可逆矩陣不采取這種方法.因?yàn)榫仃嚨募?jí)數(shù)越大，方程組所含的方程越多，計(jì)算量一般非常大，解方程就很困難.4.2公式法或伴隨矩陣法由定理1.1可得到公式法，當(dāng)級(jí)方陣可逆時(shí).注：求逆矩陣的公式，同時(shí)可以判定一個(gè)矩陣的可逆性，但它的計(jì)算量一般非常大.例3求的逆矩陣.解：的伴隨矩陣又所以由公式得.注：由于計(jì)算需計(jì)算個(gè)階行列式，同時(shí)還要計(jì)算，計(jì)算量較大，且容易出錯(cuò)，因此用公式法求矩陣的逆矩陣一般適用于低階矩陣或較簡(jiǎn)單的高階矩陣，或用于證明中；此法不適用于分塊矩陣.4.3初等變換求逆法初等行變換法矩陣是階可逆矩陣，可通過一系列的初等行變換將化為單位矩陣，即,則而可逆，且是一系列初等矩陣的乘積.具體方法如下：初等列變換法方法如下：注：具體數(shù)字的矩陣的求其逆矩陣時(shí)，常用初等變換法，這是實(shí)際應(yīng)用中比較簡(jiǎn)單的一種方法.例4利用矩陣的初等變換，求方陣的逆矩陣。故注：用初等行變換法求時(shí)，對(duì)只能施行一系列初等行變換，而不能用初等列變換；同理對(duì)只能施行一系列初等列變換，而不能用初等行變換.4.4分塊矩陣求逆法若，分別為階和階可逆矩陣時(shí)，則有（1），（2），（3），（4）我們對(duì)（4）作下證明：證明：因?yàn)榫赡?，由拉普拉斯展開式有所以矩陣可逆.設(shè)，則即有解得故注：在處理較大的矩陣時(shí)，常常對(duì)矩陣進(jìn)行分塊，把大矩陣運(yùn)算化為小矩陣的運(yùn)算.要特別注意的是，在做分塊的乘法時(shí)，應(yīng)使左矩陣上列的分塊方式與右矩陣上行的分塊方式一致，分塊矩陣求逆矩陣，有時(shí)比用其他方法更簡(jiǎn)便更準(zhǔn)確.例5設(shè)，求.解：令,,.則,而,所以故注：利用以上四種方法都能求出可逆矩陣的逆矩陣，但相對(duì)而言，初等行變換法應(yīng)用起來更方便，更簡(jiǎn)單，而且不容易出錯(cuò).故我們?cè)诮忸}過程中一般采取初等行變換法.第五章矩陣可逆的其他判別方法5.1秩判別法由充分必要條件3.9可得到秩判別法，即，則階方陣可逆.例6設(shè)矩陣,判斷是否可逆.解：對(duì)矩陣進(jìn)行初等行變換化為階梯型矩陣因階梯型矩陣有三個(gè)非零行，所以,所以不可逆.5.2向量組法由3.5可以得到判別矩陣可逆的向量組法，此法同秩判別法有很大的關(guān)聯(lián).例7：判定矩陣的可逆性.解：令，，則可表示成因?yàn)?所以線性相關(guān)，故不可逆.5.3線性方程組判別法1.齊次線性方程（1）,即(其中為該齊次線性方程組的系數(shù)矩陣）只有零解可逆.證明：用分別代表系數(shù)矩陣各列,則齊次方程組（1）可寫成,方程組只有零解,即,從而線性無關(guān)，而線性無關(guān)的充要條件為可逆.非齊次線性方程（2），即（其中為該方程組的系數(shù)矩陣）有唯一解可逆.證明：用分別非齊次線性方程（2）代表系數(shù)矩陣各列，即 ,則方程組的向量形式為,由,知成的一組基,故每個(gè)向量都可以寫成的線性組合的形式，即,且系數(shù)由唯一決定.換句話說,命題中的方程組有唯一解.反過來若方程組有唯一解,則必然有,否則方程組無解或有無窮多解.5.4特征值判別法由充分必要條件3.3可以得到特征值判別法，即矩陣可逆時(shí)是它的特征值不等于零.例8判斷是否可逆.解:由特征值法：解得特征值為特征值全不為0，所以矩陣可逆.第六章一些特殊矩陣的可逆性特例6.1單位矩陣是可逆的.證明：因?yàn)轱@然成立,故根據(jù)矩陣可逆的定義可知單位矩陣可逆,進(jìn)而知道,所以也是可逆的.特例6.2令對(duì)角矩陣,若它的主對(duì)角線上的元均不為零,則可逆.證明：記,,因?yàn)?故根據(jù)矩陣可逆的定義可知,是可逆的.特例6.3數(shù)量矩陣可逆.證明：因?yàn)?而單位矩陣是可逆的,由矩陣可逆性質(zhì)知,故可逆.特例6.4當(dāng)時(shí),有,矩陣稱為上三角形矩陣,可逆上三角形矩陣的逆仍是上三角形矩陣.證明:令,設(shè)是的逆,即,比較和的第一列元素：因?yàn)?所以進(jìn)而.同理可以比較其它列,得時(shí),,所以是上三角形矩陣,故可逆上三角形矩陣的逆仍是上三角形矩陣.注:此結(jié)論對(duì)下三角形矩陣也是成立的.特例6.5正交矩陣是可逆的,且. 例9已知為一對(duì)稱正交陣,求的逆矩陣.解：因?yàn)闉檎魂?，由定義知，故,所以特例6.6解矩陣方程的基本方法有：方法1：若可逆，則,可以先求出，再做乘法求出，也可以用行變換法直接求出，即方法2：若不可逆，則可設(shè)未知數(shù)列方程用高斯消元法化為階梯形方程組.例10已知,求.解：由于，矩陣可逆，且，所以小結(jié)本文的第一章對(duì)矩陣的諸多定義、性質(zhì)進(jìn)行了介紹；第二、三章介紹可逆矩陣的性質(zhì)和一些充分必要條件；第四章介紹了判別矩陣可逆的一些基本方法，其中有定義法、伴隨矩陣法、初等變換法、分塊矩陣法；第五章介紹了判定矩陣可逆的一些其他判別方法，其中包括秩判別法、線性方程組判別法、特征值判別法、和向量組法。本文對(duì)一些判斷矩陣是否可逆的方法進(jìn)行了論證，并舉例進(jìn)行說明，使讀者對(duì)各種判別方法的使用有一個(gè)較清楚的認(rèn)識(shí).參考文獻(xiàn)[1]苗寶軍.翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式在高等代數(shù)課程中的設(shè)計(jì)及實(shí)效性研究[J].科教文匯（上旬刊），2017（09）：61-64.[2]龍艷華，王學(xué)平.零和自由半環(huán)上的半可逆矩陣[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2017，40（04）：450-456.[3]周慧倩.可逆矩陣的初等變換對(duì)其逆矩陣的影響[J].河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2017，26（02）：52-54.[4]陳小明，游偉青，李文喜，蔣浩.一類可逆矩陣在保密通信中的應(yīng)用[J].信息網(wǎng)絡(luò)安全，2017（05）：7-13.[5]王良晨，胡學(xué)剛，李玲.矩陣可逆的充要條件[J].科教文匯（中旬刊），2017（04）：39-40.[6]李淑芝，胡琴，鄧小鴻.灰度共生矩陣紋理特征選塊的可逆圖像水印[J].光電子?激光，2017，28（04）：411-418.[7]陳瑞，王星星.矩陣可逆的若干判別方法研究[J].棗莊學(xué)院學(xué)報(bào)，2017，34（02）：66-71.[8]張新文，王佳.基于可逆矩陣加密技術(shù)的保密通信數(shù)學(xué)模型[J].西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2017，42（02）：166-170.[9]劉漢超，徐曉偉.可逆上三角矩陣上的加性映射[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版），2017，55（01）：79-81.[10]張楠，海國君，阿拉坦倉.算子矩陣的左可逆補(bǔ)[J].內(nèi)蒙古大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2017，48（01）：30-33.[11]吳肇星，金鑫，宋承根，張春偉，李曉東.基于隨機(jī)可逆矩陣的3D點(diǎn)云模型加密[J].系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)，2016，28（10）：2455-2459.[12]肖瀅.逆矩陣的判定及計(jì)算方法[J].高等數(shù)學(xué)研究，2016，19（04）：72-76.[13]王紫萍.考研中的伴隨矩陣A*[J].內(nèi)江科技，2016，37（04）：103.[14]孫俊豐，黃俊杰，阿拉坦倉.一類缺項(xiàng)算子矩陣的可逆補(bǔ)[J].內(nèi)蒙古大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2016，47（01）：28-36.[15]俞美華.求逆矩陣的幾種方法[J].科技視界，2015（31）：177-178.[16]單彩虹，陳平，張歡，劉翠香.可逆矩陣的判定及其逆矩陣的求法[J].信息系統(tǒng)工程，2015（09）：123-124.[17]張慧芳，齊雅茹，黃俊杰，阿拉坦倉.一類缺項(xiàng)四分塊算子矩陣的可逆補(bǔ)[J].應(yīng)用泛函分析學(xué)報(bào)，2015，17（03）：242-246.[18]劉艷花.矩陣可逆的一個(gè)充分必要條件的幾種講法[J].科技資訊，2015，13（26）：94-95+97.[19]修風(fēng)光.逆矩陣相關(guān)問題的探討[J].科技展望，2015，25（15）：255.[20]賴璇，陳正新.可逆上三角矩陣群的交換自同構(gòu)[J].福建師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015，31（03）：1-6.[21]譚佩貞.矩陣可逆判定方法的探討[J].科技展望，2015，25（10）：295.[22]吳德玉，阿拉坦倉.一類無界上三角算子矩陣可逆的