第06講 正多邊形和圓（知識(shí)解讀+真題演練+課后鞏固）（原卷版）

第06講正多邊形和圓了解正多邊形和圓的有關(guān)概念；理解并掌握正多邊形半徑和邊長(zhǎng)、邊心距、中心角之間的關(guān)系，會(huì)應(yīng)用多邊形和圓的有關(guān)知識(shí)畫(huà)多邊形．知識(shí)點(diǎn)1圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算（1）正三角形在⊙中△是正三角形，有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行：；（2）正四邊形同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行，：（3）正六邊形同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行，.知識(shí)點(diǎn)2與正多邊形有關(guān)的概念1、正多邊形的中心正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心。2、正多邊形的半徑正多邊形的外接圓的半徑叫做這個(gè)正多邊形的半徑。3、正多邊形的邊心距正多邊形的中心到正多邊形一邊的距離叫做這個(gè)正多邊形的邊心距。4、中心角正多邊形的每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角叫做這個(gè)正多邊形的中心角。知識(shí)點(diǎn)3正多邊形的對(duì)稱(chēng)性1、正多邊形的軸對(duì)稱(chēng)性正多邊形都是軸對(duì)稱(chēng)圖形。一個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱(chēng)軸，每條對(duì)稱(chēng)軸都通過(guò)正n邊形的中心。2、正多邊形的中心對(duì)稱(chēng)性邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，它的對(duì)稱(chēng)中心是正多邊形的中心。3、正多邊形的畫(huà)法先用量角器或尺規(guī)等分圓，再做正多邊形。【題型1正多邊形與圓求角度】【典例1】（2023?青羊區(qū)校級(jí)模擬）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，∠ADB的度數(shù)是（）A．20° B．30° C．45° D．60°【變式1-1】（2023?惠水縣一模）如圖，邊長(zhǎng)相等的正五邊形、正六邊形的一邊重合，則∠1的度數(shù)為（）A．10° B．12° C．20° D．22°【變式1-2】（2022秋?曲周縣期末）已知：如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，點(diǎn)P是劣弧上不同于點(diǎn)C的任意一點(diǎn)，則∠BPC的度數(shù)等于（）A．45° B．60° C．35° D．55°【變式1-3】（2023?新市區(qū)校級(jí)一模）如圖，⊙O與正五邊形ABCDE的邊AB、DE分別相切于點(diǎn)B、D，則劣弧所對(duì)的圓心角∠BOD的大小為（）A．150° B．144° C．135° D．120°【題型2正多邊形與圓求線段長(zhǎng)度】【典例2】（2023?龍港市二模）如圖，要擰開(kāi)一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正六邊形螺帽，則扳手張開(kāi)的開(kāi)口b至少為（）A．2a B． C． D．【變式2-1】（2023春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）如圖，A、B、C、D為一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)，若∠ADB＝15°，則該正多邊形的邊數(shù)為（）A．9 B．10 C．11 D．12【變式2-2】（2022秋?煙臺(tái)期末）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，若⊙O的周長(zhǎng)等于6π，則正六邊形的邊長(zhǎng)為（）A． B．3 C． D．【變式2-3】（2023?蘇州二模）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為1，過(guò)O作OM垂直AB，交AB于點(diǎn)M，則OM的長(zhǎng)為．【題型3正多邊形與圓求半徑】【典例3】（2022秋?鞏義市期末）如圖，已知⊙O的內(nèi)接正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，則⊙O的半徑為（）A． B． C．1 D．【變式3-1】（2022秋?慈溪市期末）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，正六邊形的周長(zhǎng)是12，則⊙O的半徑是（）A．1 B． C．2 D．【變式3-2】（2023?宜春一模）若正方形的邊長(zhǎng)為8，則其外接圓的半徑是．【題型4正多邊形與圓求面積】【典例4】（2022秋?呈貢區(qū)期末）正六邊形的邊長(zhǎng)為6cm，則該正六邊形的內(nèi)切圓面積為（）A．48πcm2 B．36πcm2 C．24πcm2 D．27πcm2【變式4-1】（2023?大冶市一模）如圖，有一個(gè)亭子，它的地基是邊長(zhǎng)為4m的正六邊形，則地基的面積為（）A．4m2 B．12m2 C．24m2 D．24m2【變式4-2】（2023?南山區(qū)二模）劉徽在《九章算術(shù)注》中首創(chuàng)“割圓術(shù)”，利用圓的內(nèi)接正多邊形來(lái)確定圓周率，開(kāi)創(chuàng)了中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展史上圓周率研究的新紀(jì)元．某同學(xué)在學(xué)習(xí)“割圓術(shù)”的過(guò)程中，作了一個(gè)如圖所示的圓內(nèi)接正八邊形．若⊙O的半徑為1，則這個(gè)圓內(nèi)接正八邊形的面積為（）A．π B．2π C． D．【變式4-3】（2023?濟(jì)源一模）如圖，正六邊形ABCDEF，A（﹣2，0），D（2，0），點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C→D→E→F→A以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到第2023秒時(shí)，△AOP的面積為（）A． B． C． D．1【題型5正多邊形與圓求周長(zhǎng)】【典例5】（2023?欽州一模）如圖，若一個(gè)正六邊形的對(duì)角線AB的長(zhǎng)為10，則正六邊形的周長(zhǎng)（）A．5 B．6 C．30 D．36【變式5-1】（2023春?余姚市期中）一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正多邊形的每個(gè)外角的度數(shù)是36°，則這個(gè)正多邊形的周長(zhǎng)是（）A．1 B．10 C．5 D．【變式5-2】（2022秋?北辰區(qū)校級(jí)期末）邊心距為3的正六邊形的周長(zhǎng)為（）A．18 B． C． D．【變式5-3】（2022秋?河西區(qū)期末）六個(gè)帶30°角的直角三角板拼成一個(gè)正六邊形，直角三角板的最短邊為10，求中間正六邊形的周長(zhǎng)．【題型6正多邊形與直角坐標(biāo)系綜合】【典例6】（2023?西和縣一模）在2022年北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式和閉幕式中，一片“雪花”的故事展現(xiàn)了“世界大同、天下一家”的主題，讓世界觀眾感受到中國(guó)人的浪漫，如圖，將“雪花”圖案（邊長(zhǎng)為4的正六邊形ABCDEF）放在平面直角坐標(biāo)系中，“雪花”中心與原點(diǎn)重合，C，F(xiàn)在y軸上，則頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A．（4，2） B．（4，4） C． D．【變式6-1】（2023?洛龍區(qū)一模）在2022年北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式和閉幕式中，一片“雪花”的故事展現(xiàn)了“世界大同、天下一家”的主題，讓世界觀眾感受了中國(guó)人的浪漫．如圖，將“雪花”圖案（邊長(zhǎng)為4的正六邊形ABCDEF）放在平面直角坐標(biāo)系中，若AB與x軸垂直，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，﹣3），則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A．） B． C．D．【變式6-2】（2022秋?綿陽(yáng)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正六邊形OABCDE的邊長(zhǎng)是4，則它的內(nèi)切圓圓心M的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．（2，4）1．（2023?臨沂）將一個(gè)正六邊形繞其中心旋轉(zhuǎn)后仍與原圖形重合，旋轉(zhuǎn)角的大小不可能是（）A．60° B．90° C．180° D．360°2．（2023?內(nèi)江）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)P在上，點(diǎn)Q是的中點(diǎn)，則∠CPQ的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．36° D．60°3．（2023?安徽）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，連接OC，OD，則∠BAE﹣∠COD＝（）A．60° B．54° C．48° D．36°4．（2023?自貢）第29屆自貢國(guó)際恐龍燈會(huì)“輝煌新時(shí)代”主題燈組上有一幅不完整的正多邊形圖案，小華量得圖中一邊與對(duì)角線的夾角∠ACB＝15°，算出這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（）A．9 B．10 C．11 D．125．（2022?綿陽(yáng)）在2022年北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式和閉幕式中，一片“雪花”的故事展現(xiàn)了“世界大同、天下一家”的主題，讓世界觀眾感受了中國(guó)人的浪漫．如圖，將“雪花”圖案（邊長(zhǎng)為4的正六邊形ABCDEF）放在平面直角坐標(biāo)系中，若AB與x軸垂直，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，﹣3），則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）（2﹣2，3）B．（0，1+2）C．（2﹣，3） D．（2﹣2，2+）6．（2022?雅安）如圖，已知⊙O的周長(zhǎng)等于6π，則該圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊心距OG為（）A．3 B． C． D．31．（2022秋?靈寶市期末）邊長(zhǎng)為4的正方形內(nèi)接于⊙O，則⊙O的半徑是（）A． B．2 C．2 D．42．（2023?梁溪區(qū)二模）如圖所示，A、B、C、D是一個(gè)外角為40°的正多邊形的頂點(diǎn)．若O為正多邊形的中心，則∠OAD的度數(shù)為（）A．14° B．40° C．30° D．15°3．（2023春?漢壽縣期末）若一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為144°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（）A．7 B．8 C．9 D．104．（2023?崆峒區(qū)校級(jí)三模）平?jīng)鍪嗅轻忌剿菏茄芯吭簴|地區(qū)磚石建筑藝術(shù)的寶貴實(shí)物資料，圖①是位于崆峒山靈龜臺(tái)西的靈秘塔，塔為石基磚砌身，呈六角六面四級(jí)階狀尖頂塔，圖②是靈秘塔某層的平面示意圖，若將其抽象為正六邊形，則a的度數(shù)為（）A．45° B．50° C．60° D．72°5．（2023?玉林一模）如圖，在由邊長(zhǎng)相同的7個(gè)正六邊形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B在格點(diǎn)上．再選擇一個(gè)格點(diǎn)C，使△ABC是以AB為腰的等腰三角形，符合點(diǎn)C條件的格點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．46．（2023?夏津縣一模）如圖，用若干個(gè)全等的正五邊形排成圓環(huán)狀，圖中所示的是其中3個(gè)正五邊形的位置．要完成這一圓環(huán)排列，共需要正五邊形的個(gè)數(shù)是（）A．7個(gè) B．8個(gè) C．9個(gè) D．10個(gè)7．（2023?咸寧模擬）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，其半徑為1，作OF⊥BC交⊙O于點(diǎn)F，則的長(zhǎng)為（）A．π B． C． D．8．（2022?青島）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)M在上，則∠CME的度數(shù)為（）A．30° B．36° C．45° D．60°9．（2022秋?荔灣區(qū)校級(jí)期末）如圖．點(diǎn)O是正五邊形ABCDE的中心，⊙O是正五邊形的外接圓，∠ADE的度數(shù)為（）A．30° B．32° C．36° D．40°10．（2022?思明區(qū)校級(jí)二模）如圖，正三角形PMN的頂點(diǎn)分別是正六邊形ABCDEF三邊的中點(diǎn)，則三角形PMN與六邊形ABCDEF的面積之比（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：811．（2022?桐梓縣模擬）如圖，⊙O與正六邊形OABCDE的邊OA，OE分別交于點(diǎn)F，G，點(diǎn)M為劣弧FG的中點(diǎn)．若FM＝4．則點(diǎn)O到FM的距離是（）A．4 B． C． D．12．（2023春?高邑縣期末）定義：如果幾個(gè)全等的正n邊形依次有一邊重合，排成一圈，中間可以圍成一個(gè)正多邊形，那么我們稱(chēng)作正n邊形的環(huán)狀連接．如圖1，我們可以看作正八邊形的環(huán)狀連接，中間圍成一個(gè)正方形．（1）若正六邊形作環(huán)狀連接，如圖2，中間可以圍成的正多邊形的邊數(shù)為；（2）若邊長(zhǎng)為a的正n邊形作環(huán)狀連接，中間圍成的是等邊三角形，則這個(gè)環(huán)狀連接的外輪廓長(zhǎng)為．（用含a的代數(shù)式表示）13．（2023?興慶區(qū)校級(jí)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF的中心與原點(diǎn)O重合，AB∥x軸，交y軸于點(diǎn)P．將△OAP繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為．14．（2023?新城區(qū)校級(jí)二模）如圖，已知⊙O的內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊心距OM是，則正六邊形的