2016年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試二試試題及詳細解析（解析版）

PAGE一、填空題（本大題共8小題，每小題8分，共64分）1．設(shè)實數(shù)滿足，則的取值范圍是.【答案】【解析】由可得，原不等式可變形為即，所以.又，故.2．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，，其中是虛數(shù)單位，分別表示的共軛復(fù)數(shù)，則的模為.【答案】3．正實數(shù)均不等于1，若，，則的值為.【答案】【解析】令，，則，，條件化為，，由此可得，因此.4．袋子A中裝有2張10元紙幣和3張1元紙幣，袋子B中裝有4張5元紙幣和3張1元紙幣.現(xiàn)隨機從兩個袋子中各取出兩張紙幣，則A中剩下的紙幣面值之和大于B中剩下的紙幣面值之和的概率為.【答案】5．設(shè)P為一圓錐的頂點，A，B，C是其底面圓周上的三點，滿足=90°，M為AP的中點.若AB=1，AC=2，，則二面角M—BC—A的大小為.【答案】【解析】由=90°知，AC為底面圓的直徑.設(shè)底面中心為O，則平面ABC，易知，進而.設(shè)H為M在底面上的射影，則H為AO的中點.在底面中作于點K，則由三垂線定理知，從而為二面角M—BC—A的平面角.因，結(jié)合與平行知，，即，這樣.故二面角M—BC—A的大小為.6．設(shè)函數(shù)，其中是一個正整數(shù).若對任意實數(shù)，均有，則的最小值為.【答案】16【解析】由條件知，其中當(dāng)且僅當(dāng)時，取到最大值.根據(jù)條件知，任意一個長為1的開區(qū)間至少包含一個最大值點，從而，即.反之，當(dāng)時，任意一個開區(qū)間均包含的一個完整周期，此時成立.綜上可知，正整數(shù)的最小值為.7．雙曲線C的方程為，左、右焦點分別為、，過點作直線與雙曲線C的右半支交于點P，Q，使得=90°，則的內(nèi)切圓半徑是.【答案】【解析】8．設(shè)是1，2，…，100中的4個互不相同的數(shù)，滿足則這樣的有序數(shù)組的個數(shù)為.【答案】40【解析】由柯西不等式知，，等號成立的充分必要條件是，即成等比數(shù)列.于是問題等價于計算滿足…的等比數(shù)列的個數(shù).設(shè)等比數(shù)列的公比，且為有理數(shù).記，其中為互素的正整數(shù)，且.先考慮的情況.此時，注意到互素，故為正整數(shù).相應(yīng)地，分別等于，它們均為正整數(shù).這表明，對任意給定的，滿足條件并以為公比的等比二、解答題（本大題共3個小題，共56分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）9．（本題滿分16分）在中，已知.求的最大值.【解析】由數(shù)量積的定義及余弦定理知，.同理得，，.故已知條件化為即.由余弦定理及基本不等式，得所以.等號成立當(dāng)且僅當(dāng).因此的最大值是.10．（本題滿分20分）已知是R上的奇函數(shù)，，且對任意，均有.求…的值.【解析】設(shè)=1，2，3，…），則.因此11．（本題滿分20分）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，F(xiàn)是軸正半軸上的一個動點.以F為焦點，O為頂點作拋物線C.設(shè)P是第一象限內(nèi)C上的一點，Q是軸負半軸上一點，使得PQ為C的切線，且｜PQ｜=2.圓均與直線OP相切于點P，且均與軸相切.求點F的坐標(biāo)，使圓與的面積之和取到最小值.【解析】設(shè)拋物線C的方程是，點Q的坐標(biāo)為，并設(shè)的圓心分別為.①注意到OP與圓相切于點P，所以.設(shè)圓與軸分別相切于點M，N，則分別是的平分線，故=90°.從而由射影定理知結(jié)合①，就有②.作代換，由于，所以.于是.上式等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，此時，因此結(jié)合①得，從而F的坐標(biāo)為.一、（本題滿分40分）設(shè)實數(shù)滿足.求的最大值.【解析】令由已知得：對，均有.所以.當(dāng)時，上述不等式等號成立，且有，此時.綜上所述，所求最大值為.二、（本題滿分40分）如圖所示，在△ABC中，X,Y是直線BC上兩點（X,B,C,Y順次排列），使得BX·AC=CY·AB.設(shè)△ACX，△ABY的外心分別為，直線與AB,AC分別交于點U、V.證明：△AUV是等腰三角形.【證明】作∠BAC的內(nèi)角平分線交BC于點P,設(shè)△ACX和△ABY的外接圓分別為和，由內(nèi)角平分線的性質(zhì)知，,由條件可得,從而即CP·PX=BP·PY.故P對圓和的冪相等，所以P在和的根軸上.于是AP⊥，這表明點U、V關(guān)于直線AP對稱，從而△AUV是等腰三角形.三、（本題滿分50分）給定空間中10個點，其中任意四點不在一個平面上，將某些點之間的線段相連，若得到的圖形中沒有三角形也沒有空間四邊形，試確定所連線段數(shù)目的最大值.【解析】以這10個點為頂點，所連線段為邊，得到一個10界簡單圖G，我們證明G的邊數(shù)不超過15.對每個，至多與中的一個頂點相鄰（否則設(shè)與）相鄰，則就對應(yīng)了一個空間四邊形的四個頂點，這與題設(shè)條件矛盾，從而與之間的邊數(shù)至多條.在這個頂點之間，由于沒有三角形，由托蘭定理，至多條邊，因此G的邊數(shù)如圖給出的圖共有15條邊，且滿足要求，綜上所述，所求邊數(shù)的最大值為15.四、（本題滿分50分）設(shè)p與p+2均是素數(shù)，p>3,數(shù)列定