概率推理中的貝葉斯定理

概率推理中的貝葉斯定理

基于不確定性信息的推理和決策需要基于不同結(jié)論的概率，這些結(jié)論稱為概率推理。概率推理既是概率學(xué)和邏輯學(xué)的研究對象,也是心理學(xué)的研究對象,但研究的角度是不同的。概率學(xué)和邏輯學(xué)研究的是客觀概率推算的公式或規(guī)則;而心理學(xué)研究人們主觀概率估計(jì)的認(rèn)知加工過程規(guī)律。貝葉斯推理的問題是條件概率推理問題,這一領(lǐng)域的探討對揭示人們對概率信息的認(rèn)知加工過程與規(guī)律、指導(dǎo)人們進(jìn)行有效的學(xué)習(xí)和判斷決策都具有十分重要的理論意義和實(shí)踐意義。1貝葉斯定理早在18世紀(jì),英國學(xué)者貝葉斯(1702～1761)曾提出計(jì)算條件概率的公式用來解決如下一類問題:假設(shè)H1,H2…互斥且構(gòu)成一個(gè)完全事件,已知它們的概率P(Hi),i=1,2,…,現(xiàn)觀察到某事件A與H1,H2…相伴隨而出現(xiàn),且已知條件概率P(A/Hi),求P(Hi/A)。貝葉斯公式(發(fā)表于1763年)為:這就是著名的“貝葉斯定理”,一些文獻(xiàn)中把P(H1)、P(H2)稱為基礎(chǔ)概率,P(A/H1)為擊中率,P(A/H2)為誤報(bào)率。現(xiàn)舉一個(gè)心理學(xué)研究中常被引用的例子來說明:參加常規(guī)檢查的40歲的婦女患乳腺癌的概率是1%。如果一個(gè)婦女有乳腺癌,則她有80%的概率將接受早期胸部腫瘤X射線檢查。如果一個(gè)婦女沒有患乳腺癌,也有9.6%的概率將接受早期胸部腫瘤X射線測定法檢查。在這一年齡群的常規(guī)檢查中某婦女接受了早期胸部腫瘤X射線測定法檢查。問她實(shí)際患乳腺癌的概率是多大??設(shè)H1=乳腺癌,H2=非乳腺癌,A=早期胸部腫瘤X射線檢查(以下簡稱“X射線檢查”),已知P(H1)=1%,P(H2)=99%,P(A/H1)=80%,P(A/H2)=9.6%,求P(H1/A)。根據(jù)貝葉斯定理,P(H1/A)=(1%)(80%)/[(1%)(80%)+(99%)(9.6%)]=0.078心理學(xué)家所關(guān)心的是,一個(gè)不懂貝葉斯原理的人對上述問題進(jìn)行直覺推理時(shí)的情形是怎樣的,并將他們的判斷結(jié)果與貝葉斯公式計(jì)算的結(jié)果做比較來研究推理過程的規(guī)律。因此有關(guān)這類問題的推理被稱為貝葉斯推理。2伯里斯理論的研究2.1基礎(chǔ)概率與被試差異Kahneman和Tversky開辟了概率推理這一重要的研究領(lǐng)域。他們在20世紀(jì)70年代初期的研究首先發(fā)現(xiàn),人們的直覺概率推理并不遵循貝葉斯原理,表現(xiàn)在判斷中往往忽略問題中的基礎(chǔ)概率信息,而主要根據(jù)擊中率信息作出判斷。他們一個(gè)經(jīng)典性的研究是:告知被試100人中有70人是律師,30人是工程師,從中隨機(jī)選出一人,當(dāng)把該人的個(gè)性特征描述得象工程師時(shí),被試判斷該人為工程師的概率接近0.90。顯然被試忽略了工程師的基礎(chǔ)概率只有30%。后來他們還采用多種問題驗(yàn)證基礎(chǔ)概率忽略現(xiàn)象,如讓被試解決如下出租車問題:一個(gè)城市85%的出租車屬于綠車公司,15%屬于藍(lán)車公司,現(xiàn)有一出租車卷入肇事逃逸事件,根據(jù)一目擊者確認(rèn),肇事車屬于藍(lán)車公司,目擊者的可靠性為80%。問肇事車是藍(lán)車的概率是多少。結(jié)果大多數(shù)被試判斷為80%,但如果考慮基礎(chǔ)概率則應(yīng)是41%。這一研究結(jié)果引發(fā)了20世紀(jì)70年代以來的大量研究。有研究支持其結(jié)論,如Eddy用前述乳腺癌問題讓內(nèi)科醫(yī)生判斷,結(jié)果95%的人判斷介于70%～80%,遠(yuǎn)高于7.8%。Casscells等人的研究結(jié)果表明,即使哈佛醫(yī)學(xué)院的工作人員對解決如乳腺癌和與之相類似的問題都出現(xiàn)同樣的偏差。但也有研究發(fā)現(xiàn),在許多條件下,被試對基礎(chǔ)概率的反應(yīng)是敏感的。例如,如果問題的措辭強(qiáng)調(diào)要理解基礎(chǔ)概率與判斷的相關(guān)性或強(qiáng)調(diào)事件是隨機(jī)抽樣的,則基礎(chǔ)概率忽略現(xiàn)象就會減少或消除。另一個(gè)引人注意的是Gigerenzer和Hoffrage1995年的研究,他們強(qiáng)調(diào)概率信息形式對概率判斷的影響。采用15個(gè)類似前述乳腺癌的文本問題進(jìn)行了實(shí)驗(yàn),問題的概率信息用兩種形式呈現(xiàn),一種沿用標(biāo)準(zhǔn)概率形式(百分?jǐn)?shù));一種用自然數(shù)表示的頻率形式,如“1000名婦女中有10名患有乳腺癌,在患有乳腺癌的婦女中8名婦女接受早期胸部X射線測定法檢查,在沒有患乳腺癌的990名婦女中有95名接受早期胸部X射線測定法檢查”。結(jié)果在頻率形式條件下,接近50%的判斷符合貝葉斯算法,而在標(biāo)準(zhǔn)概率條件下只有20%的判斷符合貝葉斯算法。而另一些研究者對此也提出異議,有人認(rèn)為他們在改變信息形式的操作中,同時(shí)也改變了其他的變量。如Lewis和Keren提出這種概率信息的改變使原來的一般性問題變成了當(dāng)前單個(gè)情境的具體問題,因而問題變得容易,被試判斷的改善不能說明他們的計(jì)算與貝葉斯計(jì)算一致。另外Fiedler認(rèn)為,他們進(jìn)行頻率形式的操作為所有數(shù)據(jù)提供了一個(gè)共同的參照尺度——即所有數(shù)據(jù)都是相對于總體(1000名婦女)而言的,依靠它所有的數(shù)據(jù)變得容易比較。很明顯,接受X射線檢查并患乳腺癌的婦女的數(shù)量(8)與接受X射線檢查并無乳腺癌的婦女的數(shù)量(95)相比或與接受X射線檢查的婦女總數(shù)(103)相比都是非常小的。相反,在標(biāo)準(zhǔn)概率條件下,沒有共同的參照尺度,表面上擊中率(80%)遠(yuǎn)高于誤報(bào)率(9.6%),但它們是相對于大小不同的亞樣本,而不是相對于總體,不能在同一尺度上進(jìn)行數(shù)量比較。于是他們用4個(gè)問題進(jìn)行了2(數(shù)據(jù)比較尺度:共同尺度/非共同尺度)×2(數(shù)據(jù)形式:標(biāo)準(zhǔn)概率/頻率)的被試間設(shè)計(jì),實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:不管采用哪一種數(shù)據(jù)形式,被試在非共同參照尺度條件下,判斷準(zhǔn)確性都低,在共同參照尺度下,判斷準(zhǔn)確性高。所以判斷準(zhǔn)確性與數(shù)據(jù)形式無關(guān)?？梢?人們在概率判斷中忽略基礎(chǔ)概率是不是一種普遍現(xiàn)象,不同的研究之間存在較大分歧。這將促使研究者們采用各種方法對人們的概率判斷推理過程進(jìn)行更深入的探討。2.2基礎(chǔ)概率信息與特殊信息的選擇策略為了探討上述問題,人們采用了不同的研究范式。從已有的研究看,貝葉斯推理的研究范式主要有兩種,一種是文本范式,一種是經(jīng)驗(yàn)范式。文本范式是實(shí)驗(yàn)中的問題以文本的形式直接提供各事件的基礎(chǔ)概率和擊中率、誤報(bào)率等信息,讓被試對某一出現(xiàn)的事件作出概率大小的判斷。如前述的乳腺癌問題,工程師問題,出租車問題等的研究就是采用這一范式。然而,在實(shí)際生活中,人們進(jìn)行概率判斷需要從自己經(jīng)歷過的事件中搜集信息,而不是像文本范式那樣被動(dòng)得到這些信息。經(jīng)驗(yàn)范式便克服了文本范式的這一缺陷。經(jīng)驗(yàn)范式就是在實(shí)驗(yàn)中讓被試通過經(jīng)歷事件過程,主動(dòng)搜集信息來獲得基礎(chǔ)概率、擊中率和誤報(bào)率等各種情況的信息,然后作出概率判斷。例如,Lovett和Schunn為了探討基礎(chǔ)概率信息和特殊信息對被試解決問題策略的影響,利用建筑棒任務(wù)(BuildingStickTask,BST)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)。對于一個(gè)給定的BST問題來說,計(jì)算機(jī)屏幕下方提供3條不同長度(長、中、短)的建筑棒并在上方顯示一條一定長度的目標(biāo)棒,要求被試用建筑棒通過加法(中棒+短棒)策略或減法(長-中或短棒)策略制造目標(biāo)棒。被試只能憑視覺估計(jì)每條棒的長度,迫使他們不能用代數(shù)方法而只能用策略嘗試來解決問題。基礎(chǔ)概率是兩種策略解決問題的基本成功率;特殊信息是建筑棒與目標(biāo)棒的接近類型對選擇策略的暗示性和所選策略成功的預(yù)見性:長棒接近目標(biāo)棒則暗示使用減法策略,中棒接近目標(biāo)棒則暗示使用加法策略,如果暗示性策略成功表明該策略具有預(yù)見性,否則為非預(yù)見性。問題設(shè)計(jì)時(shí),在200個(gè)任務(wù)中控制兩種策略基本成功率(偏向:一策略高(如70%),另一策略低(如30%);無偏向:兩策略各50%)和暗示性策略對成功預(yù)見性的比例(有預(yù)見性:暗示性和非暗示性策略成功率分別為80%和20%;無預(yù)見性:暗示性和非暗示性策略成功率各50%)。研究者對被試在嘗試上述任務(wù)前后分別用10個(gè)建筑棒任務(wù)進(jìn)行了測試,發(fā)現(xiàn)被試在嘗試前主要根據(jù)特殊信息選擇策略,在嘗試后主要依據(jù)兩種策略的基本成功率信息選擇策略。說明人們在嘗試200個(gè)任務(wù)后對嘗試中的基礎(chǔ)概率信息的反映是敏感的。經(jīng)驗(yàn)范式的優(yōu)點(diǎn)在于,實(shí)驗(yàn)操作過程非常接近人們在日常生活中獲得概率信息以作出判斷的情況,較為真實(shí)地反映了人們實(shí)際的表征信息和作出概率判斷的過程。所以許多研究者采用了這一范式。但研究范式的變化并沒有能消除前述的爭論,在不同的研究范式下都存在人們對基礎(chǔ)概率信息的忽略或敏感現(xiàn)象,并出現(xiàn)了各種對基礎(chǔ)概率信息忽略或敏感現(xiàn)象進(jìn)行解釋的理論。3基礎(chǔ)概率的忽略如前所述,人們進(jìn)行概率判斷時(shí),在一些條件下忽略基礎(chǔ)概率,在另一些條件下并沒有忽略基礎(chǔ)概率。那么,人們是如何作出判斷的呢?哪些因素在影響人們的概率推理呢?對此,不同的研究者提出了不同的觀點(diǎn)。3.1被試估計(jì)中出現(xiàn)的概率Kahneman和Tversky認(rèn)為人們直覺的概率推理受認(rèn)知策略的影響,這是一種依賴于經(jīng)驗(yàn)的判斷或猜測。所以,經(jīng)常會作出錯(cuò)誤的判斷。主要的認(rèn)知策略包括“代表性啟發(fā)法”和“可得性啟發(fā)法”。代表性啟發(fā)法是指人們傾向于根據(jù)樣本是否代表或類似總體來判斷其出現(xiàn)的概率,愈有代表性的,被判斷為出現(xiàn)的概率愈大,愈少代表性的被判斷為出現(xiàn)的概率愈小。例如,在他們的研究中,要求被試估計(jì)某城市有6個(gè)孩子的家庭中,男(B)女(G)兒童出生順序?yàn)镚BGBBG和BGBBBB(B代表男孩,G代表女孩)的比例,結(jié)果大多數(shù)被試估計(jì)前者遠(yuǎn)高于后者。因?yàn)榍罢吒艽碚麄€(gè)人口中的比例,其次它看起來更隨機(jī)。但從機(jī)會來說,兩者的概率應(yīng)是相等的。可得性啟發(fā)法是指人們傾向于根據(jù)某現(xiàn)象在知覺或記憶中容易得到的事例來估計(jì)其出現(xiàn)是概率,如他們在實(shí)驗(yàn)中要求被試估計(jì)英語中以字母R、L、N、K、V開頭的單詞數(shù)和以它們?yōu)榈谌齻€(gè)字母的單詞數(shù),結(jié)果絕大部分被試估計(jì)前者遠(yuǎn)多于后者。但實(shí)際上前者是的基礎(chǔ)比例遠(yuǎn)低于后者的基礎(chǔ)比例。判斷錯(cuò)誤的原因在于人們更容易回憶出以這些字母開頭的單詞,而不容易回憶起它們在中間位置的單詞。這與人們的記憶組織有關(guān)。3.2抽樣與被試判斷事件的概率Gavanski等認(rèn)為判斷一個(gè)事件出現(xiàn)的概率時(shí),人們從什么范圍抽取一樣本有一種自然的抽樣傾向,他們稱之為“自然抽樣空間”,如果直接從自然的抽樣空間中抽取的樣本對判斷事件的概率是無偏差的,則被試容易作出準(zhǔn)確的判斷;但若要求被試從非自然抽樣空間中抽樣才能正確判斷事件的概率,則被試容易作出錯(cuò)誤的判斷。如前述乳腺癌問題,被試從患乳腺癌的人群中抽樣來判斷接受X射線檢查的概率較為自然,因?yàn)楸辉嚫菀渍J(rèn)為患乳腺癌的人要接受X射線檢查。但實(shí)驗(yàn)任務(wù)是要求從接受X射線的人群中抽樣來判斷患乳腺癌的概率,這與被試的自然抽樣方向相反,導(dǎo)致被試對問題進(jìn)行了錯(cuò)誤的表征,對照貝葉斯公式,被試的錯(cuò)誤是把P(H1/A)表征為P(A/H1),剛好與問題的要求相反,從而作出了錯(cuò)誤的判斷。3.3加工頻率信息的意識Gigerenzer和Hoffrage同意自然抽樣的觀點(diǎn),但他們所指的“自然”是人們加工概率信息的自然方式,認(rèn)為人們是通過事件的頻率而不是標(biāo)準(zhǔn)概率(百分?jǐn)?shù))來獲得環(huán)境信息的,雖然兩種信息形式的意義相同,但人們對具有同等意義的不同外部信息形式會產(chǎn)生不同的心理表征。他從進(jìn)化論的角度出發(fā)認(rèn)為,人類進(jìn)行概率推理已經(jīng)進(jìn)化了一種認(rèn)知算法規(guī)則系統(tǒng),它不適合加工以百分?jǐn)?shù)表示的標(biāo)準(zhǔn)概率信息,而適合加工以自然數(shù)表示的頻率信息,因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)概率是在概率論發(fā)展以后才被人們認(rèn)識的,而頻率在人類進(jìn)化的早期就被認(rèn)識了,所以人們對事件的頻率容易編碼而且?guī)缀跏亲詣?dòng)的,而對標(biāo)準(zhǔn)概率難于編碼。因此,它們預(yù)言當(dāng)問題的陳述從標(biāo)準(zhǔn)概率形式轉(zhuǎn)變?yōu)轭l率形式時(shí),對條件概率的直覺推理會得到顯著改善,并在前述的他們的實(shí)驗(yàn)中得到了支持。如果被試在判斷中是忽略基礎(chǔ)概率的,那么在標(biāo)準(zhǔn)概率改為頻率形式時(shí)也應(yīng)表現(xiàn)出來,但他們的實(shí)驗(yàn)表明加工頻率信息的被試判斷的準(zhǔn)確性明顯高于加工標(biāo)準(zhǔn)概率信息的被試。然而,正如前面所述,他們的結(jié)論也受到其他研究的挑戰(zhàn)。3.4抽樣中的偏差檢驗(yàn)Fiedler認(rèn)為對概率判斷最根本的影響既不是抽樣方向也不是概率信息形式,而是抽取不同樣本所得的數(shù)據(jù)需要進(jìn)行不同的認(rèn)知加工。概率判斷中的認(rèn)知加工分為兩個(gè)過程,一是歸納加工過程,即利用記憶中或知覺到的樣本進(jìn)行的概率估計(jì),如旅行前根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)某個(gè)地區(qū)為晴天或雨天的概率。然而,由于受許多主觀(如個(gè)人偏好、期望等)和客觀條件(如過去的經(jīng)驗(yàn)是在一定時(shí)空下獲得的)的限制,根據(jù)可利用的樣本來估計(jì)概率會存在許多潛在的偏差,所以,要作出正確的判斷就必須調(diào)整抽樣過程中潛在的偏差,這是一個(gè)元認(rèn)知控制過程,通過它,不同來源的樣本得到整合并運(yùn)用于最后的概率判斷,這需要運(yùn)用大量基于規(guī)則的元認(rèn)知操作,包括使用邏輯規(guī)則、概率演算、統(tǒng)計(jì)學(xué)知識或元認(rèn)知知識。如變換在不同尺度上估計(jì)的數(shù)量、顛倒條件概率、對來源于有偏差的樣本進(jìn)行矯正等。判斷者之所以忽略基礎(chǔ)概率而不遵循貝葉斯原理,是因?yàn)樗麄內(nèi)狈υJ(rèn)知手段,不能調(diào)整在抽樣過程中潛在的偏差。為驗(yàn)證此結(jié)論,他們用4個(gè)問題(在此僅以乳腺癌為例)在計(jì)算機(jī)上設(shè)計(jì)了A、B兩種卡片盒,分別讓兩組被試自己搜索信息,告知被試A卡片盒的每張卡片正面標(biāo)明是否患有乳腺癌的案例,背面告知是否參加X射線檢查,B卡片盒中每張卡片的正面和背面與前一個(gè)卡片盒的卡片內(nèi)容相反,設(shè)計(jì)時(shí)設(shè)定基礎(chǔ)概率、擊中率和誤報(bào)率。屏幕的左邊行顯示正面內(nèi)容,右邊小窗口顯示反面內(nèi)容,被試點(diǎn)擊左邊行后才出現(xiàn)右邊窗口的反饋信息,確認(rèn)后左邊行變成灰色,右邊窗口消失。信息搜索完畢時(shí),屏幕底部顯示一刻度尺,用于被試標(biāo)示判斷接受X射線檢查的婦女患乳腺癌的概率。這樣,看A卡片盒的被試明顯覺得乳腺癌